Môc lôc
Trang
Lêi nãi ®Çu 1-2
Ch¬ng 1. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI
PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 3
1.1 Hệ phương trình sai phân ẩn chứa tham số điều khiển 3
1.2 Công thức nghiệm Cauchy của phương trình sai phân ẩn tuyến tính không
dừng 4
Có thể bạn quan tâm!
- Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính - 2
- Tính Điều Khiển Được Của Chuỗi Thời Gian Hữu Hạn
- Tính Quan Sát Được Của Chuỗi Thời Gian Hữu Hạn
Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.
1.3 Khái niệm cặp ma trận chính quy 7
1.4 Công thức nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính có điều khiển
với cặp ma trận chính qui 12
Ch¬ng 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 19
2.1 Tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn 19
2.2 Tính quan sát được của chuỗi thời gian hữu hạn 29
2.3 Nghiệm, tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính 34
2.4 Tính ổn định và ổn định hóa được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính 42
2.5 Quan sát trạng thái của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính 57
Ch¬ng 3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH CÓ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN 64
3.1 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng có hạn chế trên biến điều khiển 64
3.2 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có hạn chế trên biến điều khiển 66
KÕt luËn 70
Tµi liÖu tham kh¶o 71
LỜI NÓI ĐẦU
Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân ẩn (phương trình vi phân đại số) và phương trình sai phân ẩn đã được nhiều nhà toán học nước ngoài cũng như ở Việt Nam quan tâm nghiên cứu.
Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,…) được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn có điều khiển. Mặc dù các nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa,…) các hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân và sai phân thường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiển được cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ.
Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển.
Luận văn gồm ba Chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2].
Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6].
Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân
ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7].
Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7], nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nội dung luận văn. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cố gắng chứng minh chi tiết các định lý. Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái
niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu trích dẫn.
Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơn Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thành chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô. Xin chân thành cám ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na Hang Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học tập. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn trong học tập.
Thái Nguyên, 20.9.2008
Trần Thiện Toản
CHƯƠNG I
CÔNG THỨC NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH
1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN
Hệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng
h((x1)k, (),..x., k(0), x(), (1u),k..., u(0k)) 0; u
(1.1)
y()k((), g(1x),.k.., x(0k), (), (1x),..., u(0k)),u k u
trong đó k là biến thời gian thực rời rạc,
k 0,1, 2,... ;
x()k n
được gọi là
trạng thái pha;
u()k m
được gọi là biến điều khiển;
y()k p
được gọi là
tham số đo đầu ra hay đầu ra.
Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ
E()k(1x)((k), ()); H x k u k
y()k((), J())x, k u k0,1, 2,.k..
(1.2)
trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tương
ứng là n và p . Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0). Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành
E()k(1x)()k()()();A k x k
y()k()(),C k x0k,1, 2,.k..
B k u k
(1.3)
Hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chứa tham số điều khiển.
Trường hợp các ma trận
E()k,
A(),k
()B,
k() C k là các ma trận hằng thì hệ
(1.3) trở thành hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng
Ex(1k)()();Ax k
Bu k
(1.4)
y()k(),Cx k0,1, 2k,...
Đối tượng chính được nghiên cứu trong luận văn này là các hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.3) và (1.4).
Nhận xét
Khi E là ma trận không suy biến thì hệ (1.4) trở thành
x(1k)()() E 1 Ax k
y()k(),Cx k0,1, 2k,...
E-1Bu k
(1.5)
Hệ (1.5) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu khá kĩ trong các tài liệu, thí dụ, [7], [8]. Trong luận văn này, khi nghiên cứu hệ
phương trình (1.3), chúng ta thường coi E()k là ma trận suy biến, tức là
rankE()k
n với mọi
k 0,1, 2,...
Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu cho
hệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trường hợp đặc biệt.
1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG
Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng
E(1k)(1)()x()(k); A k x k
f k
(1.6)
x(0), x 0k,1, 2,...
0
trong đó x(k) là véc tơ trạng thái n chiều, E(k) và A(k) là ma trận có số chiều
là nn , f ()k là hàm véc tơ của biến số rời rạc k , k 0,1, 2....
Ta có công thức biểu diễn nghiệm của hệ sai phân ẩn tuyến tính không dừng thông qua ma trận nghiệm cơ bản Cauchy trong Bổ đề 1.2.1 dưới đây (xem [3]).
1.2.1 Bổ đề.
Giả sử
trận
F (,k )i là ma trận hàm có số chiều nn
thỏa mãn phương trình ma
F (,k i 1)()E(, i)(),
với điều kiện ban đầu
F k0,i1,A...,i i 1
k (1.7)
F (,k k 1),
(,In)0F,
k i
i k . (1.8)
Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau:
k1
E()k()x(, k 1)(0F)(,k)(),
E 1, 2x0,...
