Không Thể Kết Luận Học Sinh Nội Thàn Có Thể Lực Tốt Hơn

a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng thu nhập trung bình hàng năm của công nhân xí nghiệp đó,

b) Tại xí nghiệp B, tỷ lệ công nhân có thu nhập hàng năm bằng 6,5 triệu là 12%. Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng tỷ lệ công nhân có thu nhập là 6,5 triệu ở xí nghiệp B cao hơn xí nghiệp A hay không?

4.20. Kiểm tra trọng lượng 36 gói đường loại 500 gam của một máy đóng gói tự động, thu được bảng số liệu sau:

Trọng lượng (gam)

495	497	499	501	503
Số gói tương ứng	5	8	10	7	6

Có thể bạn quan tâm!

• Bài Toán 1 : Phương Sai Vx = Σ 2 Đã Biết
• Kiểm Định Về Sự Bằng Nhau Của Hai Kỳ Vọng
• Kiểm Định Sự Bằng Nhau Của 2 Tỷ Lệ
• Công Thức Ước Lượng Hệ Số Của Đường Hồi Quy Tuyến Tính
• Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 19
• Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 20

Xem toàn bộ 168 trang tài liệu này.

gói,

Giả thiết trọng lượng gói đường là biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn.

a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho phương sai trọng lượng gói đường được đóng

b) Người ta nghi ngờ máy đóng thiếu trọng lượng quy định. Với mức ý nghĩa

5% hãy kết luận về điều nghi ngờ nói trên.

4.21. Chiều cao trung bình của 100 học sinh nam ở một trường trung học nội thành là 1,68m, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 6m. Kiểm tra 120 em ở một huyện ngoại thành thì thấy chiều cao trung bình là 1,64m, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là 5cm. Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận rằng học sinh nội thành phát triển thể lực khác nhau không?

4.22. Kiểm tra các sản phẩm được chọn ngẫu nhiên ở hai nhà máy sản xuất ta được số liệu sau:

Nhà máy

Số sản phẩm được kiểm tra	Số phế phẩm
1	n1 = 100	20
2	n2 = 120	36

Với mức ý nghĩa nhau không?

 0, 01; có thể coi tỷ lệ phế phẩm của hai nhà máy là như

4.23. Kiểm tra 100 sản phẩm ở kho hàng thứ nhất thấy có 8 phế phẩm. Kiểm tra

150 sản phẩm ở kho hàng thứ hai thấy có 18 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 0,05, có thể cho rằng chất lượng hàng ở hai kho là khác nhau không?

4.24. Một công ty có một hệ thống máy tính có thể xử lý 1300 hóa đơn trong 1 giờ. Công ty mới nhập một hệ thống máy tính mới, hệ thống này chạy kiểm tra trong 40 giờ cho thấy số hóa đơn xử lý trung bình trong 1 giờ là 1378 với độ lệch tiêu chuẩn là 215. Với mức ý nghĩa 2,5% hãy nhận định xem hệ thống mới có tốt hơn hệ thống cũ không?

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 4

4.1. Bác bỏ ý kiến của chủ hàng

4.2. Công ty nên quyết định mở siêu thị

4.3. Cần nâng định mức tiêu dùng điện

4.6. Công ty vẫn chiếm ít nhất 42% thị trường

4.13. Việc cải tiến có hiệu quả

4.14. Báo cáo đáng tin cậy

4.15. Kỹ thuật mới có hiệu quả

4.20. Không thể kết luận học sinh nội thàn có thể lực tốt hơn

4.21. Có thể coi tỷ lệ phế phẩm ở 2 nhà máy là như nhau

4.22. Chất lượng của 2 kho không khác nhau

CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH HỒI QUY

5.1. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

5.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên 2 chiều

a. Khái niệm

Ở chương 2, ta đã nghiên cứu bản chất xác suất của biến ngẫu nhiên riêng rẽ, nhưng trong thực tế nhiều khi phải xét đồng thời nhiều biến ngẫu nhiên khác nhau có quan hệ tương hỗ do đó xuất hiện khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều. Chẳng hạn, khi nghiên cứu một sản phẩm trên thị trường, ta quan tâm đồng thời nhiều khía cạnh khác nhau như: chất liệu, màu sắc, giá thành, chất lượng,... Việc nghiên cứu từng khía cạnh đó có thể cho ta thông tin không đầy đủ. Để đơn giản, ta nghiên cứu biến ngẫu

nhiên 2 chiều X ,Y 

trong đó

X ,Y là các biến ngẫu nhiên 1 chiều. Hầu hết các kết

quả đối với biến ngẫu nhiên 2 chiều có thể mở rộng cho biến ngẫu nhiên n chiều.

