Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính

n n

TEˆT 1  diag(,Eˆ

E)ˆ2,

trong đó

Eˆn1n1

là ma trận không suy biến và

Eˆ2  2 2

là ma trận lũy

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.

linh (tồn tại một số tự nhiên h để

Eˆ h  O , trong đó O là ma trận vuông

2 n2 n2

2 2

gồm tất cả các phần tử bằng 0). Chứng tỏ ma trận biến. Đặt

In aEˆ

là không suy

1 2

Khi đó

Q  diag(,Eˆ())1() I  aEˆ

1 T

aE  A 1 và

P  T 1 .

QEP  diag Eˆ1,()I()

aEˆ

1 T

aE  A 1 ET 1

= diag Eˆ1,()I  aEˆ

1 2

1 2 1 2

1 TEˆT 1 = diag Eˆ1,()I(,

a)Eˆ

1 diag Eˆ Eˆ =

Eˆ1 0

Eˆ

0 In

0  I 0

=1

 1

   1

   n1   diag I

, N ,

ˆ1

ˆ  

ˆ 1 ˆ    n1

0 ()I0 aE2



E2 0 (I)  aE2

E2 

0 N 

trong đó

N : ()I  aEˆ2

1 ˆ

là ma trận lũy linh do

Eˆ2

là ma trận lũy linh.

Tương tự, ta cũng có:

1 2

QAP  diag Eˆ1,()I()

aEˆ

1 T

aE  A 1 AT 1 

= diag(,Eˆ())1(,(I))(()a,(Eˆ)) TAˆT 1  diag Eˆ1 I aEˆdiag I aEˆI aEˆ

1 2 1 2 1 2

Eˆ1 0

()I 0aEˆ

Eˆ1 ()I 0aEˆ

  1

 1

   1 1 

ˆ1ˆ  

0 ()I0 aE

()

I  aE

 0

In

2 2 2

 diag(,A I) ,

trong đó

A : Eˆ1 ()I  aEˆ.

1 1 2

Vậy bổ đề 1.3.2 được chứng minh.

1.3.3 Thí dụ

Xét cặp ma trận (,E )A dưới đây

 0 1 1 1 0 1

E  1 1 0 , A  0 2 0. (1.14)



1 0 1

Tính toán trực tiếp ta có:

1 0 1

 0 1 1 1 0 11 s s 1

sE A  det s  1 1 0 0 2 0 det s s  2 0 



1 0 11 0 1s 1 0 s 1



1 0 0 

 det s s2s 2s(1s)(2 )(1)0. s s 2







s 1

s(1s)1

s 

2 

Do đó, E, A là cặp ma trận chính quy.

Phương pháp trực tiếp kiểm tra tính chính quy của cặp ma trận sẽ gặp khó khăn khi E, A là các ma trận cấp cao. Từ quan điểm tính toán, Luenbeger đã đưa ra một tiêu chuẩn khác kiểm tra tính chính qui của cặp ma trận E, A, được gọi là thuật toán trộn.

Cho E Alà ma trận cấp n2n. Nếu E là không suy biến thì E, A là cặp

ma trận chính quy và dừng thuật toán. Còn nếu E là suy biến, bằng cách biến đổi hàng ta có thể chuyển E Avề ma trận khối dạng

E1 A1 , (1.15)

0 A 

2 

trong đó

E qn

có hạng dòng đầy đủ với q rank E . Khi đó, ta trộn dòng

khối thứ hai trong (1.15) để đưa nó về dạng

E1 A1 . (1.16)

A 0 

2 

Nếu E / A E1 

là không suy biến thì E, A là cặp ma trận chính quy và

1 2 A 

2 

dừng thuật toán. Còn không, ta lặp lại thuật toán. Thuật toán sẽ kết thúc theo

cách sau đây: Ma trận có dạng n cột không suy biến dẫn tới E, A là cặp ma trận chính quy hoặc cuối cùng là một dòng không xuất hiện trong ma trận (1.16) dẫn tới E, A là cặp ma trận không chính quy.

1.3.4 Thí dụ

Xét cặp ma trận E, A trong Thí dụ 1

 0 1 1 1 0 1



E A1 1 0 0 2 0. (1.17)

1 0 1 1 0 1

Ma trận E là suy biến. Biến đổi dòng trong (1.17) như sau:

Cộng dòng thứ hai với dòng thứ 3, sau đó nhân dòng thứ nhất với (-1) và cộng với dòng thức ba ta được:

 0 1 1 1 0 10 1 1 1 0 10 1 1 1 0 1

E A1 1 0 0 2 01 1 0 0 2 01 1 0 0 2 0. (1.18)



1 0 1 1 0 10 1 1 1 2 10 0 0 2 2 0

Trộn (1.18) bằng cách đổi chỗ ma trận 0 0 0và dòng cuối cùng, ta được

A2 2 2 0ở

 0 1 1 1 0 1



 1 1 0 0 2 0.

