Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính

Điều kiện cần Giả sử hệ (2.41) là ổn định hoá được. Khi đó tồn tại một ma

trận

K  mn

sao cho

s(,E A  BK)

U . Vì vậy

z  , z 1, z

là hữu

hạn ta có

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.

rank ((z)E) 

A  BK

 n .

Mặt khác vì

zE  ()A(,)BK  zE  A B

I

 

nên

rank ((z)E)(, )A  BK

K 

 rank zE  A B

I

 

K 

Kết hợp hai công thức trên cho ta kết quả

rank (,zE),

Vậy (2.43a) được chứng minh.

A B ,

n 1z   z  .

Điều kiện đủ Vì (2.41) là chính quy nên tồn tại hai ma trận không suy biến

Q, P sao cho

QEP  diag(,In)N, QAP  dia(,g A)1, In

Q(B/ ) B1

B2 ,

1 2

trong đó n  n

 n và

N n2n2

là ma trận lũy linh. Nếu (2.42a) được thỏa

1 2

mãn thì ta có

n rank (,zE)(, A B) rank zQEP QAP QB

rank zI A1 0 B1

n

rank (,zI ) A B

 0 zN I B 

2 1 1

với mọi Suy ra

z , z

2 

 1, z hữu hạn.

rank (,zI ) A1B1

n1 với mọi

z , z

 1, z

hữu hạn.

Do đó ta có thể chọn được ma trận K sao cho ()A B K

U . Chọn ma

trận hệ số liên hệ ngược là K  (,K01)

1 1 1

P1 . Dễ dàng kiểm tra được

 (,E A BK)() 

A1 B1K1

nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng

phức. Vậy hệ (2.40) là ổn định hóa được.

Nhận xét

Trong chứng minh Định lý ta cũng đã chỉ ra rằng, hệ chính qui (2.41) là ổn định hóa được (nhận biết được) khi và chỉ khi hệ con tiến là ổn định hóa được (nhận biết được).

2.4.2.3 Thí dụ

Xét hệ

1 0 0 0 1 1 0 0  0 

 0 1 0 0  0 1 0 0  1 

x(1k)()(); 0,1, 2,.x.. k u k k 

(2.44)

Ta có

 0 0 0 1  0 0 1 0  1 



 0 0 0 0  0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0  z-1 -1 0 0 

 0 1 0 0  0 1 0 0  0 z-1 0 0 

zE A z  ;

 0 0 0 1  0 0 1 0  0 0 -1 z 



 0 0 0 0  0 0 0 1  0 0 0 -1

 z-1 -1 0 0 0 





 0 z-1 0 0 1 

rank zE A, B rank  4 với mọi z  .

 0 0 -1 z 1 



 0 0 0 -1 -1

Chứng tỏ hệ (2.44) ổn định hóa được. Thí dụ, chọn có

K  (0,75

2 0 0)

, ta

1 1 0 0

0 

1 1 0 00 0 0 01

1 0 0 

0 1 0 0

1 

0 1 0 00,75 2 0 0

0,75 1 0 0

ABK 0,75,2,0,0

0 0 1 0 1 

0 0 1 00,75 2 0 00,75 2 1 0 





0 0 0 1

1

0 0 0 10,75 2 0 0

0,75 2 0 1 

1 0 0 0 1 1 0 0  z-1 -1 0 0 

 0 1 0 0 0,75 1 0 0  0,75 z+1 0 0 

zE A BK z 

 0 0 0 1 0,75  2 1 0  0,75 2 -1 z 





 0 0 0 0  0,75 2 0 1  -0,75 -2 0 -1

 z-1 -1 0 0 

 0,25 z+1 0 0 

det zE A BK  det 

 0,25 2 -1 z 



 -0,25 -2 0 -1

 z-1 -1 0 0 

2

 0,75 z+1 0 0 

 det z  0, 25  0



 0,75-0,75z 2-2z -1 0 

Vậy

 -0,75 -2 0 -1 

z1,2 0,5 và  (,E A BK)0,5, -0,5

nằm trong vòng tròn đơn vị trên

mặt phẳng phức. Chứng tỏ hệ (2.43) là ổn định hóa được, mặc dù ta đã biết trong Thí dụ 2.4.1.3, hệ (2.41) là không ổn định.

Ta có quan hệ giữa các khái niệm điều khiển được, ổn định, quan sát được và nhận biết được như sau.

Điều khiển được  R-điều khiển được  ổn định hóa được. Điều khiển được  Y-điều khiển được.

Điều khiển được  R-điều khiển được+ rank E Bn .

Quan sát được  R-quan sát được  nhận biết được. Quan sát được  Y-quan sát được.

Quan sát được  R-quan sát được + rank E / C n .

2.5 QUAN SÁT TRẠNG THÁI CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

ẨN TUYẾN TÍNH

Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính

Ex(1k)()();  Ax k y()k(), Cx0k,1, 2k,...,

 Bu k

(2.45)

trong đó

x()k,

(),n()u,

k,  m

y, k

 rE,

A  nn

B  nm

C  rn là

các ma trận hằng. Ta luôn giả thiết rằng rankE  n .

Trong hệ (2.45), điều kiện ban đầu

x(0)

thường là không biết trước, do đó

khó hoặc không thể xác định được chính xác trạng thái

x()k và đầu ra

y()k .

Do đó ta phải xây dựng “trạng thái quan sát được” (state observer) xˆ()k sao

cho giữa trạng thái thật

x()k của hệ (2.45) và trạng thái quan sát được

xˆ()k

có tính chất tiệm cận. Như vậy, ta phải xây dựng một hệ động lực mà đầu vào phải gồm đầu vào và đầu ra của hệ (2.45). Cụ thể hơn, bài toán xây dựng trạng thái quan sát được đối với hệ (2.45) là bài toán xây dựng hệ động lực dạng

Ecxc(1k)()()();

Acxck  Bcu k

 Gy k

(2.46)

w()k()()()F,cxck

 Fu k

 Hy k

trong đó

x ()k, (), nc ,w k  n,E ,A , , nc, nc B G F F H

là các ma trận

c c c c c

hằng và

zEc Ac

 0 , sao cho trạng thái của hệ mới (2.46) và hệ cũ (2.45)

thỏa mãn tính chất tiệm cận

lim ((w)()k)0 x k

k

 với mọi

x(0), xc (0) . (2.47)

Hệ (2.46) thỏa mãn tính chất (2.47) được gọi là hệ quan sát của hệ (2.45).

Nếu

rankEc  nc

thì hệ quan sát (2.46) được gọi là hệ quan sát suy biến.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết

rankEc  nc và

Ec  In . Khi ấy

hệ (2.46) được gọi là hệ quan sát chuẩn tắc (a normal observer).

Đối với hệ (2.45), chúng ta xét hệ động lực dưới đây

Exˆ(1k)()()(()()A)xˆ k

 Bu k

 G y k

 Cxˆ k

. (2.48)

Trong hệ (2.48), hai thành phần đầu của vế phải

Axˆ()k() Bu k

chính là vế

phải của hệ (2.45), còn thành phần cuối

G((y)(k))  Cxˆ k

được sử dụng để

hiệu chỉnh sai số trong quá trình mô hình hóa. Nếu

xˆ(0)(0) x

thì các trạng

thái của hệ (2.48) và hệ (2.45) là đồng nhất, tức là

k  0,1, 2,....

xˆ()k() x k

với mọi

Đặt e()k()() x k

 xˆ k

là ước lượng sai số giữa

x()k và

xˆ()k . Khi ấy e()k

thỏa mãn hệ động lực sau

Ee(1k)()(), (0)A(0)(G0)C e k e

 x  xˆ

. (2.49)

Nếu (2.45) là nhận biết được thì ma trận G có thể được chọn sao cho ta có

s(,E A  GC) U . Chứng tỏ hệ (2.49) là ổn định, do đó

hay

lim e()k0,

k

(0)e

lim x()k()0 xˆ k

k

 với mọi

x(0), xˆ(0) .

Điều này có nghĩa là trạng thái

mãn tính chất tiệm cận.

2.5.1 Định lý

xˆ()k của hệ mới và trạng thái của hệ cũ thỏa

Nếu hệ (2.45) là nhận biết được, thì tồn tại một ma trận

(2.48) là một hệ quan sát của hệ (2.45).

2.5.2 Định lý

G  nr

sao cho

Nếu hệ (2.45) có hệ quan sát và rankE  n

thì tồn tại một ma trận G sao

cho trạng thái của hệ (2.45) có thể khôi phục lại được một cách chính xác

nhờ hệ quan sát (2.48).

Định lý 2.5.2 nói rằng, không cần biết trạng thái ban đầu

hệ (2.45) vẫn có thể khôi phục lại được nhờ hệ (2.48).

2.5.3 Thí dụ

Xét hệ sau

x(0) , trạng thái của

1 0 0 0 

0 

     

0 1 0 0

1 1 0 0 

1 

x(1k)()();  

 x k 

u k

0 0 0 0

0 0 1 0

0 

(2.50)

     

0 0 1 0

0 0 0 1

2

y()k0 1 1 -1 (), x k

0,1k, 2,...

trong đó ma trận C  1 0 0 -1T

thỏa mãn

zE  ()A1 GC

  constant.

