Tính Ổn Định Hóa Được Của Hệ Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Có Tham Số

x1 ()k

1 k 

x ()k(0)(0 );1Akx  x

1 x2 ()k 1 1

0 1 1

1 

x1 ()k  0 

x ()k, 20,1, 2,... k 

2 x2 ()k 

0 

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.

hay

2 

x1()k(0)(0x)1; kx2

1 1 1

x2()k(0); x2

1 1

x1 ()k0;

x2 ()k0;

0k,1, 2,...

2

Theo công thức nghiệm trên, vì

lim x2()k(0)0x2 khi x2(0)0 nên hệ

k  1 1 1

(2.34) là không ổn định theo Định nghĩa 2.4.1.1. Hơn nữa, nếu

x2 (0)0 thì

lim x2()klim (0x)(10) kx2

 .

k 1 k 1 1

2.4.1.4 Thí dụ

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn

0

 1 



1 0 -1  2 

   1 

0 1 0 x(1k)1  1 (), x0,k1, 2,..k. 

(2.35)

   3 

0 0 0

0 0 1 

Ta có:

 1





0 2 



1

0 2 



 1

s 

0 -s- 



2

1 0 -1  2 

1 0 -1  2

  2 

   1 

  

1   1 

E  0 1 0, A  -1 -1; sE A s0 1 0-1 -11 s- 1 ;

   3 

   3   3 

0 0 0

0 0 0   

0 0 1

0 0 1 0 0 -1 

 

   

 

  

s  1 0 -s-2

detsE  A 1 s- 1 1  s  1s  1  0  s

  1 ; s  1.

0 0 -1

2

3

1 2 2 3

Tập các điểm cực hữu hạn của hệ (2.35) là s(,E

hệ (2.35) là ổn định.

)A,

  11 U . Vậy

 

2 3

Hệ (2.35) có thể viết dưới dạng tường minh hơn:

0





 1 

1  1

1 0 -1x1(1k)()   2

x1 k

 

  1  

0 1 0x2(1k)1

  1 ()  x2k 

  1   3  1 

0 0 0x2(1k)() 

x2k

  0 0 1  

hay (với

 

x ()k()() x1k x2k T 2; x ()k   ) ,

1 1 1





x (1k)();



 1 

 0

   x k



 1 





 1



1  1

3 



 1 



Vì A   2 

nên

0  x2()k,

k 0,1, 2,...

1 



1

1 

3 

 1   1

 

12



12 

 0

2  2 

 0

 2





20





20

 

A1  



     ;



 1  







1  1 1 1  

111i 

1i1 

i0

1  1

    

 

 3  

32 3 32 3

232







 

3 

12

2

  1 



  0

  2 

 13







.

  2

A1  

1i

i

  

2i i 

 1 1  1

1  

2 1  1 1 

3



 

 

2  1

  

  3 

 

i0

2

3  

3 

i0 3

2

3

Ta có thể chứng minh



1k





k 

2 0 

A1  



k1 1ki1 

i k . (2.36)

1 1 

3



 

 

  

 

i0

2

3 

Thật vậy, giả sử công thức (2.36) đúng với mọi s k . Khi ấy ta có

1k

  1

1k1 

  0

  0   0 

k1 k

2 

  2

  2 

A1 A1.A1

ki1

i k 



ki i 

 k1 1 

1 1  

1  

k 1

 1 1 

3



 

 

  

1

 

 

k1 

 

i0

2

3

3 

i0 3

23 

Theo công thức (2.33a), hệ





 1 

0

x (1k)()()  2

 x k

 A x k

có nghiệm là





1

1 

3 

1 1 1

A x

1 1

hay

x1()k(0) k

1k

1   0  1

x1()k(0) 

2 

x1

 2   

ki1

i k  2 ,

x1()k(0) 

k1 1 

1 1 x1

3

 

 

  

tức là



 1k

 

i0

2

3 

x1()k(0)  x1

, k  0,1, 2,...

(2.37a)

1 

và

1 k

2

k11 ki11 i

x2()k(0)(0) x2

x1

, k  1, 2,.... (2.37b)

1 3 1

3 

2 1

i0 

Cũng có thể chứng minh trực tiếp công thức (2.37) như sau. Hệ (2.35) có dạng

1 11

x1(1k)(1)()2 x2()k;    x1k 



x2 k

 2 1 12

x1(1k)()()(); x1k



 3x1

k  x2k

0  x

()k,

k 0,1, 2,...



2



Vì 0  x2 ()k,

k 0,1, 2,...

nên hai phương trình đầu trở thành

1 11

x1(1k)();



  x k

2 1

(2.38 ) a

x2(1k)()(),  x01,1k, 2,... x2k k 

(2.38 ) b

1 1 31

Theo công thức (2.31a), từ phương trình (2.37a) ta có (2.36a):

 1k

x1()k(0)  x1

. (2.37a)

1 

21

Công thức này cũng có thể dễ dàng tính trực tiếp:

1 1 1k

x1()k(1)(2)...x1k  (0)x1k     x1.

1 2 1 4 1

21

Thay vào phương trình (2.38b) ta được

1 1

 1k

x2(1k)()()()(0)x2k  x1k 

x2 k   x1 .

1 3 1 1

3 1 

21

Áp dụng Mệnh đề 1.4.1 Chương 1 cho phương trình này ta lại được (2.37b):

1

x2()k(0)(0) x2

k11 ki1





1 

, k  1, 2,.... (2.37b)

1 3 1

3 

2 1

i0 

Công thức (2.37b) cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng qui nạp như sau. Thay k  0 vào phương trình (2.38b) ta được:

x2(1)( 12 x1.

