0 Là Tập Hợp Các Trạng Thái Ban Đầu Chấp Nhận Được,

Kết hợp (2.22a) và (2.22b) ta thu được công thức nghiệm tổng quát cho hệ

(2.20)

x()k()() PI x k P0x k 

01 I 2



PI 

k I 1

k1A ki1B u i

P0h1NiB u k i

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.

(2.23)

0((A01)()();P x

 1 1

2

0

y()k().Cx k

i0

I i0

Công thức (2.23) là công thức biểu diễn trạng thái x(k) và đầu ra đo được tại

thời điểm k  0,1, 2,... bất kì.

2.3.1.1 Thí dụ

Xét hệ rời rạc suy biến sau:

1 0 0 0 1 1 0 0  0 

 0 1 0 0  0 1 0 0 1 

x(1k)()();x k u k

 0 0 0 1  0 0 1 0 1 

(2.24)



 0 0 0 0  0 0 0 1 1

y()k0 1 10 ();x k

0,k1,2,...

Hệ này có dạng hệt như trong Thí dụ 1.4.3 Chương 1 với một sai khác duy nhất là (2.24) là một chuỗi thời gian vô hạn.

Đặt

x()k(()/

x(1))k x2k

. Khi ấy ta có thể viết (2.24) dưới dạng

x1(1k)() 

1 1x1k

 0

 1   

 1



u()k;

x2(1k)() 

0 1x2

k

1

0 1x1(1k)()

 x1k

 1 

  2

   2



u()k.

0 0x2(1k)() x2k 

1

2   2 

Từ các tính toán trong Thí dụ 1.4.3 Chương 1 và các công thức (2.22a),

(2.22b), ta có thể biểu diễn trạng thái

2.3.1.1 như sau.

x()k(()/

x(1))k x2k

trong Thí dụ

x1()k  

 1  k

k1

ki1

1 k

k1k  i 1

x ()k(0)()(0)();  A x

 A B u i 

x  

u i

1  2  1 1

i0 1 1

0 1 1

i01

x1 ()k 

x1 ()k 

h1

1  1

u(1k)()

 u k 

 2 i

     

x ()k()()   N B u k  i

 u k u(1k), 

2  2 

i0 2

1

0

u()k 

x2 ()k 

k  0,1, 2,...

Ta thấy, tọa độ thứ nhất

x1 ()k(1)()u k u k

của

x2 ()k tại thời điểm k phụ

thuộc vào điều khiển tương lai

u(1k) (trước một bước) và điều khiển u()k

(tại chính thời điểm k ), trong khi đó tọa độ thứ hai chỉ phụ thuộc vào điều khiển u()k .

x2 ()k() u k

của

x2 ()k

Nhận xét

Với điều kiện ban đầu cho trước, hệ phương trình sai phân thường luôn có nghiệm, còn hệ phương trình sai phân ẩn thì không phải lúc nào cũng có nghiệm với bất kỳ điều kiện ban đầu. Ta có thể kiểm tra điều này một cách dễ

dàng vì trong công thức (2.22b) khi cho k  0

thì ta sẽ được:



x (0)() h1N iB u i

(2.25)

hay dưới dạng khác

2 i0

0 I P1 x(0)()

h1

N i B u i

. (2.26)

Như vậy,

x(0)

i0

không thể là bất kì mà phải thỏa mãn điều kiện (2.26).

Điều kiện (2.26) được gọi là điều kiện ban đầu chấp nhận được thỏa mãn

theo trạng thái ban đầu x(0) .

Kí hiệu

I0 là tập hợp các trạng thái ban đầu chấp nhận được,



 n 1

h1 



I0 x(0)(0 )(0)()I P x

Khi u()k0  thì từ (2.20) ta có:

  N B2u i

i0

 . (2.27)

1 1 1

x ()k(0); A kx

x2 ()k0,

0k,1, 2,...

Như vậy, trạng thái con

x2 (0)

của hệ con lùi phải đồng nhất bằng 0.

Các công thức (2.25) và (2.26) không chỉ cho ta thấy sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn và hệ phương trình sai phân thường. Nó còn cho ta thấy sự khác nhau giữa hệ phương trình sai phân ẩn và hệ phương trình vi phân đại số (xem [6], trang 243).

