CHƯƠNG III
TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN
Trong Chương 2 ta đã nghiên cứu các tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính chứa u()k là véc tơ điều khiển r chiều. Các điều khiển
u()k là các vectơ bất kì trong không gian r . Tuy nhiên, các bài toán thực tế
thường đòi hỏi các điều khiển phải thỏa mãn một số hạn chế nào đó, thí dụ, các điều khiển phải có các tọa độ dương chẳng hạn. Chương này trình bày một số nghiên cứu về tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo [7].
3.1. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN THƯỜNG TUYẾN TÍNH DỪNG CÓ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN
Có thể bạn quan tâm!
-
0 Là Tập Hợp Các Trạng Thái Ban Đầu Chấp Nhận Được, -
Tính Ổn Định Hóa Được Của Hệ Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Có Tham Số Điều Khiển -
Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính - 7
Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.
Xét hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng dạng
x(1k)()(),Ax0k,1,...,Bu k k (3.1)
trong đó
x()k,
(), nu k
m
A là một ma trận hằng.Giả thiết rằng
m là tập lồi và 0 . Ta nói véc tơ x tựa trên nếu
x,u
0,u và vectơ x được gọi là trực giao (vuông góc) với nếu
x,u 0 u . Tập tất cả các vectơ vuông góc với được gọi là phần bù
vuông góc của và ký hiệu là . Với một trạng thái ban đầu x và điều
0
khiển u()k,
k 0,1, 2,...
thì nghiệm của (3.1) được cho bởi công thức (xem
Mệnh đề 1.4.1 Chương 1)
k 1
x()k(),A 0x,1,...
k
0
Ak i1u i k
i0
3.1.1 Định nghĩa
Điểm x được gọi là 0-điều khiển được (tương ứng, 0-đạt được) sau N bước
nếu tìm được một dãy điều khiển
u(0),u(1),...,u (N1) ,
u(i)
,
i 0,1, 2,..., N 1 sao cho dãy nghiệm tương ứng của (3.1) thỏa mãn điều kiện
x(0) x ,
x()N0
(tương ứng,
x(0)0 ,
x()N
x ).
Ký hiệu CN
và RN
là tập tất cả các điểm 0-điều khiển được (tương ứng, 0-đạt
được) sau N bước.
Hệ (3.1) được gọi là 0-điều khiển được địa phương (0-đạt được địa phương)
sau N bước nếu CN
(tương ứng,
RN ) chứa một lân cận mở của gốc, tức là
n
n
0 int CN (tương ứng, 0 int RN ).
Nếu
CN
(tương ứng,
RN ) thì ta nói hệ (3.1) là 0-điều khiển được
toàn cục (tương ứng, 0-đạt được toàn cục) sau N bước.
Ký hiệu C CN, RN.
N 1 N 1
Hệ (3.1) được gọi là 0-điều khiển được địa phương (tương ứng, 0-đạt được địa phương) nếu C (tương ứng, ) chứa một lân cận mở của gốc, tức là 0 int C (tương ứng, 0 int ).
Ý nghĩa của 0-điều khiển được địa phương (0-đạt được địa phương) là ta có
thể đi từ một điểm bất kì trong lân cận của gốc tọa độ trong không gian n về
gốc tọa độ sau một thời gian hữu hạn (tương ứng, từ gốc tọa độ đi tới một
điểm bất kỳ trong lân cận của gốc tọa độ trong không gian n
gian hữu hạn.
sau một thời
Tương tự, hệ (3.1) được gọi là 0-điều khiển được toàn cục (tương ứng, 0-đạt
được toàn cục ) nếu C CN
N 1
n
(tương ứng, RN
N 1
n ).
Ta có tiêu chuẩn 0-điều khiển được địa phương sau đây (xem [7], trang 51).
3.1.2 Định lý
Hệ (3.1) là 0-điều khiển địa phương nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị AT
không có véc tơ riêng tựa trên tương ứng với giá trị riêng dương cũng không có vectơ riêng phức nào ứng với giá trị riêng phức khác 0 vuông góc với .
3.2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
ẨN TUYẾN TÍNH DỪNG CÓ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN
Xét hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng dạng
Ex(1k)()(),Ax0k,1,...,Bu k k (3.2)
trong đó
x()k,
(),
n ,u k
m
E A là các ma trận hằng.
Hệ (3.2) là mở rộng của hệ (3.1). Nếu E, Alà ma trận không suy biến thì hệ (3.2) có thể đưa được về dạng (xem 2.3)
x1(1k)()() A1x1k
Nx2(1k)()() x2k
B1u k
B2u k
; (3.3a)
. (3.3b)
Các hệ phương trình sai phân (2.2a) và (2.2b) có nghiệm dạng
x ()k(0)()A, k x 1, 2,...k1 A ki1B u i k
(3.4a)
1 1 1
i0 1 1
với các u(i)
2
và
, i 0,1, 2,..., k 1;
k 1, 2,...
x ()k(),h1 i
i k
. (3.4b)
2
với các u()k i
0,1N, 2,B... u k
i0
, i 0,1, 2,..., h 1; k 0,1, 2,...
Các khái niệm điều khiển được và đạt được phát biểu trong 3.1 cho hệ phương trình sai phân thường (3.1) cũng được áp dụng cho hệ phương trình sai phân ẩn (3.2).
Ta có các tiêu chuẩn đạt được và điều khiển được cho hệ phương trình sai phân ẩn dưới đây (xem [7], trang 83).
3.2.1 Định nghĩa
Ta nói là một nón lồi nếu nó thỏa mãn hai điều kiện:
1) là một nón: nếu x thì x với mọi 0 .
2) là một tập lồi: nếu x, y thì x (1)y với mọi 0 1.
3.2.2 Định nghĩa
Giả sử tức là
M r
là một tập nào nó. Ký hiệu M *
là nón cực (dương) của M ,
M *:x*r:
x* x
0 x M .
3.2.3 Định lý
Giả sử là một nón lồi. Hệ (3.2) là đạt được toàn cục nếu và chỉ nếu:
(i) rank E A, Bn
với mọi , là tập các số phức.
A
1
(ii) Các ma trận chuyển vị T
và N T
tương ứng không có các vectơ riêng
trong B*và B *với các giá trị riêng không âm.
1 2
Chứng minh
Tương tự như trong Chương 2, ta có thể chứng minh được rằng (3.2) là 0-điều khiển được toàn cục khi và chỉ khi hệ phương trình sai phân thường (3.3) là điều khiển được toàn cục; Hệ (3.2) là 0-đạt được toàn cục nếu và chỉ nếu hệ (3.3a) và hệ (3.3b’) là 0-đạt được toàn cục, trong đó (3.3b’) có dạng
x2(1k)()(),Nx02,1k,...B2v k k (3.3b’)
v()k .
Chú ý rằng trạng thái x2 ()k của (3.3b’) được cho bởi công thức
k 1
x ()k(1)N i B v k i .
2 2
i0
Vì 0 và
N h 0
( N là ma trận lũy linh cấp h ) nên trạng thái
x2 ()k của
(3.3b’) có dạng
h
x ()k(1)N i B u k .
2 2
i0
Đây cũng là nghiệm của (3.3b). Như vậy, chứng minh Định lý 3.2.3 được đưa về việc áp dụng Định lý 3.1.2.
3.2.4 Ví dụ
Xét hệ (3.2), trong đó
1 0 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
E , A ,
0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 1
0 1
1
1 0
B , (,
1 0
0 2
):2
10,
2 . (3.4)
Trạng thái của hệ con tiến và hệ con lùi được xác định như sau
x (1k)()() 1 1x k 0 1 u k
1 0 11 1 0
0 0 x (1k)()
x k
1 0
1 0 2 2 0 2
A
i
Tính toán trực tiếp chỉ ra rằng T có véc tơ riêng khác không với giá trị riêng
1 và N T
không có giá trị riêng trên ()B * . Mặt khác ta có
2
rankB1,A1B 2, rank B2,NB2 2
B*(,): 0, 0.
1 1 2 1 2
Vì vậy hệ (3.4) là 0-đạt được toàn cục. Do
A1, A2
là các ánh xạ tràn, giá trị
riêng 0 , nên hệ cũng là điều khiển được toàn cục.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các công thức nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính nhằm làm sáng tỏ sự khác biệt cơ bản giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phân ẩn. Công thức nghiệm của phương trình sai phân cũng là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển.
Luận văn cố gắng trình bày một số vấn đề của lý thuyết định tính phương trình sai phân ẩn tuyến tính (tính đạt được, tính điều khiển được, tính quan sát được, ổn định và ổn định hóa,…) dưới dạng một tổng quan tương đối đầy đủ và thời sự về những vấn đề này.
Nhiều vấn đề của lý thuyết phương trình sai phân ẩn còn chưa được làm sáng tỏ. Hy vọng nó sẽ được quan tâm trong thời gian tới. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế, nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
I. Tiếng Việt
1. Phạm Kỳ Anh: Lý thuyết số trong bài toán điều khiển tối ưu, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001.
2. Vi Diệu Minh, Trần Thiện Toản: Công thức nghiệm của hệ động lực suy biến không dừng có điều khiển, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, No2 (46), Tập 2 (2008), trang 105-109.
3. Phạm Thị Bích Ngọc: Phương trình xác định và tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân tuyến tính (Luận văn Cao học), Đại học sư phạm Thái Nguyên, 2002.
4. Vũ Ngọc Phát: Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học (trong Bộ sách
Cao học, Viện Toán học), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001.
5. Tạ Duy Phượng: Điều khiển được, ổn định và ổn định hóa (Giáo trình Cao học), 2008.
I. Tiếng Anh
6. L. Dai: Singular Control Systems (in Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol 118), Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 1989.
7. Vu Ngoc Phat: Constrained Control Problems of Discrete Processes, Nhà xuất bản Wolld Scientific, Singapor, 1996.
II. Tiếng Nga
8. P. Gabasov, Ph. Kirrilova: Tối ưu hóa hệ tuyến tính, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Bielorus, Minsk, 1973.
9. P. Gabasov, Ph. Kirrilova: Lý thuyết định tính của các quá trình tối ưu, Nhà xuất bản Nauka, Moscow, 1971.
10. Ph. P. Gantmacher: Lý thuyết ma trận, Nhà xuất bản sách Kỹ thuật-Lý thuyết, Moscow, 1954.