Tính Điều Khiển Được Của Chuỗi Thời Gian Hữu Hạn

bởi duy nhất điều kiện ban đầu x(0) và các đầu vào u(0), u(1),…,u(k). Nếu ngược lại thì chuỗi thời gian hữu hạn (1.19) không có tính chất nhân quả.

Hiển nhiên, theo công thức nghiệm (1.23a), hệ phương trình sai phân thường là hệ có tính chất nhân quả.

Phương trình (1.22b) là một công thức truy hồi lùi, trong đó trạng thái

z2 ()k

hoàn toàn được xác định bởi theo công thức (1.23b).

z2 ()L và các điều khiển

u(i),

i k,

k 1,..., L

Khi

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.

N  0 , từ (1.23b), ta có

z2 ()k()() B2

k u k

, tức là

z2 ()k hoàn toàn xác

định bởi duy nhất một điều khiển u()k , và ta cũng có mối quan hệ nhân quả.

Công thức (1.23a) và (1.23b) cũng chỉ ra rằng, điều kiện ban đầu

z1 (0) và

điều kiện cuối

z2 ()L tạo thành một điều kiện trọn vẹn (the complete

condition), với điều kiện ấy trạng thái

x()k và đầu ra

y()k của hệ (1.19) sẽ

được tính một cách duy nhất theo các điều khiển

u(i),

i 0,1,...,

L theo công

thức sau (kết hợp hai công thức (1.23a) và (1.23b)):

x(k)(0

In k

k1

ki1

0 

Lk

Lk1



)(P)()()1()()A z A B i u i

P N z L N B i u k i

0 1 1 1 1

I 2 2 



i0

n2 

i0 

y()k()() C k x k , k  0,1,..., L . (1.24)

Công thức (1.24) cho ta nghiệm tổng quát của chuỗi thời gian hữu hạn. Ta

thấy, trạng thái

x(k)

tại mỗi thời điểm k của chuỗi thời gian hữu hạn được

xác định không chỉ bởi điều kiện ban đầu

z1 (0)

và các điều khiển

u(i),

i 0,1,...,

k 1

trước đó (như trong hệ phương trình sai phân thường),

mà còn bởi trạng thái cuối

z2 ()L và các điều khiển tương lai

u(i),

i k 1,..., L

(từ thời điểm

k  1 cho tới tận thời điểm L . Điều này thể

hiện sự khác biệt quan trọng giữa phương trình sai phân thường và phương trình sai phân ẩn.

CHƯƠNG II

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH

2.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN

Trong phần này chúng ta sẽ xét tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn

Ex(1k)()()  Ax k

 Bu k

, k  0,1, 2,..., L , (2.1)

trong đó L là một số cố định cho trước, x()k là các véc tơ trạng thái trong

không gian Euclid n chiều

n;

u()k là véc tơ điều khiển trong không gian

Euclid r chiều

k;

A, B là các ma trận có số chiều tương ứng là nn và

nr . Trong phương trình trên ma trận E nói chung suy biến (định thức có thể

bằng 0), vì vậy phương trình (2.1) nói chung không giải được một cách hiển

đối với x()k .

Trong 1.4 của Chương 1 ta đã chứng minh công thức nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn (2.1). Dưới đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm và các tiêu chuẩn điều khiển được của hệ (2.1).

2.1.1 Điều khiển được hoàn toàn

2.1.1.1 Định nghĩa

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu với

mọi điều kiện trọn vẹn x1(0)/x2()L

và mọi trạng thái

wn

tồn tại một

thời điểm

k1 ,

0 k1 L

và các điều khiển u(0), u(1),…,u(L) sao cho

x()k1w .

Như vậy tính điều khiển được được xét ở đây là điều khiển được theo điểm. Mục đích của chúng ta là đi tìm các tiêu chuẩn (điều khiển được hoàn toàn)

để có thể đi từ vị trí trọn vẹn x1(0)/x2()L bất kì tới vị trí bất kì w nào trong

không gian n

nhờ các điều khiển

u()k ,

k  0,1, 2,..., L . Nói cách khác, điều

khiển được hoàn toàn cho phép từ vị trí bất kì x1(0)/ x2()L có thể tràn lên

toàn bộ không gian n nhờ các điều khiển tương ứng.