2.3.2 Tính nhân quả

Thí dụ 2.3.1.1 cho thấy, hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn nói chung không có tính nhân quả. Để xác định được trạng thái của hệ, nói chung ta phải cần đến các điều khiển tương lai. Tính không nhân quả là đặc trưng cho hệ rời rạc suy biến. Tính không nhân quả cũng là hiện tượng thường xảy ra trong các hệ thống thực tế. Thí dụ, mô hình động Leontief trong hệ thống kinh tế được mô tả bởi hệ phương trình sau

x()k()(1)A()x()k

B x k x k

d k

, k  0,1, 2,... ,

trong đó d ()k là đầu vào, bao gồm cả các khoản mục như tiêu dùng. Mục

đích của sản xuất là để tiêu dùng. Nhưng thời gian bị chậm giữa hai pha sản xuất và tiêu dùng. Do đó, mục tiêu của tiêu dùng tương lai thường được sử dụng cho sản xuất trong thời điểm hiện tại. Hệ thống sẽ là không nhân quả nếu các biến không gian nhiều hơn các biến thời gian.

2.3.2.1 Tính nhân quả giữa trạng thái và đầu vào

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng hệ (2.20) có dạng (2.21).

Rõ ràng, nếu hệ con lùi (2.21b) là nhân quả thì hệ (2.21) là nhân quả. Từ công thức (2.23) ta thấy rằng tồn tại mối quan hệ nhân quả giữa trạng thái và đầu

vào nếu và chỉ nếu

NB2  0 .

2.3.2.2 Tính nhân quả giữa đầu vào và đầu ra

Bởi vì quan hệ vào-ra chỉ phụ thuộc vào tính điều khiển được và tính quan sát

được của các hệ con nên ta giả sử rằng cặp ma trận được và quan sát được, tức là

(,N B, 2

C) 2

là điều khiển

rank B , NB ,..., N n2 1B n

2 2 2 2

n 1

và rank C2/ C2N /.../ C2N 2n2.

Do hệ phương trình sai phân thường (2.21a) có quan hệ nhân quả nên quan hệ

nhân quả tồn tại giữa

y()k và u(i),

i 0,1, 2,...,

k nếu và chỉ nếu mối quan

hệ ấy tồn tại giữa y2 ()k và u(i), i 0,1, 2,..., k. Hơn nữa, từ công thức (2.22b) ta có

h1

2 2 2 2 2

y ()k()(), C x 0,k1, 2,... C N iB u k  i k 

i0

. (2.28)

Như vậy, quan hệ nhân quả giữa

y2 ()k và các đầu vào u(i),

i 0,1, 2,..., k

xảy ra (và do đó có quan hệ nhân quả giữa y()k và các đầu vào

u(i),

i 0,1, 2,...,

kxảy ra) khi và chỉ khi

2 2

C N i B  0, i  1, 2,..., h 1.

Hệ h 1 điều kiện trên có thể viết gọn lại dưới dạng

C / C N / .../ C N h1 N B , NB ,..., N h1B   0 . (2.29)

 2 2 2   2 2 2 

Do giả thiết (,N B, 2

C) 2

là điều khiển được và quan sát được, tức là

rank B , NB ,..., N n2 1B n

và nên

N  0 .

2 2 2 2

n 1

rank C2/ C2N /.../ C2N 2n2

2.3.3 Tính điều khiển được và quan sát được

Tương tự như trong 2.2 và 2.3, ta đưa vào các khái niệm điều khiển được và quan sát được cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn như sau.

2.3.3.1 Định nghĩa

Hệ (2.20) được gọi là điều khiển được (tương ứng, R-điều khiển được; Y-điều khiển được) nếu với mọi L n đủ lớn, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được (tương ứng, R-điều khiển được; Y-điều khiển được).

Hệ (2.20) được gọi là quan sát được (tương ứng, R-quan sát được; Y-quan sát được) nếu với mọi L n đủ lớn, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là quan sát được (tương ứng R-quan sát được; Y-quan sát được).

Song song với hệ phương trình sai phân ẩn (2.20), ta xét hệ phương trình vi phân ẩn (hệ phương trình vi phân đại số) tuyến tính dừng sau đây

ExAx(t)(); Bu t

y(t)(), Cx t 0. t 

(2.30)

Định lý dưới đây cho mối quan hệ giữa tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn và hệ phương trình vi phân đại số (xem [6], trang 244).

2.3.3.2 Định lý

Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2.20) là điều khiển được (R-điều khiển được; Y-điều khiển được) nếu và chỉ nếu hệ liên tục (2.30) là điều khiển được (R-điều khiển được; Y-điều khiển được).

Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2.20) là quan sát được (R-quan sát được, Y-quan sát được) nếu và chỉ nếu hệ liên tục (2.30) là quan sát được (R- quan sát được, Y-quan sát được).

Như vậy, nhờ định lý này, ta có thể kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn (2.20) bằng cách sử dụng các tiêu chuẩn điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (2.30).

2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG

TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH

Một trong những tính chất quan trọng của hệ động lực là tính ổn định. Với hệ có tham số điều khiển, vấn đề khi nào hệ có thể ổn định hóa được là rất quan trọng trong cả lý thuyết và ứng dụng. Trong phần này, chúng ta xét khái niệm ổn định và ổn định hóa được cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính.

2.4.1 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn không có điều khỉển

Ex()k(),Ax k0,1, 2k,...

(2.31)

2.4.1.1 Định nghĩa

Hệ rời rạc (2.31) được gọi là ổn định nếu tồn tại hai số

 0,0  1

sao

cho mọi nghiệm x()k của nó thỏa mãn bất đẳng thức

x()k(0)k x

(2.32)

với bất kỳ điều kiện ban đầu chấp nhận được

x(0)

và mọi

k  1, 2,....

Nhận xét

Theo định nghĩa trên, do 0  1

nên nếu hệ (2.31) là ổn định thì mọi

nghiệm của phương trình sai phân (2.31) thỏa mãn điều kiện

lim x()k0  (2.33)

k 

với mọi

x(0)

chấp nhận được. Như vậy, khái niệm ổn định theo Định nghĩa

2.4.1.1 là mạnh hơn khái niệm ổn định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov (Ổn

định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov chỉ đòi hỏi điều kiện lim x()k0  với

k 

mọi

x(0)

chấp nhận được mà không đòi hỏi bất đẳng thức (2.32).

Nếu hệ (2.31) là chính qui (cặp ma trận E, Alà chính qui) thì hệ (2.31) đưa được về dạng (xem công thức 2.21a) và (2.21b) khi u()k0  ):

x1(1k)()

A1x1 k

; (2.32a)

Nx2(1k)()

x2 k ,

k  0,1, 2,...

(2.32b)

Phương trình (2.31) có nghiệm là (xem công thức (2.21a) và (2.21b):

A x

1 1

x1()k(0) k

; (2.33a)

x2(0)0 ,

k  0,1, 2,...

(2.33b)

Như vậy, hệ chính qui (2.31) là ổn định khi và chỉ khi hệ (2.32a) là ổn định. Điều này dẫn ta tới Định lý sau.

2.4.1.2 Định lý ([6], trang 245)

Hệ phương trình sai phân (2.31) là ổn định nếu và chỉ nếu tập các điểm cực

hữu hạn (the finite pole set) của nó

s(,E

)A:

 s ,

sE  A 0 

nằm trọn trong hình tròn đơn vị

trên mặt phẳng phức.

2.4.1.3 Thí dụ

U : z  x  iy, x, y  , x2 y21

Hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn

1 0 0 0 1 1 0 0 

 0 1 0 0  0 1 0 0 

x(1k)();  0,1, 2,... x k k 

(2.34)

 0 0 0 1  0 0 1 0 



 0 0 0 0  0 0 0 1 

có

1 0 0 0 

0 1 0 0

1 1 0 0 

0 1 0 0

s-1 -1 0 0

0 s-1 0 0

sE  A  s 

  

    .

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 -1 s 

     

Vậy

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0-1 

det()s(E1)0 A

s-1 -1 0 0

0 s-1 0 0 s 

2   s  s  .

0 0 -1 s 1 2

0 0 0-1

Chứng tỏ hệ (2.34) không ổn định.

Hệ phương trình sai phân (2.34) có thể viết tường minh dưới dạng

1 0 0 0 x1(1k)() 1 1 0 0 x1k 

 0 1 0 0 x (1k)()  0 1 0 0 x k 

2 2 

 0 0 0 1 x3(1k)()  0 0 1 0 x3k 

 0 0 0 0 x (1k)()  0 0 0 1 x k 

hay

4

4 

x1(1k)()();x1k x2k

x (1k)(); x k

2 2

x (1k)(); x k

4 3

0 x4()k.

Phương trình

x2(1k)()

x2 k

cho

x2(1k)()(1)...x2

k (0)x2

k x2 .

Từ đây hiển nhiên điều kiện (2.32) (hay (2.33)) không được thỏa mãn. Vậy hệ (2.31) không ổn định (theo Định nghĩa 2.4.1.1).

Hệ (2.31) là phương trình sai phân ẩn tuyến tính với cặp ma trận E, Achính

qui. Nó có thể đưa về dạng sau (xem các tính toán trong Thí dụ 2.3.1.1 khi cho u()k0  , k  0,1, 2,... ):

x1(1k)() 1 1x1k 

 1     1 ;

x2(1k)() 0 1x2k 

0 1x1(1k)()

 x1k

  2    2 .

0 0x2(1k)() x2k 

Hệ phương trình này có nghiệm là

  2 