2 2 0 0 0 0

Ma trận trái cấp 33 là không suy biến, do đó E, A là cặp ma trận chính quy.

1.4 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH ẨN VỚI CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY

Xét hệ

Ex(1k)()() Ax k

Bu k ,

y()k()() C k x k

, k  0,1, 2,...

(1.19)

Bổ đề 1.3.2 chỉ ra rằng, với giả thiết chính quy của cặp ma trận E, A, hệ (1.19) có thể đưa về dạng sau:

x1(1k)()()(); A1x1k

 B1k u k

(1.20 ) a

Nx (1k)()()(), x k0,1, 2B,....k u k k 

(1.20 ) b

 2 2 2

Thật vậy, do (,E )A là cặp ma trận chính quy nên theo Bổ đề 1.3.2 tồn tại hai

In10 A10

ma trận không suy biến

P, Q sao cho

QEP   , QAP    .

Đưa vào biến mới

z()k() P1x k

hay

0 N 

x()k() Pz k

0 In2

Pz1()k

z2()k





và đặt

QB()k

B ()k

1



B2()k

. Khi ấy (1.19) có thể viết lại như sau:



1

z (1k)()



z2(1k)()



 

APz1k

z2k



 

B()k()u k

. (1.21)

Nhân hai vế của (1.21) với Q ta được:

1



z (1k)() 

QEP

z1k

   QAP

  QB()k()u k .

z2(1k)() 

Theo Bổ đề 1.3.2 ta có

z2

k

In1

0z1(1k)()() 

A10 z1k

B1 k 

 

   

 

u()k .

0 N

z

(1k)()() 

0 I

z k 

B k 

 2

Từ đây ta có

 n2  2 2

z1(1k)()()(); A1z1k

 B1k u k

(1.22a)

Nz (1k)()()(), z k0,1, 2B,... k u k k 

(1.22 ) b

 2 2 2

Đây chính là công thức (1.20). Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận

E, A là chính qui. Như vậy, để nghiên cứu hệ phương trình sai phân (1.19) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (1.22) (thường được viết dưới dạng (1.20)).

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có tham số điều khiển (1.22).

1.4.1 Mệnh đề

Với mỗi điều kiện ban đầu z (0)  n1 và dãy điều khiển

nghiệm của (1.22a) có dạng

k1

u(i), i 0,1, 2,... ,

z ()k(0)()A()kz  A ki1B i u i

. (1.23a)

1 1 1 1 1

i0

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) bằng phương pháp quy nạp.

Với k 1 ta có

z (1)(0)A()(z)(0)(0)(0) A i B i u i

 A z

 B u .

1 1 1 1 1 1 1 1

i0

Giả sử với mọi k s công thức (1.23a) đúng, khi ấy công thức (1.23a) đúng

với k s :

z ()s(0)()A()sz

s1

 A si1B i u i .

1 1 1 1 1

i0

Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) đúng với Thật vậy, từ (1.20a) và qui nạp ta có:

k  s 1.

z1(1s)()()() A1z1s  B1s u s =

s1

= A ((A0)s(z)())()()A si1B i u i  B s u s

1 1 1 1 1 1

i0

s1

= A s1z (0)()()()()A si B i u i  B s u s

1 1 1 1 1

i0

1 1 1 1

= A s1z (0)()() A si B i u i .

i0

Vậy công thức (1.23a) được chứng minh.

Công thức (1.23a) thực chất là công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính đã biết trong các tài liệu (xem, thí dụ, [7], [8]).

1.4.2 Mệnh đề

Giả sử L>0 là một số cố định cho trước. Khi đó với điều kiện cuối

z2 ()L và

dãy điều khiển u()k , k  0,1, 2,..., L

cho trước, nghiệm của phương trình

Nz2(1k)()()() z2k

 B2

k u k

, k  0,1, 2,..., L

(1.20b)

được tính theo công thức sau:

Lk1

z ()k()()()N Lk z L  N iB k  i u k  i

, k  0,1, 2,..., L . (1.23b)

2 2 2

i0

Chứng minh

Ta có

Suy ra

Nz2(1k)()()()

z2 k

 B2

k u k .

