Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính

Môc lôc

Trang

Lêi nãi ®Çu 1-2

Ch¬ng 1. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI

PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 3

1.1 Hệ phương trình sai phân ẩn chứa tham số điều khiển 3

1.2 Công thức nghiệm Cauchy của phương trình sai phân ẩn tuyến tính không

dừng 4

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 73 trang tài liệu này.

1.3 Khái niệm cặp ma trận chính quy 7

1.4 Công thức nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính có điều khiển

với cặp ma trận chính qui 12

Ch¬ng 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG

TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 19

2.1 Tính điều khiển được của chuỗi thời gian hữu hạn 19

2.2 Tính quan sát được của chuỗi thời gian hữu hạn 29

2.3 Nghiệm, tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính 34

2.4 Tính ổn định và ổn định hóa được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính 42

2.5 Quan sát trạng thái của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính 57

Ch¬ng 3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH CÓ HẠN CHẾ TRÊN BIẾN ĐIỀU KHIỂN 64

3.1 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính dừng có hạn chế trên biến điều khiển 64

3.2 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có hạn chế trên biến điều khiển 66

KÕt luËn 70

Tµi liÖu tham kh¶o 71

LỜI NÓI ĐẦU

Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân ẩn (phương trình vi phân đại số) và phương trình sai phân ẩn đã được nhiều nhà toán học nước ngoài cũng như ở Việt Nam quan tâm nghiên cứu.

Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,…) được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn có điều khiển. Mặc dù các nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa,…) các hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân và sai phân thường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiển được cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển.

Luận văn gồm ba Chương.

Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2].

Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6].

Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân

ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7].

Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7], nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nội dung luận văn. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cố gắng chứng minh chi tiết các định lý. Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái

niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu trích dẫn.

Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơn Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thành chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô. Xin chân thành cám ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Na Hang Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học tập. Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn trong học tập.

Thái Nguyên, 20.9.2008

Trần Thiện Toản

CHƯƠNG I

CÔNG THỨC NGHIỆM

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH

1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN CHỨA THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN

Hệ phương trình sai phân ẩn có tham số điều khiển tổng quát có dạng

h((x1)k, (),..x., k(0), x(), (1u),k..., u(0k)) 0; u 

(1.1)



y()k((), g(1x),.k.., x(0k), (), (1x),..., u(0k)),u k u

trong đó k là biến thời gian thực rời rạc,

k  0,1, 2,... ;

x()k n

được gọi là

trạng thái pha;

u()k m

được gọi là biến điều khiển;

y()k p

được gọi là

tham số đo đầu ra hay đầu ra.

Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ

E()k(1x)((k), ()); H x k u k



y()k((), J())x, k u k0,1, 2,.k..

(1.2)

trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tương

ứng là n và p . Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0). Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành

E()k(1x)()k()()();A k x k



y()k()(),C k x0k,1, 2,.k.. 

B k u k

(1.3)

Hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chứa tham số điều khiển.

Trường hợp các ma trận

E()k,

A(),k

()B,

k() C k là các ma trận hằng thì hệ

(1.3) trở thành hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng

Ex(1k)()();Ax k

Bu k

(1.4)



y()k(),Cx k0,1, 2k,...

Đối tượng chính được nghiên cứu trong luận văn này là các hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.3) và (1.4).

Nhận xét

Khi E là ma trận không suy biến thì hệ (1.4) trở thành

x(1k)()() E 1 Ax k



y()k(),Cx k0,1, 2k,...

E-1Bu k

(1.5)

Hệ (1.5) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu khá kĩ trong các tài liệu, thí dụ, [7], [8]. Trong luận văn này, khi nghiên cứu hệ

phương trình (1.3), chúng ta thường coi E()k là ma trận suy biến, tức là

rankE()k

 n với mọi

k  0,1, 2,...

Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu cho

hệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trường hợp đặc biệt.

1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG

Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng

E(1k)(1)()x()(k);  A k x k

 f k

(1.6)

x(0), x 0k,1, 2,...

 0

trong đó x(k) là véc tơ trạng thái n chiều, E(k) và A(k) là ma trận có số chiều

là nn , f ()k là hàm véc tơ của biến số rời rạc k , k  0,1, 2....

Ta có công thức biểu diễn nghiệm của hệ sai phân ẩn tuyến tính không dừng thông qua ma trận nghiệm cơ bản Cauchy trong Bổ đề 1.2.1 dưới đây (xem [3]).

1.2.1 Bổ đề.

Giả sử

trận

F (,k )i là ma trận hàm có số chiều nn

thỏa mãn phương trình ma

F (,k i 1)()E(, i)(),

với điều kiện ban đầu

F k0,i1,A...,i i 1

k  (1.7)

F (,k k 1),

(,In)0F,

k i 

i  k . (1.8)

Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau:

k1

E()k()x(, k 1)(0F)(,k)(),

E 1, 2x0,...

