Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn toán đại số nâng cao 10 - thpt

+Toán tăng trưởng.

Bài toán1. Dân số của một thành phố A sau hai năm tăng từ 2000000 lên 2048288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm ?

a/ Phân tích lời giải:

Ở bài toán này cần chú ý phân tích điều kiện (sau hai năm…) ta tách ra tính số dân tăng từ một năm (sau khi đã chọn ẩn ), làm như vậy việc phiên dịch ra ngôn ngữ đại số sẽ thuận lợi hơn. Cụ thể ta phân chia và sắp xếp lại bài toán như sau:

Số phần trăm tăng dân số trung bình hằng năm. x (x%,x>0) Số dân tăng của năm thứ nhất

2000.000.

x ( 100

20.000x)

Số dân tăng của năm thứ hai

(2000.000+20.000x)

x ( 100

200x(x

100))

Sau hai năm tăng từ 2000.000 lên 2048288 người. 2000.000+20.000+200x(x+100)=2048288

(từ phương trình lập được, giải ra ta có =101,2 và 2 nghiệm x1=1,2; x2= -201,2 (loại)

Suy ra dân số tăng trung bình hàng năm 1,2 %)

b/ Lời giải (HS tự trình bày).

c/ Khai thác bài toán: Có thể đưa ra và giải cho các bài toán tương tự về tăng trưởng kinh tế, tăng hàng hoá xuất khẩu,…

Bái toán2. Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc . Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ?

Giải:

Gọi x(tấn) và y(tấn) là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (Đk: x>0, y>0)

Theo điều kiện đầu bài ta có:

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc, nghĩa là: x+y=720 (1)

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức15%, nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch được:

x+ 15x

100

115x

100

(tấn)

Và đơn vị thứ hai t hu hoạch được:

y+ 12y

100

112y

100

(tấn)

Và cả hai thu hoạch được 819 tấn, nghĩa là:

115x

112y

100 100

Ta có hệ phương trình:

x y

115x

720(1)

112y

100

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 128 trang tài liệu này.

819 (2)

819(2)

Giải hệ trên ta được: x=420; y=300.

Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 tấn thóc,đơn vị thứ hai thu thu hoạch được 300 tấn thóc.

Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được 483 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu hoạch được 336 tấn thóc.

Bài toán 3. Bác Thời vay 2000000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi xong Bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm Bác phải trả tất cả là 2420000 đồng. Hỏi lãi xuất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm ?

Gợi ý;

Gọi x(%) là lãi xuất ngân hàng cho vay trong một năm. (ĐK:x>0)

Khi đó, tiền lãi sau một năm là: 2000000x

x 20000x (đồng).

100

Sau một năm đầu cả vốn lẫn lãi là: 2000000+20000x (đồng)

Tiền lãi năm thứ hai sẽ là : 20000x+200x2 (đồng)

Sau hai năm Bác Thời phải trả cả vốn lẫn lãi cho ngân hàng là: 2000000+20000x+20000x+200x2=2000000+40000x+200x2

Theo đề bài ta có phương trình; 2000000+40000x+200x2=2420000

x2 +200x-2100=0

Giải phương trình ta được x1=10; x2= -210 (loại) vì x>0. Nên ta chọn x=10 . Trả lời: lãi xuất ngân hàng cho vay là 10%/ năm.

Bài toán 4. Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai do dây chuyền tứ nhất tăng năng xuất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu bao nhiêu áo sơ mi?

Gợi ý:

Gọi x,y lần lượt là số áo sơ mi dây chuyền thư nhất, thứ hai may được trong ngày thứ nhất, ĐK x,y nguyên dương và ta có hệ phương trình sau:

x y 930

1,18x

Giải hệ trên ta có x=450; y=480.

+ Toán hình học

1,15y

1083

Bài toán1.cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác ?

a/ Phân tích, tìm lời giải.

chú ý rằng bài toán này liên quan đến kiến thức hình học khi nói đến cạnh huyền và hai cạnh góc vuông thì ta phải nghĩ ngay đến định pitago. Với sự chú ý đó ta phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số như sau;

Cạnh góc thứ nhất

Cạnh góc vuông thứ hai Cạnh huyền bằng 10m

x (x>0)

x+2

x2 + (x+2)2=102 (1)

(Từ (1) giải ra hai nghiệm x1= 6; x2= -8(loại). Suy ra hai cạnh của tam giác là 6m và 8m.

b/ Lời giải (HS tự trình bày) c/ Khai thác bài toán.

1. Ta có thể thay đổi điều kiện và giữ nguyên ẩn số để có bài toán tương tự. Chẳng hạn, cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và cạnh huyền (bằng 10m). Tìm hai cạnh góc vuông? hoặc cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và diện tích tam giác (bằng 48m2). Tìm hai cạnh góc vuông ?

2. Ta cũng có thể thay đổi cả ẩn và điều kiện. Chẳng hạn cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và cạnh huyền (bằng 10m) .Tìm diện tích tam giác ?

Chú ý rằng trong các trường hợp thay đổi như vậy , việc chọn ẩn vẫn như bài toán ban đầu.

Bài toán 2. Trên mặt hồ có một bông sen nhô cao trên nửa “thước”, bỗng có một ngọn gío thổi làm bông sen ngả về một phía, chạm mặt nước, cách xa chỗ cũ hai “thước” . Hỏi hồ sen sâu bao nhiêu ?

Gợi ý

Bài toán có thể mô tả bằng hình vẽ dưới đây.

BC=

1 (thước); BD= 2 (thước)

Ta xác định AB, khi đó đoạn AB gọi là x. Từ đó ta có phương trình: (x+ 1)2 =x2+22

Từ đây dẫn tới x+ 1 =4

Do đó x= 15 (thước)

Trả lời: hồ nước sâu 15thước.

Bài toán 3. Có một cây dương mọc đơn độc giữa đồng, bỗng nhiên gió thổi mạnh làm nó gãy gập xuống, ngọn cây chạm đất cách gốc 4 „thước‟‟, từ gốc lên đến chỗ gãy 3 „„thước‟‟.Hỏi cây dương cao bao nhiêu ?

Hướng dẫn HS giải:

Bài toán được mô tả bằng hình vẽ dưới đây – cây dương bị gãy ở điểm C, với AC=3 (thước); AD=4 (thước).

Gọi chiều cao cây dương là x, khi đó ta có x=AB.Nên ta có:

x=AC+CD

AC2AD2

=AC+

9 16

=3+

=8 (thước)

Vậy cây dương cao 8 (thước). AD

Qua một số ví dụ trên cần chú ý đến vấn đề tổ chức cho HS những hoạt động trong thực tế. Một thực tế cho thấy khi HS biểu diễn bài toán trên hình vẽ, áp dụng công thức đã được học các em làm nhanh và chính xác hơn rất nhiều. Không bị lúng túng, không làm sai. Như vậy thông qua việc giải các bài toán trên không những cho HS kỹ năng sử dụng toán học vào thực tiễn, kỹ năng thực hành mà còn giáo dục cho HS tinh thần tích cực lao động, tinh thần chủ động sáng tạo trong công việc và thể hiện rất rõ vai trò của toán học trong thực tế.

+ Các loại khác

Ý nghĩa của việc đặt và giải các PT,HPT,BPT không chỉ thể hiện trong nội bộ môn toán mà còn thể hiện trong các môn học khác như vật lý hoá học, sinh học,…Pt,HPT,BPT là công cụ không thể thiếu được khi giải quyết các vấn đề của môn học này được thông qua một số ví dụ sau:

* Thể hiện trong hoá học

Bài toán1.Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

a/ Phân tích, tìm lời giải:

Chú ý rằng bài tập đề cập đến vấn đề liên quan đến kiến thức vật lý, cụ thể ta phải chú ý công thức liên quan đến khối lượng riêng. Khi đó ta có thể phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số như sau:

Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất x (xkg/m2,x>200)

0,008		0,006		0,014
x		x 200		700

Khối lương riêng của chất lỏng thứ hai x-200 Hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3.

(1)

(Từ (1) giải phương trình bậc hai ta có nghiệm x1= 800, x2 =200 (loại). Suy ra khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 800kg/m3, chất lỏng thứ hai là 600kg/m3).

b/ Lời giải (HS tự trình bày) c/ khai thác bài toán.

Thay đổi điều kiện ta có bài toán tương tự, chẳng hạn thay câu a được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3 “bằng” được một hỗn hợp có thể tích 0,2 lít, các phần còn lại giữ nguyên,…

Bài toán2.(Sử dụng kiến thức PT bậc nhất).

Cho một lượng chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nước thì được một dung dịch 6% . Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho.

a/ Phân tích, tìm lời giải:

qua bài toán ta chuyển sang ngôn ngữ đại số như sau: Có bao nhiêu gam dung dịch đã cho x (x.o)

chứa 10% muối

10x 100

Thêm 200 gam nước x+200

được dung dịch 6%

10x 100

6 (x

100

200) (2)

(Từ (2) giải PT bậc nhất ta được x=300. Vậy có 300 gam dung dịch)

b/ Lời giải (HS tự trình bày)

c/ Khai thác bài toán ta có thể thay đổi điều kiện hoặc thay đổi ẩn để có những bài toán tương tự.

1.Cho một lượng dung dịch chứa m% muối. Nếu pha thêm gam nước thì được dung dịch k% (m

2. Cho một lượng dung dịch chứa p% muối. Nếu pha thêm n gam muối q% thì được một dung dịch r% . Hỏi có bao nhiêu dung dịch đã cho.

3. Cho m gam dung dịch chứa p % muối. Hỏi phải thêm vào bao nhiêu gam muối để được dung dịch q %.

Bài toán 3. Tỉ lệ đồng trong loại quặng A nhỏ hơn tỉ lệ đồng trong loại quặng B là 15% .Trên hai loại quặng này được một hỗn hợp có 50% đồng. Khối

lượng của quặng A trong hỗn hợp 25 kg , của quặng B bằng

quặng A. Tính tỉ lệ phần trăm đồng trong từng loại quặng.

Giải:

Gọi ti lệ phần trăm đồng trong quặng loại A là x%

Gọi tỉ lệ phần trăm đồng trong quặng loại B là y% (x>0,y>0). Khối lượng đồng trong loại quặng A là25x(kg).

1 khối lượng

Vì khối lượng quặng B bằng

1 khối lượng quặng A, nên khối lượng quặng

B là 12,5 (kg) và khối lượng y đồng trong quặng B là 12,5y(kg).

Khối lượng quặng hỗn hợp do trộn hai loại quặng với nhau là 25+12,5=37,5 (kg).

Và khối lượng đồng trong hợp kim là 37,5.50 (kg). Theo đầu bài ta có hệ PT:

y x

25x

12,5y

37,5.50

Giải hệ trên ta tìm được x=45%; y=45%+15%=60%

Vậy: Tỉ lệ phần trăm trong quặng A là 45%, trong quặng B là 60%.

+ Thể hiện trong vật lý.

Bài toán 1: Một đoạn mạch điện gồm một điện trở R mắc nối tiếp với một linh kiện x mà hiệu điện thế giữa hai cực của x là Ux = UCB = a I , với a là một

hằng số,y là cường độ dòng điện trong mạch. Biết hiệu điện thế đặt vào hai đầu đoạn mạch có giá trị không đổi U0 . Hãy xác định cường độ dòng điện I trong mạch.

Áp dụng với: U0 =24v, R=5 , a=VIA1/2

Lời giải;

Theo bài ra ta có U0 =IR+Ux =IR+a I

Suy ra IR+a I -U0=0 (1)

Giải phương bậc hai ẩn I của (1) ta có:

a 2

4U R

a 2

4U R

;

I 2

Loại

vi I 20

I ( I1

( a

4U R )2

4R 2

Thay số với U0=24V;R=5 ; a

2V / A1 / 2

thì

( 2

4.24.5)2

I =4.52

4( A)

Vậy cường độ dòng điện trong mạch bằng I=4A.

Bài toán2.

Trên một mạch điện kín. Biết R1= , R2= ; R3= và U= 0,6v. gọi I1 là cường độ dòng điện của mạch chính, I2, I3 là cường độ dòng điện của hai mạch rẽ. Tính I1, I2, I3 (chính xác đến hàng phần trăm).

Gợi ý:

Coi ba ẩn là cường độ dòng điện mạch chính và cường độ dòng điện của hai mạch rẽ phải tìm là ẩn số tương ứng là I1,I2,I3 . Ta chú ý đến quan hệ hiệu điện thế và điện trở ,cường độ dòng điện. khi đó ta có hệ phương

I1 I 2 I30

trì nh:

R1 I1

R2 I 2

R2 I 2 U

R I 0

I I I 0

Tương đương HPT:

0,25I1

0,36I 2

0,45I 3

0,6