Theo Định lý 2.5.2, tại mỗi bước k , hệ quan sát

1 0 0 0 

0 

1 

       

0 1 0 0

1 1 0 0 

1 

0 

x(1k)()()() 

 x k 

u k 

 y k

0 0 0 0

0 0 1 0

0 

       

0 0 1 0

0 0 0 1

2

1

xác định chính xác trạng thái của hệ (2.48).

Giả sử hệ (2.44) được đưa về dạng:

x1(1k)()();A1x1k

B1u k

(2.51a)

y1 ()k();C1x1 k

Nx2(1k)()();x2k

B2u k

(2.51b)

y2 ()k();C2 x2 k

y()k()();y1

k 0,1,y22,.k..

k  , (2.51c)

Ta thấy rằng Định lý 2.5.2 vẫn đúng với điều kiện hệ (2.51) là R-quan sát

được, rankE  n,C2  0 .

2.5.4 Định lý

Giả sử rằng hệ (2.45) là nhận biết được và Y-quan sát được, khi đó nó có hệ

quan sát trạng thái có bậc không lớn hơn hạng của E dạng

xc(1k)()()();

Ac xc k

 Bcu k

 Gy k

w()k()()()F,cxck

 Fy k

 Hu k

trong đó

xc ()k,

 d

d ,ra(n)kE w k

 n , sao cho

lim ((w)()k)0,

k

x (k0), (0)x xc.

Như đã phân tích trong 2.3, quan hệ nhân quả nói chung là không tồn tại giữa trạng thái và đầu vào trong hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn. Trạng thái x()k tại thời điểm k nói chung không được xác định chỉ bởi điều kiện ban

đầu và các đầu vào

u(0), u(1),...,u (k)

như trong trường hợp phương trình sai

phân thường. Nhưng Định lý 2.5.4 đã chỉ ra một hiện tượng khá thú vị là,

dưới một vài điều kiện, trạng thái x()k tại thời điểm k của hệ (2.45) có thể

được đánh giá tiệm cận bởi các đầu ra

y(0), y(1),..., y (k)

cùng với các đầu

vào u(0), u(1),...,u (k)

k đủ lớn.

trước đó. Hơn nữa, sai số có thể nhỏ tùy ý khi số bước

Ta có thể minh họa cách thiết kế hệ quan sát qua thí dụ sau.

2.5.5 Thí dụ

Hệ (2.49) có rankC 1 và hai ma trận không suy biến

0 0 1 0 0 1 0 0 

   

1 0 0 0  0 0 1 0

Q  , P   

0 1 0 0 0 0 0 1

   

0 0 0 1 1 0 1 1

thỏa mãn

0 0 0 1

0 1 0 0

0

0

QEP  diag(0, I

); CP  1 0 0 0;

QAP  

,QB  .

3  

0 1 1 0 1 

   

1 0 1 1 2

Đặt

P1x()k,

x ()k 

1



 x k

  x k

 3 , hệ (2.49) được đưa vầ dạng



(), ()

x2()k

x1 ()k(); y k

1 2

1 0 0

0 0 

x (1k)1 1 0 ()1 x()0k

 u k  y k

(2.52)

2   2

();  

     

0 1 1

y  0 0 1x2()k0.

1 1T

2

1

Giả sử

G2   ,1,  . Khi ấy G2

thỏa mãn

6 6

1 0 01/ 6 

s()A(11 G0 C

1s  0 0  

  

1 2

2 2 

1 )0, ,   

   

 2 3

0 1 1 11/ 6

nằm trong hình tròn đơn vị của mặt phẳng phức. Do đó ta có thể xây dựng

được hệ quan sát cho trạng thái con x2 ()k :

1 0 00

0 

xˆ (1k)(1 1 0 0 G1  ()1 xˆ()0k

 u k  y k  G y

(2.53)

2 02 2 ()  2

     

sao cho

0 1 1

2 2

lim ((x)()k)0, xˆ(0)k,

k 

2

(0). x xˆ2

1

Kết hợp (2.51) với (2.52) ta nhận được quan sát chuẩn của hệ (2.49) có dạng

1 0 -

1 



0 0 

 6 

   

x (1k)1 1 -1 ()1 x()0k ();u k    y k

c   c    



0 1 -

5 2



6

1

(2.54)

1 0 0 0 

   

w()k() 0 1 0 x k 0 y()k,

  c 0 

0 0 1  

   

trong đó

0 1 1

xc()k()  xˆ2k

1

và lim ((w)()k)0,

x

x (k0), (0)x xc .

Như vậy, ta đã thiết kế được hệ quan sát có bậc là 3 (giảm bậc), trong đó các

đầu vào u()k không tham gia trong công thức đầu ra w()k .

Hơn nữa, ta còn có thể chứng minh được rằng trạng thái tại mọi thời điểm k

có thể được khôi phục một cách chính xác từ các đầu ra y(0), y(1),..., y (k)

cùng với các đầu vào u(0),u(1),...,u (k) trước đó.