F k i f i k
i0
(1.9)
Ở đây
In được kí hiệu là ma trận đơn vị cấp n.
Chứng minh
Viết lại (1.7) theo i, sau đó cho i thay đổi từ 0 đến k-1, thời điểm k cố định,
ta có:
E(i1)(1)(x)()i(),
0A,1,i2x,..i., f1 i i
k . (1.10)
Giả sử
F (,k )i là ma trận nn . Nhân hai vế của (1.10) với
F (,k )i ta được:
F (,k )i(1E)(1i)(, )(x)(i)(, )(),
F k0,i1,A2,.i..,x i
1 F k i f i i
t . (1.11)
Lấy tổng hai vế của các đẳng thức (1.11) theo i từ 0 đến k 1 ta được:
k1 k1
F (,k )i(1E)(1i)[ (,x )i()()(, )()]
F k i A i x i
F k i f i
. (1.12)
i0 i0
Do vế trái của (1.12) có thể viết dưới dạng:
k1
F (,k )i(1E)(1i)
i0
x i
k1
F (,k i 1)()E()(i,
i0
x i1)()(F)(,k k1)(0)(E0) k x k
F k E x
nên (1.12) có thể viết dưới dạng
F (,k k 1)()E()(k, x1)k(0)(0F) k E x
k1 k1
F (,k i 1)()E()[i x(,i)()()(, )(F)] k i A i x i
F k i f i .
i0 i0
Do giả thiết F (,k k 1) In nên
E()k()x(, k 1)(0F)(0k)(,
E1)()()x
k1
F k i
i0
E i x i
k1
[F (,k )i()A()(i, x)()i] F k i f i .
i0
hay
E()k()x(, k 1)(0F)(0k)[ (, E)()(, x
k1
1)()]() F k i A i
i0
F k i
E i x i
k1
F (,k )i()f i
i0
Do
.
F (,k i 1)()E(, i)(),
F 0k,1i,.A.., i i 1
k .
nên từ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu
x(0) x0
ta có:
E()k()x(, k 1)(0F)(,k)()
Đây chính là điều phải chứng minh.
Nhận xét
k1
E x0 F k i f i .
i0
Công thức (1.9) tỏ ra hiệu quả khi nghiên cứu tính điều khiển được của hệ
phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (xem [3]). Khi
E()k
In nó
trở về công thức nghiệm cho phương trình của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính không dừng trong [8]. Tuy nhiên nó có hạn chế sau đây:
Trong công thức biểu diễn nghiệm (1.9), ta thấy x()k chưa được tính ở dạng
tường minh (vẫn còn E()k kèm theo). Sau đây ta sẽ đi tìm nghiệm của (1.6)
trong trường hợp các ma trận
E()k ,
A()k là các ma trận hằng với giả thiết
rằng (,E )A là cặp ma trận chính quy. Dựa vào Bổ đề 1.3.2 dưới đây, ta có thể chứng minh công thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có tham số điều khiển.
1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY
1.3.1 Định nghĩa
Cặp ma trận
E, Ann
được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức
sao cho định thức
E A 0
hay đa thức
sE A 0 .
1.3.2 Bổ đề
Cặp ma trận E, A là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không
suy biến P và Q sao cho
QEP In1 0 , QAP A1 0 , (1.13)
0 N 0 In
1
2
2
trong đó
n1 n2
n ,
A n1n1 ,
In và
In là hai ma trận đơn vị tương
1
ứng cấp n1
và n2 ;
N n2n2
là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tự
nhiên h sao cho
Chứng minh
N h 0 ).
Điều kiện cần Giả sử tồn tại các ma trận không suy biến P và Q sao cho
(1.13) là đúng. Ta chọn a s()A1
, trong đó s()A1
là phổ của ma trận
A1 (tập
tất cả các giá trị riêng của
A1 , tức là các số sao cho
aI A1 0 ). Vì
s()A1
chỉ có hữu hạn số nên có vô số các số a s()A1
aE A Q1QaE APP1
. Khi đó ta có
Q1
aQEP QAP P1 Q1
aI A P1 0.
1
Suy ra quy.
aE A 0 . Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận (,E )A là chính
Điều kiện đủ Giả sử (,E )A là cặp ma trận chính quy. Theo định nghĩa, tồn
tại số a sao cho aE A 0 . Xét hai ma trận
Ta có:
Eˆ (a) E A 1 E và
Aˆ (a) E A 1 A .
aE A1 (a) E A I aE A1 A aaE A1 E I
aE A1 A I aaE A1 E Aˆ I aEˆ.
Mặt khác, từ phân tích dạng chính tắc Jordan trong lý thuyết về ma trận (xem [10]), tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho