Tính Quan Sát Được Của Chuỗi Thời Gian Hữu Hạn

2.1.3 Điều khiển được nhân quả

Xét chuỗi thời gian hữu hạn (2.1). Chọn điều khiển theo liên hệ ngược dạng tuyến tính

u()k()() Kx k

v k

, k  0,1,..., L , (2.12)

trong đó

K mn là ma trận hằng, còn v()k là một điều khiển mới.

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.

Thay u()k theo công thức (2.12) vào hệ (2.1) ta được một hệ đóng

Ex(1k)()()()

A BK x k

Bv k

, k  0,1,..., L . (2.13)

2.1.3.1 Định nghĩa

Chuỗi thời gian rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được nhân quả hay Y-điều khiển được nếu tồn tại một điều khiển theo liên hệ ngược (2.12) sao cho hệ đóng (2.13) là nhân quả.

Kí hiệu Y-điều khiển được là được lấy từ chữ cái đầu tiên của từ “nhân quả” của tiếng Trung Quốc.

Ta có thể thấy, trong nhiều hệ thực tế, tính không nhân quả thường gây nhiều bất ngờ khó kiểm soát. Mặt khác, nó có thể là nguyên nhân gây ra nhiều vấn đề trong điều khiển, nhận dạng và đánh giá hệ thống. Tính Y-điều khiển được đảm bảo khả năng điều khiển mang tính nhân quả nhờ các điều khiển ngược theo trạng thái.

Từ Định lý 2.1.1.2, ta có thể chứng minh định lý sau đây.

2.1.3.2 Định lý

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là Y-điều khiển được nếu và chỉ nếu tồn tại

một ma trận

K mn sao cho

deg zE  ()A BK

rankE .

Điều kiện trên tương đương điều kiện sau:

rank E 0 0 rankE .



A E B 

2.2 TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN

Xét chuỗi thời gian hữu hạn

Ex(1k)()()()() A k x k y()k() Cx k

 B k u k

, k  0,1, 2,..., L . (2.14)

Trong 2.1 ta đã đưa ra khái niệm điều khiển được hoàn toàn, R-điều khiển được và Y-điều khiển được cho chuỗi thời gian hữu hạn, là các khái niệm

điều khiển đầu vào u()k tác động lên trạng thái x()k . Trong phần này, ta đưa

ra ba khái niệm quan sát được, là các khái niệm đối ngẫu tương ứng với ba khái niệm điều khiển được đã nêu. Khái niệm quan sát được cho phép mô tả khả năng khôi phục lại trạng thái theo các quan sát (theo các phép đo) đầu ra y()k , k  0,1,..., L .

Như đã chỉ ra trong 1.4, đối với chuỗi thời gian hữu hạn, trạng thái x()k tại

mọi thời điểm k , 0 k L là hoàn toàn được xác định bởi điều kiện trọn vẹn

x1(0)/ x2()L

n

và các đầu vào

u()k ,

k  0,1,..., L . Bởi vì

u()k là vectơ

biết trước nên tính quan sát được của chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) thực chất

là khả năng khôi phục lại điều kiện trọn vẹn x1(0)/ x2()L

n

từ các phép

đo đầu ra y()k .

2.2.1 Định nghĩa

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là quan sát được nếu trạng thái

x()k

của nó tại mọi thời điểm k bất kì đều được xác định duy nhất bởi các điều

khiển u(i)

và các đầu ra

y(i) ,

i  0,1,..., L .

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là R-quan sát được nếu nó là quan

sát được trong mọi tập đạt được ban đầu

x2 ()L 2 cố định.

Rx2 ()L với mọi điều kiện cuối

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là quan sát được nhân quả nếu trạng

thái x()k của nó tại mọi thời điểm k được xác định duy nhất bởi điều kiện

ban đầu

x1 (0)

và các điều khiển đầu vào u(i)

, i  0,1, 2,..., k .