 F k i f i k 

i0

(1.9)

Ở đây

In được kí hiệu là ma trận đơn vị cấp n.

Chứng minh

Viết lại (1.7) theo i, sau đó cho i thay đổi từ 0 đến k-1, thời điểm k cố định,

ta có:

E(i1)(1)(x)()i(),

0A,1,i2x,..i.,  f1 i i 

k  . (1.10)

Giả sử

F (,k )i là ma trận nn . Nhân hai vế của (1.10) với

F (,k )i ta được:

F (,k )i(1E)(1i)(, )(x)(i)(, )(),

F k0,i1,A2,.i..,x i

1 F k i f i i 

t  . (1.11)

Lấy tổng hai vế của các đẳng thức (1.11) theo i từ 0 đến k 1 ta được:

k1 k1

F (,k )i(1E)(1i)[ (,x )i()()(, )()]

F k i A i x i

 F k i f i

. (1.12)

i0 i0

Do vế trái của (1.12) có thể viết dưới dạng:

k1

F (,k )i(1E)(1i)

i0

x i 

k1

 F (,k i 1)()E()(i,

i0

x i1)()(F)(,k k1)(0)(E0) k x k

 F k  E x

nên (1.12) có thể viết dưới dạng

F (,k k 1)()E()(k, x1)k(0)(0F) k  E x 

k1 k1

F (,k i 1)()E()[i x(,i)()()(, )(F)] k i A i x i

 F k i f i .

i0 i0

Do giả thiết F (,k k 1)  In nên

E()k()x(, k 1)(0F)(0k)(,

E1)()()x

k1

 F k i 

i0

E i x i 

k1

[F (,k )i()A()(i, x)()i]  F k i f i .

i0

hay

E()k()x(, k 1)(0F)(0k)[ (, E)()(, x

k1

1)()]() F k i A i

i0

 F k i 

E i x i

k1

 F (,k )i()f i

i0

F (,k i 1)()E(, i)(),

F 0k,1i,.A.., i i 1

k  .

nên từ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu

x(0)  x0

ta có:

E()k()x(, k 1)(0F)(,k)()

Đây chính là điều phải chứng minh.

Nhận xét

k1

E x0 F k i f i .

i0

Công thức (1.9) tỏ ra hiệu quả khi nghiên cứu tính điều khiển được của hệ

phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (xem [3]). Khi

E()k

 In nó

trở về công thức nghiệm cho phương trình của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính không dừng trong [8]. Tuy nhiên nó có hạn chế sau đây:

Trong công thức biểu diễn nghiệm (1.9), ta thấy x()k chưa được tính ở dạng

tường minh (vẫn còn E()k kèm theo). Sau đây ta sẽ đi tìm nghiệm của (1.6)

trong trường hợp các ma trận

E()k ,

A()k là các ma trận hằng với giả thiết

rằng (,E )A là cặp ma trận chính quy. Dựa vào Bổ đề 1.3.2 dưới đây, ta có thể chứng minh công thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng có tham số điều khiển.

1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY

1.3.1 Định nghĩa

Cặp ma trận

E, Ann

được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức

 sao cho định thức

 E A  0

hay đa thức

sE A  0 .

1.3.2 Bổ đề

Cặp ma trận E, A là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không

suy biến P và Q sao cho

QEP In1 0  , QAP A1 0  , (1.13)

0 N 0 In 

2 

trong đó

n1 n2

 n ,

A n1n1 ,

In và

In là hai ma trận đơn vị tương

ứng cấp n1

và n2 ;

N n2n2

là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tự

nhiên h sao cho

Chứng minh

N h  0 ).

Điều kiện cần Giả sử tồn tại các ma trận không suy biến P và Q sao cho

(1.13) là đúng. Ta chọn a  s()A1

, trong đó s()A1

là phổ của ma trận

A1 (tập

tất cả các giá trị riêng của

A1 , tức là các số sao cho

aI  A1 0 ). Vì

s()A1

chỉ có hữu hạn số nên có vô số các số a  s()A1

aE  A  Q1QaE  APP1

. Khi đó ta có

 Q1

aQEP  QAP P1  Q1

aI  A P1  0.

Suy ra quy.

aE  A  0 . Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận (,E )A là chính

Điều kiện đủ Giả sử (,E )A là cặp ma trận chính quy. Theo định nghĩa, tồn

tại số a   sao cho aE  A  0 . Xét hai ma trận

Ta có:

Eˆ (a) E  A 1 E và

Aˆ (a) E  A 1 A .

aE  A1 (a) E  A  I  aE  A1 A  aaE  A1 E  I

 aE  A1 A  I  aaE  A1 E  Aˆ I  aEˆ.

Mặt khác, từ phân tích dạng chính tắc Jordan trong lý thuyết về ma trận (xem [10]), tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho