Điều kiện cần Giả sử hệ (2.41) là ổn định hoá được. Khi đó tồn tại một ma
trận
K mn
sao cho
s(,E A BK)
U . Vì vậy
z , z 1, z
là hữu
hạn ta có
Có thể bạn quan tâm!
- Tính Quan Sát Được Của Chuỗi Thời Gian Hữu Hạn
- 0 Là Tập Hợp Các Trạng Thái Ban Đầu Chấp Nhận Được,
- Tính Ổn Định Hóa Được Của Hệ Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Có Tham Số Điều Khiển
- Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính - 8
Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.
rank ((z)E)
A BK
n .
Mặt khác vì
zE ()A(,)BK zE A B
I
nên
rank ((z)E)(, )A BK
K
rank zE A B
I
K
Kết hợp hai công thức trên cho ta kết quả
rank (,zE),
Vậy (2.43a) được chứng minh.
A B ,
n 1z z .
Điều kiện đủ Vì (2.41) là chính quy nên tồn tại hai ma trận không suy biến
Q, P sao cho
QEP diag(,In)N, QAP dia(,g A)1, In
Q(B/ ) B1
B2 ,
1 2
trong đó n n
n và
N n2n2
là ma trận lũy linh. Nếu (2.42a) được thỏa
1 2
mãn thì ta có
n rank (,zE)(, A B) rank zQEP QAP QB
rank zI A1 0 B1
n
rank (,zI ) A B
0 zN I B
2 1 1
với mọi Suy ra
z , z
2
1, z hữu hạn.
rank (,zI ) A1B1
n1 với mọi
z , z
1, z
hữu hạn.
Do đó ta có thể chọn được ma trận K sao cho ()A B K
U . Chọn ma
1
trận hệ số liên hệ ngược là K (,K01)
1 1 1
P1 . Dễ dàng kiểm tra được
(,E A BK)()
A1 B1K1
nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng
phức. Vậy hệ (2.40) là ổn định hóa được.
Nhận xét
Trong chứng minh Định lý ta cũng đã chỉ ra rằng, hệ chính qui (2.41) là ổn định hóa được (nhận biết được) khi và chỉ khi hệ con tiến là ổn định hóa được (nhận biết được).
2.4.2.3 Thí dụ
Xét hệ
1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1
x(1k)()(); 0,1, 2,.x.. k u k k
(2.44)
Ta có
0 0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 z-1 -1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 z-1 0 0
zE A z ;
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 -1 z
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1
z-1 -1 0 0 0
0 z-1 0 0 1
rank zE A, B rank 4 với mọi z .
0 0 -1 z 1
0 0 0 -1 -1
Chứng tỏ hệ (2.44) ổn định hóa được. Thí dụ, chọn có
K (0,75
2 0 0)
, ta
1 1 0 0
0
1 1 0 00 0 0 01
1 0 0
0 1 0 0
1
0 1 0 00,75 2 0 0
0,75 1 0 0
ABK 0,75,2,0,0
0 0 1 0 1
0 0 1 00,75 2 0 00,75 2 1 0
0 0 0 1
1
0 0 0 10,75 2 0 0
0,75 2 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 z-1 -1 0 0
0 1 0 0 0,75 1 0 0 0,75 z+1 0 0
zE A BK z
0 0 0 1 0,75 2 1 0 0,75 2 -1 z
0 0 0 0 0,75 2 0 1 -0,75 -2 0 -1
z-1 -1 0 0
0,25 z+1 0 0
det zE A BK det
0,25 2 -1 z
-0,25 -2 0 -1
z-1 -1 0 0
2
0,75 z+1 0 0
det z 0, 25 0
0,75-0,75z 2-2z -1 0
Vậy
-0,75 -2 0 -1
z1,2 0,5 và (,E A BK)0,5, -0,5
nằm trong vòng tròn đơn vị trên
mặt phẳng phức. Chứng tỏ hệ (2.43) là ổn định hóa được, mặc dù ta đã biết trong Thí dụ 2.4.1.3, hệ (2.41) là không ổn định.
Ta có quan hệ giữa các khái niệm điều khiển được, ổn định, quan sát được và nhận biết được như sau.
Điều khiển được R-điều khiển được ổn định hóa được. Điều khiển được Y-điều khiển được.
Điều khiển được R-điều khiển được+ rank E Bn .
Quan sát được R-quan sát được nhận biết được. Quan sát được Y-quan sát được.
Quan sát được R-quan sát được + rank E / C n .
2.5 QUAN SÁT TRẠNG THÁI CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
ẨN TUYẾN TÍNH
Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính
Ex(1k)()(); Ax k y()k(), Cx0k,1, 2k,...,
Bu k
(2.45)
trong đó
x()k,
(),n()u,
k, m
y, k
rE,
A nn
B nm
C rn là
các ma trận hằng. Ta luôn giả thiết rằng rankE n .
Trong hệ (2.45), điều kiện ban đầu
x(0)
thường là không biết trước, do đó
khó hoặc không thể xác định được chính xác trạng thái
x()k và đầu ra
y()k .
Do đó ta phải xây dựng “trạng thái quan sát được” (state observer) xˆ()k sao
cho giữa trạng thái thật
x()k của hệ (2.45) và trạng thái quan sát được
xˆ()k
có tính chất tiệm cận. Như vậy, ta phải xây dựng một hệ động lực mà đầu vào phải gồm đầu vào và đầu ra của hệ (2.45). Cụ thể hơn, bài toán xây dựng trạng thái quan sát được đối với hệ (2.45) là bài toán xây dựng hệ động lực dạng
Ecxc(1k)()()();
Acxck Bcu k
Gy k
(2.46)
w()k()()()F,cxck
Fu k
Hy k
trong đó
x ()k, (), nc ,w k n,E ,A , , nc, nc B G F F H
là các ma trận
c c c c c
hằng và
zEc Ac
0 , sao cho trạng thái của hệ mới (2.46) và hệ cũ (2.45)
thỏa mãn tính chất tiệm cận
lim ((w)()k)0 x k
k
với mọi
x(0), xc (0) . (2.47)
Hệ (2.46) thỏa mãn tính chất (2.47) được gọi là hệ quan sát của hệ (2.45).
Nếu
rankEc nc
thì hệ quan sát (2.46) được gọi là hệ quan sát suy biến.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết
rankEc nc và
Ec In . Khi ấy
c
hệ (2.46) được gọi là hệ quan sát chuẩn tắc (a normal observer).
Đối với hệ (2.45), chúng ta xét hệ động lực dưới đây
Exˆ(1k)()()(()()A)xˆ k
Bu k
G y k
Cxˆ k
. (2.48)
Trong hệ (2.48), hai thành phần đầu của vế phải
Axˆ()k() Bu k
chính là vế
phải của hệ (2.45), còn thành phần cuối
G((y)(k)) Cxˆ k
được sử dụng để
hiệu chỉnh sai số trong quá trình mô hình hóa. Nếu
xˆ(0)(0) x
thì các trạng
thái của hệ (2.48) và hệ (2.45) là đồng nhất, tức là
k 0,1, 2,....
xˆ()k() x k
với mọi
Đặt e()k()() x k
xˆ k
là ước lượng sai số giữa
x()k và
xˆ()k . Khi ấy e()k
thỏa mãn hệ động lực sau
Ee(1k)()(), (0)A(0)(G0)C e k e
x xˆ
. (2.49)
Nếu (2.45) là nhận biết được thì ma trận G có thể được chọn sao cho ta có
s(,E A GC) U . Chứng tỏ hệ (2.49) là ổn định, do đó
hay
lim e()k0,
k
(0)e
lim x()k()0 xˆ k
k
với mọi
x(0), xˆ(0) .
Điều này có nghĩa là trạng thái
mãn tính chất tiệm cận.
2.5.1 Định lý
xˆ()k của hệ mới và trạng thái của hệ cũ thỏa
Nếu hệ (2.45) là nhận biết được, thì tồn tại một ma trận
(2.48) là một hệ quan sát của hệ (2.45).
2.5.2 Định lý
G nr
sao cho
Nếu hệ (2.45) có hệ quan sát và rankE n
thì tồn tại một ma trận G sao
cho trạng thái của hệ (2.45) có thể khôi phục lại được một cách chính xác
nhờ hệ quan sát (2.48).
Định lý 2.5.2 nói rằng, không cần biết trạng thái ban đầu
hệ (2.45) vẫn có thể khôi phục lại được nhờ hệ (2.48).
2.5.3 Thí dụ
Xét hệ sau
x(0) , trạng thái của
1 0 0 0
1 0 0 0
0
0 1 0 0
1 1 0 0
1
x(1k)()();
x k
u k
0 0 0 0
0 0 1 0
0
(2.50)
0 0 1 0
0 0 0 1
2
y()k0 1 1 -1 (), x k
0,1k, 2,...
trong đó ma trận C 1 0 0 -1T
thỏa mãn
zE ()A1 GC
constant.