2.2.2 Định lý

Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là quan sát được hoàn toàn nếu và

chỉ nếu

rank C

/ C A /.../ C A n1 1 n

(2.15a)

1 1 1 1 1 1

và

n 1

rank C2/ C2N /.../ C2N 2n2. (2.15b)

Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là R-quan sát được nếu và chỉ nếu

rank C / C A /.../ C A n1 1 n . (2.16)

1 1 1 1 1 1

Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là Y-quan sát được nếu và chỉ nếu

E A



rank  0 E n rankE . (2.17)

0 C





2.2.2.1 Thí dụ

Xét chuỗi thời gian rời rạc

1 0 0 0 1 1 0 0  0 

 0 1 0 0  0 1 0 0  1 

x(1k)()();x k u k

 0 0 0 1  0 0 1 0  1 



 0 0 0 0  0 0 0 1 1

(2.18)

y()k0 11 0 ();x k 0,k1,2,... . L

Đặt

x()k;

x ()k

1







x k x k

 2 ,

n n

 2 . Hệ (2.18) có thể viết như

(), ()  1 2 1 2

x2()k 



1 1

0

x1(1k)()();  x1k

 u k

 0 1





1

0 1x (1k)()();  x k 1u k



 2 2  

0 0 1





y()k0 1 1 0 (); x k

Ta có:

k  0,1, 2,...L.

A 1 1, N 0 1, C 0 1,C

1 0;

0 1 0 1

1 1 2



C1 A1

0 11 10 1;

0 1



C N 1 00 10 1; rank C1 rank 0 1 12 n ;

2 0 1C A 0 11

1 1 

rank C2 rank 1 0  2 n .

C N 0 1 2

2 

Vì ma trận

E A 



1 0 0 0 1 1 0 0 



 0 1 0 0 0 1 0 0 

 0 0 0 1 0 0 1 0 



 0 0 0 0 0 0 0 1 

 0 E  0 0 0 0 1 0 0 0 

0 C 



0 0 0 0 0 1 0 0



có ma trận con lớn nhất cấp 7  7



 0 0 0 0 0 0 0 1 



 0 0 0 0 0 0 0 0 



0 0 0 0 0 1 1 0 

không suy biến

nên

E A 



1 0 0 1 1 0 0 



 0 1 0 0 1 0 0 

 0 0 1 0 0 1 0 



 0 0 0 1 0 0 0 

 0 0 0 0 1 0 0 



 0 0 0 0 1 1 0 



 0 0 0 0 0 0 1 

1 0 0 0 1 1 0 0 



 0 1 0 0 0 1 0 0 

 0 0 0 1 0 0 1 0 



 0 0 0 0 0 0 0 1 

rank  0 E rank  0 0 0 0 1 0 0 0  7  4  3 n rankE .

0 C 



0 0 0 0 0 1 0 0



 0 0 0 0 0 0 0 1 



 0 0 0 0 0 0 0 0 



 0 0 0 0 0 1 1 0 

Theo Định lý 2.2.2, chuỗi thời gian hữu hạn (2.18) là không quan sát được (và không R-quan sát được), nhưng nó là Y-quan sát được.

2.2.2.2 Thí dụ

Xét chuỗi thời gian hữu hạn

1 0 0 x (1k)() 

 2 0 0 x k 

1 

 0 0 1 1  0 1 0 1

 0 u()k;

x2(1k)() 

x2 k 



 0 0 0  0 0 1  0 

y()k1 00 ()/ x1 (k); x2 k 

(2.19)

k  0,1, 2,...L.

với x ()k, () x k 2, tức là hệ

1 2

x1(1k)2 ()() x1k

và

u k

 0 1 x

(1k)()

1 0 x k .

0 0 2 0 12

Ta có:



A 2, N 0 1 ,C

1,C

0 0; C A 2và

0 0

1 



1 2

E A

1 1

1 0 0 2 0 0 



 0 1 0 0 0 1 

 0 0 0 0 0 0 

C N 0 00 1 0 0;  0 E  0 0 0 1 0 0 .

2 0 0 





E A



 0 C  0 0 0 0 1 0 





 0 0 0 0 0 0 



 0 0 0 1 0 0 

1 0 2 0 

 0 1 0 0 

Vì  0 E  có ma trận con lớn nhất 

cấp 4  4 không suy biến nên

0 C

 0 0 1 0 



 0 0 0 1 

rank C1 rank 1  1 n ,

rank C2  0  2 n ,

C A 2 1 C N 2

1 1 2 

E A



rank  0 E  4  5 n rankE.

0 C





Vậy chuỗi thời gian hữu hạn (2.19) không là quan sát được và cũng không là Y-quan sát được nhưng lại là R-quan sát được.

2.3 NGHIỆM, TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH

2.3.1 Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn dừng

Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng

Ex(1k)()();Ax k Bu k

(2.20)

y()k(),Cx k 0,1, 2k,...

Trong (2.20),

x()k n

là trạng thái,

u()k m

là điều khiển đầu vào và

y()k r

là đầu ra quan sát. Các ma trận

E, Ann , B nm ,C rn là

các ma trận hằng. Ta giả sử rằng hệ (2.20) là suy biến, tức là rankE n .

Sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn (2.20) và chuỗi thời gian hữu

hạn (2.1) là hệ (2.1) là hệ rời rạc hữu hạn, tức là

k  0,1,..., L , trong đó L là

cố định cho trước, do đó nghiệm của nó được xác định theo cả điều kiện đầu

x1 (0)

và điều kiện cuối

x2 ()L . Còn hệ (2.20) là một chuỗi thời gian vô hạn

nên ta chỉ có điều kiện ban đầu.

Trước tiên, với hệ suy biến (2.20), nếu (,E )A là cặp ma trận chính quy thì

theo Bổ đề 1.3.2 Chương 1, tồn tại hai ma trận không suy biến P, Q sao cho

In10 A10

QEP   , QAP    .

Sử dụng phép biến đổi

x()k

0 N 

P x1 ()k ,

0 In2

x ()k 

trong đó

2 

x n1, x n2, n n

n ,

ta có thể đưa hệ (2.20) về dạng

1 2 1 2

x1(1k)()();A1x1k

B1u k

(2.21a)

y1 ()k();C1x1 k

Nx2(1k)()();x2k

B2u k

(2.21b)

y2 ()k();C2 x2 k

trong đó

y()k()();y1

k 0,1,y22,.k..

k  , (2.21c)

n n

A 1 1 , QB :B / B ,CP :C C 

1 1 2 1 2

2 2

n n

và N 

là lũy linh cấp h.

Các hệ con (2.21a) và (2.21b) được gọi là hệ con tiến và hệ con lùi.

Hệ con tiến (2.21a) là hệ phương trình sai phân thường, nghiệm của nó có thể tính được nhờ công thức sau:

x ()k(0)()A, k x 0,1, 2k1

ki1B u i k 

. (2.22a)

1 1 1

,...

i0

A1 1

Công thức nghiệm trên thể hiện mối quan hệ nhân quả giữa trạng thái

x1 ()k

và các đầu vào u(i),

i 0,1,...,

k 1 .

Hệ con lùi (2.21b) là một công thức truy hồi lùi của trạng thái. Bằng cách lặp

lại các phép nhân bên trái với

N 0 I , N1, N 2 ,...N h1 , chúng ta có

x2()k(1)()Nx2 k B2u k

Nx2()k(2)(1N) 2x2

k NB2u k 

N 2x2(2k)(3)(2) N 3x2

...

k N 2B2u k 

N h1x2(1k)()(h1)N hx2

k h

N h1B2

k h 

Ta cộng các phương trình này lại và chú ý rằng

N h  0 ta có công thức biểu

diễn của trạng thái con

x2 ()k :

x ()k(),h1 i

i k 

. (2.22b)

0,1N, 2,B... u k

i0

Từ công thức này chúng ta thấy rằng, để xác định được trạng thái con x2 ()k thì cần phải biết các điều khiển đầu vào tương lai u(i) , ( k i k h  1).

So sánh (2.22b) với (2.3b) chúng ta thấy rằng chúng đồng nhất với nhau khi k L h . Sự khác nhau chỉ xảy ra tại thời điểm L h k L . Vì vậy chúng ta có thể coi (2.1) như là trường hợp riêng của (2.20) và (2.3b) là trường hợp riêng của (2.22b).