Nếu E, Alà cặp ma trận chính qui thì (xem 1.4) tồn tại các ma trận không suy biến P và Q sao cho (2.1) có thể được đưa về dạng

x1(1k)()();  A1x1k  B1u k

(2.2a)

Nx (1k)()(),  x 0,k1, 2,..B., u. k k 

(2L.2b)

 2 2 2

Với điều kiện trọn vẹn x1(0)/x2()L

n

cho trước, phương trình (2.2a) và

(2.2b) có nghiệm tương ứng là (xem các công thức (1.24a), (1.24b)):

k1

x ()k(0)()Akx

Aki1B u i

, k  0,1, 2,..., L . (2.3a)

1 1 1 1 1

i0

x ()k()()

N Lk x L

Lk1

 

N iB u k  i

, k  0,1, 2,..., L . (2.3b)

2 2 2

i0

Hai công thức trên có thể viết gọn thành

x(k)(0

In k

k1

ki1

0 

Lk

Lk1



)(P)()()1A z A Bu i PN z L N B u k i ,

0 1 1 1 1 I 2 2 



i0

n2 

i0 

k  0,1, 2,..., L . (2.4)

2.1.1.2 Định lý

Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn nếu và chỉ nếu

1 1 1 1 1 1

rank B , A B ,..., A n1 1B n ; (2.5a)

2 2 2 2

rank B , NB ,..., N n2 1B

n

. (2.5b)

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn

toàn. Khi ấy với

x1(0)0, (x)20 L

 và với bất kỳ

wn

tồn tại một thời

điểm

k1 và u(i), i=0,1,...,L sao cho

x()k1

w . Mặt khác, từ công thức (2.4)

ta có (với

x1(0)0, (x)20 L

 ):



k 1

u(0)

wx(k)()/x() k x k



1B1,..., A1B1,B1

On m,...,On m



1 1

 (2.6)

1 1 1 2 1







O ,...,O B ,NB ,...,NLk11

u(L) 

n m n m

B 

Kí hiệu

2 2

2 2 2

k 1

u(0) 



1 1

M :

1 B1,..., A1B1, B1

On m,...,On m



 và u : ,







O ,...,O B

, NB

,..., NLk11 

u()L 

n2m n2m

2 2 B2 

trong đó

On m ,

i  1, 2

là ma trận chữ nhật cấp

ni m , gồm tất cả các phần tử

đều bằng 0. Khi ấy với mỗi

w n

bất kì phương trình Mu w

luôn có nghiệm (tồn tại

u ) hay M là ánh xạ tràn. Từ đây suy ra (2.5a) và (2.5b).

Điều kiện đủ Với bất kỳ điều kiện trọn vẹn x1(0)/x2()L

n , từ các công

thức (2.3a) và (2.3b), trạng thái x(k) được xác định như sau:

A k1B ,..., A B ,B O

,...,O

u(0) 

x(k)()/ x()k x k 

1 1 1 1 1

n1m n1m



1 2 

Lk1



On m,...,On m

B ,NB

,...,N B

u(L) 

Ak x (0) 

2 2

2 2 2 

(2.7)

1 1 

NLk x (L) 

2 

Giả sử (2.5a) và (2.5b) được thỏa mãn. Khi ấy ma trận

1 1 1 1 1 2 2 2

M diag A n11B ,..., A B , B  , B , NB ,..., N Ln11B



với L n

là ma trận có hạng dòng đầy đủ (ma trận có n dòng độc lập tuyến

tính), tức là ma trận vuông

MM T

là ma trận khả nghịch. Do đó với

w n

u(0) 

A n1 x (0) 

1 1

bất kỳ, chọn k n

và 

M T ()MM T

1 

w 

 thì ta có



1 1 

u(1L)

N Ln1 x

()L 



n 1

2 



A 1

B ,..., A B , B On m,...,On m

u(0)

 1 1 1 1 1 1 1

 

1 1 1 2 1 

 

x(n)()/ x() n x n 



Ln 1

 

 

 O ,...,O B , NB ,..., N

1 Bu(L) 

 n1

n2m n2m

2 2 2



A1 x1(0)



 Ln

N 1x



(L) 

2

 n1

 A x (0)(0) 

n1

A x 

  1 1

 A x (0)  

 1 1 

T T 1    1 1

   

MM

(M) M

w w 

  

 Ln1

   

Ln  N x

(L) Ln 

 N1x(L)( 

2  N

1x L)

n1

 



2 

 

2

A1



x1(0)



w.





N

Ln1



(L) 

Vậy

x()n1

w , tức là từ bất kì vị trí trọn vẹn x1(0)/x2()L

nào ta đều có thể

đi tới vị trí bất kì

w n

n1 bước bởi các điều khiển được chọn như trên.

Điều kiện đủ chứng minh xong.

Chứng tỏ (2.5a) và (2.5b) là điều kiện cần và đủ để chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn.

Nhận xét Theo chứng minh trên, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi hai hệ tiến (2.2a) và hệ lùi (2.2b) tương ứng là

điều khiển được hoàn toàn. Hơn nữa, bởi vì

x1 ()k được tính một cách độc lập

chỉ theo các điều khiển

u(0),u(1),..., u (k1) và

x2 ()k được tính chỉ theo các

điều khiển

u()k, (u1)k,..., (1) u L  nên ta có thể chọn các điều khiển tương

ứng một cách độc lập để hệ (2.2a) và hệ (2.2b) là điều khiển được hoàn toàn.