Theo Định lý 2.5.2, tại mỗi bước k , hệ quan sát
1 0 0 0
1 0 0 0
0
1
0 1 0 0
1 1 0 0
1
0
x(1k)()()()
x k
u k
y k
0 0 0 0
0 0 1 0
0
0
0 0 1 0
0 0 0 1
2
1
xác định chính xác trạng thái của hệ (2.48).
Giả sử hệ (2.44) được đưa về dạng:
x1(1k)()();A1x1k
B1u k
(2.51a)
y1 ()k();C1x1 k
Nx2(1k)()();x2k
B2u k
(2.51b)
y2 ()k();C2 x2 k
y()k()();y1
k 0,1,y22,.k..
k , (2.51c)
Ta thấy rằng Định lý 2.5.2 vẫn đúng với điều kiện hệ (2.51) là R-quan sát
được, rankE n,C2 0 .
2.5.4 Định lý
Giả sử rằng hệ (2.45) là nhận biết được và Y-quan sát được, khi đó nó có hệ
quan sát trạng thái có bậc không lớn hơn hạng của E dạng
xc(1k)()()();
Ac xc k
Bcu k
Gy k
w()k()()()F,cxck
Fy k
Hu k
trong đó
xc ()k,
d
d ,ra(n)kE w k
n , sao cho
lim ((w)()k)0,
k
x (k0), (0)x xc.
Như đã phân tích trong 2.3, quan hệ nhân quả nói chung là không tồn tại giữa trạng thái và đầu vào trong hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn. Trạng thái x()k tại thời điểm k nói chung không được xác định chỉ bởi điều kiện ban
đầu và các đầu vào
u(0), u(1),...,u (k)
như trong trường hợp phương trình sai
phân thường. Nhưng Định lý 2.5.4 đã chỉ ra một hiện tượng khá thú vị là,
dưới một vài điều kiện, trạng thái x()k tại thời điểm k của hệ (2.45) có thể
được đánh giá tiệm cận bởi các đầu ra
y(0), y(1),..., y (k)
cùng với các đầu
vào u(0), u(1),...,u (k)
k đủ lớn.
trước đó. Hơn nữa, sai số có thể nhỏ tùy ý khi số bước
Ta có thể minh họa cách thiết kế hệ quan sát qua thí dụ sau.
2.5.5 Thí dụ
Hệ (2.49) có rankC 1 và hai ma trận không suy biến
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0
Q , P
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1 1
thỏa mãn
0 0 0 1
0 1 0 0
0
0
QEP diag(0, I
); CP 1 0 0 0;
QAP
,QB .
3
0 1 1 0 1
1 0 1 1 2
Đặt
P1x()k,
x ()k
1
x k
x k
3 , hệ (2.49) được đưa vầ dạng
(), ()
x2()k
x1 ()k(); y k
1 2
1 0 0
0 0
x (1k)1 1 0 ()1 x()0k
u k y k
(2.52)
2 2
();
0 1 1
y 0 0 1x2()k0.
1 1T
2
1
Giả sử
G2 ,1, . Khi ấy G2
thỏa mãn
6 6
1 0 01/ 6
s()A(11 G0 C
1s 0 0
1 2
2 2
1 )0, ,
2 3
0 1 1 11/ 6
nằm trong hình tròn đơn vị của mặt phẳng phức. Do đó ta có thể xây dựng
được hệ quan sát cho trạng thái con x2 ()k :
1 0 00
0
xˆ (1k)(1 1 0 0 G1 ()1 xˆ()0k
u k y k G y
(2.53)
2 02 2 () 2
sao cho
0 1 1
2 2
lim ((x)()k)0, xˆ(0)k,
k
2
(0). x xˆ2
1
Kết hợp (2.51) với (2.52) ta nhận được quan sát chuẩn của hệ (2.49) có dạng
1 0 -
1
0 0
6
x (1k)1 1 -1 ()1 x()0k ();u k y k
c c
0 1 -
5 2
6
1
(2.54)
1 0 0 0
w()k() 0 1 0 x k 0 y()k,
c 0
0 0 1
trong đó
0 1 1
xc()k() xˆ2k
1
và lim ((w)()k)0,
x
x (k0), (0)x xc .
Như vậy, ta đã thiết kế được hệ quan sát có bậc là 3 (giảm bậc), trong đó các
đầu vào u()k không tham gia trong công thức đầu ra w()k .
Hơn nữa, ta còn có thể chứng minh được rằng trạng thái tại mọi thời điểm k
có thể được khôi phục một cách chính xác từ các đầu ra y(0), y(1),..., y (k)
cùng với các đầu vào u(0),u(1),...,u (k) trước đó.