Do đó

Nz2()L(1)(1z)2(1L)   B2L 

u L  .

N Lk z2()L(1)(1)N(1L)k1z2

L   N Lk1B L 

u L 

 N Lk2 Nz2(1L)(1)(1)

NLk1B L 

u L 

 N Lk2 z2(2L)(2)(2)(1B)(1L) 

u L 

 N Lk1B L 

u L 

 N Lk3 Nz2(2L)(2)(2)(1N)(L1)k2 B L 

u L   N Lk1B L 

u L 

 N Lk3 z2(3L)(3)(

 B L 

u L  3) 

N Lk2 B(2L)(2)(1u)(1L)...

Lk1

N Lk1B L 

u L  

Lk1

 N 0z2()k()()()()() N iB2

i0

k  i u k  i

 z2 k

 N iB2

i0

k  i u k  i

Vậy

z2()k()()()N Lk z2L

Lk1

 

i0

N i B2

k  i u k  i

, k  0,1, 2,..., L .

Công thức (1.23b) được chứng minh.

Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (1.20) (hay (1.22)) với

k  0,1, 2,..., L

thường được gọi là chuỗi thời gian hữu hạn (the finite time

series). Nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn có thể tính được tường minh theo

công thức các công thức (1.23a) và (1.23b).

Trong trường hợp (1.22) là hệ phương trình hệ sai phân ẩn tuyến tính dừng

(B(k)  B ) thì các công thức nghiệm của nó được xác định như sau:

z1()k(0)()A1z1

k1

 

i0

ki1

A B u i

1 1

, k  0,1, 2,..., L ; (1.24a)

z2()k()()

N Lk z2 L

Lk1

 

i0

N iB2u k  i

, k  0,1, 2,..., L . (1.24b)

1.4.3 Thí dụ

Xét chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc

1 0 0 0 1 1 0 0  0 

 0 1 0 0  0 1 0 0  1 

x(1k)()(), 0,1,2x,..k. u k k 

L . (1.25)

 0 0 0 1  0 0 1 0  1 



 0 0 0 0  0 0 0 1 1

Đặt

x()k;

x ()k

1







x k x k

 2 . Khi ấy hệ (1.25) có thể viết lại như sau:

(), ()  1 2

x2()k 

 1 1

0

x1(1k)()();  x1k

 u k



 0 1



1

0 1  1

x2(1k)()(),  x2k0,1,2,...u.

k k  L

Ta có:

0 0

1

A 1 1 , A2 1 11 11 2  ,…, Ak 1 1

k 1,

1 0 11 0 10 10 1 1 0 1 



Ak Ak 1 A 1

k 1 1 1 1

k ;

1 1 1

 0 1

0 10 1 

Ak i1B

 1



k i 1 0k i 1;

1 1 0 1 11 



0 0 

N 0 1  ,



N 2  0 1  0 1  0 0 ;

0 0 0 0 0 0 



NB2

0 1 1 1.

0 0 10 



Theo công thức (1.23a) và (1.23b), nghiệm của (1.25) được tính như sau:

x ()k(0)()(A0)k()x 0

k1

ki1

 A B u i

1kx

k  i 1

,  k  L .

k1 

1 1 1

 1 1

  1  

u i

i0

0 1

i0 1 

Trạng thái

x2 ()k được tính theo công thức:

0 1  1

x2 ()L(),u k1;

k  L 



x2 ()k()()

N Lk x2

L k1

L  

N i B2u k  i

0 0



1

0 1u(1k)(), 0 1u k 2.

 k  L 

   

0  1

Ta thấy

x2 ()k là không phụ thuộc vào trạng thái cuối

x2 ()L khi k L  2 .

Phương trình (1.22a) là một công thức truy hồi tiến và nghiệm của nó được

tính theo công thức (1.23a), trong đó trạng thái

z1 ()k tại thời điểm k hoàn

toàn được xác định duy nhất bởi điều kiện đầu

z1 (0)

và các đầu vào

u(i),

i 0,1,...,

k 1

trước thời điểm k . Mối quan hệ giữa trạng thái ban đầu

x()k và u()k như vậy được gọi là quan hệ nhân quả. Chính xác hơn, ta đưa

vào định nghĩa sau.

1.4.4 Định nghĩa

Chuỗi thời gian hữu hạn (1.19) được gọi là có tính chất nhân quả nếu trạng

thái

x()k , 0 k L

của nó tại bất kỳ thời điểm k được xác định hoàn toàn