2.1.2 R-Điều khiển được

Với bất kỳ điều kiện cuối cố định

x2 ()L 2 , kí hiệu

Rx2 ()L là tập tất cả

các trạng thái x()k của hệ (2.1), xuất phát từ một điểm ban đầu bất kì nào đó.

Tập

Rx2 ()L được gọi là tập đạt được ban đầu (initial reachable set).

Ta có

wn ,x (0),0 k

L,và u(0),u(1),...,u (L) 

R((x)

L 1 1

 (2.8)

sao cho x()k)1. w 

Rõ ràng ta thấy tập đạt được ban đầu

Rx2 ()L phụ thuộc vào

x2 ()L . Với

x2 ()L

khác nhau,

Rx2 ()L có thể khác nhau.

2.1.2.1 Thí dụ

Xét chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc

1 0 0 0 1 1 0 0  0 

 0 1 0 0  0 1 0 0  1 

x(1k)()(), 0,1,2x,..k. u k k 

L . (2.9)

 0 0 0 1  0 0 1 0  1 



 0 0 0 0  0 0 0 1 1

Đặt

x()k;

x ()k

1







x k x k

 2 , n n

 2 . Khi ấy hệ (2.9) có thể viết

(), ()  1 2 1 2

lại như sau:

x2()k 

 1 1

0

x1(1k)()();  x1k

 u k



 0 1



1

0 1  1

x2(1k)()(),  x2k0,1,2,...u.

k k  L

Ta có:

0 0

0 1

A 1 1 ;



B 0  ;

1



A1B1

1

0 11 1

1 10 1;



rank B , A B rank 0 1 2 n .

1 1

1 1 1

1



0 0

Tương tự, N 0 1  ; B

1  ; NB

0 1 1 1;

1

0 0 1 0

rank B , NB

2



rank 1

2



1 2 n .







2 2 1 0 2

Chứng tỏ chuỗi thời gian hữu hạn (2.9) là điều khiển được hoàn toàn theo

Định lí 2.1.1.2, do đó ta có

Rx2 ()L 

với bất kỳ điều kiện cuối

x2 ()L

(không phụ thuộc vào điều kiện cuối

2.1.2.2 Thí dụ

Xét chuỗi thời gian hữu hạn

x2 ()L ) .

1 0 0 x (1k)() 

 2 0 0 x k 

1 

 0 0 1 1  0 1 0 1

 0 u()k.

(2.10)

x2(1k)() 

x2 k 



 0 0 0  0 0 1  0 

với

x ()k, () x k 2, tức là

1 2

x1(1k)2 ()() x1k

u k

và 0 1 x (1k)() 1 0 x k .

0 0 2 0 12



Với điều kiện đầy đủ x1(0)/ x2()L

công thức:

, trạng thái của (2.10) được biểu diễn theo

x ()k2  (0k)x2

k 1



 ();

i0

k 1i u i

 0 1x

()Lkhi

k L 1;

(2.11)

 0 0

x2 ()k

2





0 khi 0 k L 1.

Như vậy, với điều kiện cuối

x2 ()L cho trước, tập đạt được ban đầu là

Rx ()L()() 0 1 x L x L  .

 0 0

2 2 



2 



Rõ ràng

Rx2 ()L phụ thuộc vào

x2 ()L .

Từ Thí dụ trên, ta đưa ra khái niệm R-điều khiển được sau .

2.1.2.3 Định nghĩa

Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được trong tập đạt được ban đầu hay R-điều khiển được nếu với mọi điều kiện cuối cố định

cho trước

x2 ()L , mọi trạng thái xuất phát từ một điều kiện ban đầu bất kì đều

có thể điều khiển được về một trạng thái bất kỳ nào trong khiển u()k sau một thời gian nào đó.

Rx2 ()L bởi các điều

2.1.2.4 Định lý

Chuỗi thời gian rời rạc (2.1) là R-điều khiển được nếu và chỉ nếu

1 1 1 1 1 1

rank B , A B ,..., A n1 1B n .

Điều này có nghĩa là hệ con (2.2a) là điều khiển được hoàn toàn.

Vì hệ (2.9) trong Thí dụ 2.1.2.1 là điều khiển được hoàn toàn nên nó là R-điều khiển được.

Trong Thí dụ 2.1.2.2 ta có:

điều khiển được.

rank B1rank 2 1 n1

nên hệ (2.10) là R-

Mặt khác

N 0 1  ; B

0 

nên

rank B , NB

rank 0 0  0 n  2

0 0

2 



2 2 2

0 0



nên hệ (2.10) không điều khiển được hoàn toàn. Ta cũng có thể kiểm tra trực tiếp như sau.

Chọn x1(0)/x2()L0 0 0

Tvà

w0 0 0T

thì

x2()k0  0với

mọi

k  0,1,..., L

theo công thức (2.11) nên không thể tồn tại

k1 và

u()k ,

k  0,1,..., L để

x()k01

0w 0được, hay hệ (2.10) là không điều khiển

được hoàn toàn, mặc dù nó là R-điều khiển được.