10)(0x)1 1

Công thức này hoàn toàn trùng với công thức (2.37b) khi Tương tự, thay k  1 vào phương trình (2.38b) ta được:

k  1.

x2 (2)( 1 2

)(0x1)

11 x2

 x1



1x1

11)(1)x(10)(0 1

 1 1

  1

3 3 3

  2

12

1 1 12

111i 

1i

 

x2(0)(0)(0x)1(0)(0). 

 x1

  x2



 x1

31

3 1 

21

31

i0

3

21

Công thức trên hoàn toàn trùng với (2.37b) khi k  2 .

Giả sử công thức (2.37b) đúng với mọi k  q . Với k  q 1, từ công thức

(2.38b) và công thức (2.37b) (đúng theo qui nạp khi k  q ), ta có:

1 1 1q

x2(1q)()()()(0) x2q  x1q  x2q  x1

1 3 1 1

3 1 

21

 q

q1 qi1 i

  q

 11

x2(0)   1

 1 x1 (0)(0)  1 x1

331i03 21 

21

 

1q1

q1qi 1i

 

x2(0)    x1(0).

31

i03

21

Vậy công thức (2.37b) đúng với mọi

k  0,1, 2,....

Bây giờ ta có thể chứng minh trực tiếp tính ổn định của hệ (2.35) theo Định

nghĩa 2.4.1.1 (mà không sử dụng Định lý 2.4.1.2) như sau.

Trước tiên ta chứng minh

k11 k i1 1 i

1 k 1

3 2 2 

(2.39)

với mọi

k  1, 2,....

i0 

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra công thức (2.39) đúng cho

k  1, 2 . Giả sử (2.39)



đúng cho mọi k  q . Ta sẽ chứng minh nó đúng cho k  q 1. Vì

1 ki

1 ki1 1 1 ki1

1 q

1 q1 1 1 q1

3 

3  . 3 3

và 2 

2  . 2 2



với mọi i  0,1, 2,..., q 1, q  1, 2,... nên ta có

q 1 qi 1 i

q1 1 qi1 1 i

1 q

1 q1

1 q

3 2 3 2 2 2 2 2 .

i0i0

Vậy công thức (2.39) đúng với

k  q 1. Theo qui nạp, công thức (2.39)

đúng với mọi

k  1, 2,...

Từ bất đẳng thức (2.39) và bất đẳng thức

a b a b 2a a 22b b 2với mọi

a , a ,b ,b

suy ra

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

k k1

ki1

i 2

1 

x2(0)(0) 

1 1 x1 

3 1

3 

2 1 



22x1

2

x2

2x1

2

i0 

1



1

k 2 

k 2  2k



1



x1(0)(0) 1(0)(0).

1 1 





 2  2 

2 



Cuối cùng ta có:

1 1 1

x ()k()(2) x1k 2x2k 2

1 k 

1 

1 2k 2 2





1 1



2 

x1 (0)2



2 

(0)x(20)

x1

x2(0)(0)(0)x2



x1



1 2k 1 2k 

2 2 2



 2





1 1 1 

2 2 



2k 2k

 31



26x1

2

(0)1 

 2x1(0)(0) 1

1

2 2 

Do 0  x2 ()k,

k 0,1, 2,...

nên

1 k

x()k()6x1k (0)6 2x(10) 2x .



Chứng tỏ, theo Định nghĩa 2.4.1.1, hệ (2.35) là ổn định.

Nhận xét

Dễ dàng chứng minh được

lim x1 ()k0  và lim x2 ()k0  nên nếu trong

k 1 k 1

Định nghĩa 2.4.1.1 ta chỉ đòi hỏi lim x()k0  (như trong khái niệm ổn định

k

tiệm cận theo Lyapunov) thì chứng minh đơn giản hơn.

2.4.2 Tính ổn định hóa được của hệ phương trình sai phân tuyến tính có tham số điều khiển

Nói chung tính chất ổn định là rất quan trong đối với các hệ thống trong thực tế, tuy nhiên với một hệ bất kì, tính chất này không phải lúc nào cũng có. Câu hỏi đặt ra là: Liệu có thể sử dụng một điều khiển dạng liên hệ ngược

u()k()()

Kx k

 v k

, (2.40)

trong đó

K  mn , còn v()k là điều khiển đầu vào mới, để hệ phương trình

sai phân trở nên ổn định hay không?

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có điều khiển dạng

Ex()k()(),Ax k Bu k

y()k(),Cx k0,1, 2k,...

(2.41)

Thay điều khiển dạng liên hệ ngược (2.40) vào phương trình (2.41) ta được hệ đóng sau:

Ex()k()()() A  BK x k y()k() Cx k

 Bv k

(2.42)

Để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm với bất kỳ điều khiển nào, ta luôn giả thiết rằng hệ đóng (2.42) là chính quy.

2.4.2.1 Định nghĩa

Hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn (2.41) được gọi là ổn định hóa được

(stabilizable) nếu tồn tại một hệ số liên hệ ngược

(2.42) là ổn định (theo Định nghĩa 2.4.1.1).

K  mn

sao cho hệ đóng

Hệ (2.41) được gọi là có thể nhận biết được (detectable) nếu hệ đối ngẫu của

nó

ETx(1k)()();  ATx k  CTu k

y()k(), BTx 0k,1, 2,k...

là ổn định hóa được.

2.4.2.2 Định lý

Hệ (2.41) là ổn định hóa được (nhận biết được) nếu và chỉ nếu

rank(,zE ), A B ,

n 1z   z 

(2.43a)

( rank zE  A/ C n, z  , z 1). (2.43b)

Chứng minh

Ta chứng minh tiêu chuẩn ổn định hóa được (2.43a). Tiêu chuẩn nhận biết được (2.43b) chứng minh tương tự.