Nếu

X ,Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc thì X ,Y 

là biến ngẫu nhiên 2 chiều

rời rạc, nếu

X ,Y liên tục ta có biến ngẫu nhiên 2 chiều X ,Y 

liên tục.

b. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên 2 chiều

Xét hai sự kiện

A X x, B Y y. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên 2

chiều X ,Y 

được xác định như sau

F x, yP ABP Xx,Y y,x, y  ¡

(Đôi khi ta còn gọi

F x, y

là hàm phân phối đồng thời)

* Tính chất của hàm phân phối

F x, y

i 

ii 

0 F x, y 1

F x, ykhông giảm theo từng đối số

iii F , yF x,  0; F ;  1

iv 

x1 x2 ; y1 y2

thì

Px1X x2,y1Y y2F x2;y2F x2;y1F x1;y2F x1;y1

- Hai biến ngẫu nhiên X,Y gọi là độc lập nếu

Fx, yF1xF2y

5.1.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc là:

xiyi	y1	y2	...	yj	...	ym
x1	P(x1,y1)	P(x1,y2)	...	P(x1,yj)	...	P(x1,ym)
x2	P(x2,y1)	P(x2,y2)	...	P(x2,yj)	...	P(x2,ym)
...	...	...	...	...	...	...
xi	P(xi,y1)	P(xi,y2)	...	P(xi,yj)	...	P(xi,ym)
...	...	...	...	...	...	...
xn	P(xn,y1)	P(xn,y2)	...	P(xn,yj)	...	P(xn,ym)

trong đó:

xi (i  1, n) là các giá trị có thể của thành phần X

yj ( j  1, m) là các giá trị có thể của thành phần X

n m

P(xi, yj)  P(X  xi, Y  yj)  pij; i 1, n; j 1, m và P(xi, yj)  1 .

i1 j1

Từ định nghĩa trên, ta có thể tìm được hàm phân phối xác suất

F x, ypij

xi x y j y

Các phân phối biên của biến ngẫu nhiên 2 chiều được xác định từ

PXxip1xipij,i  1, n

j

P Y y j p2 y j pij , j  1, m

i

Ví dụ 5.1. Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều X ,Y 

có luật phân phối đồng thời như sau:

xiyi

1	2
1	0,18	0,08
2	0,22	0,16
3	0,16	0,2

Giải

Tìm luật phân phối của từng biến X và Y . Luật phân phối của biến X có dạng

xi	1	2	3
pi	0,26	0,38	0,36

Luật phân phối của biến X có dạng:

1	2
pj	0,56	0,44

yj

Ví dụ 5.2. Cho bảng phân phối đồng thời của X và Y là:

xiyi

1	2	3
1	0,1	0,25	0,1
2	0,15	0,05	0,35

Tìm luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên X và Y, sau đó tính

F 2,3; F 2, 2.

Giải

Lấy tổng các hàng và các cột tac có:

xi

1	2
pi	0,45	0,55

yj

1	2	3
pj	0,25	0,3	0,45

Ta có

F 2,3pij p11 p12  0,35

xi 2 y j 3

F 2, 2pij p11  0,1

xi 2 y j 2

5.1.3. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục

Hàm không âm, liên tục f (x, y) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y) nếu nó thỏa mãn:

P(X  A, Y  B) dxf (x, y)dy

A B

với A, B là các tập số thực.

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y), ký hiệu F(x,y), là đại lượng xác định như sau:

F(x, y)  P(X  x, Y  y)

x y

Ta có

F(x, y)  P(X  x, Y  y) f (x, y)dxdy



Nếu

f x, yliên tục theo cả 2 biến thì

f (x, y)  F(x, y)

2

xy

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên 2 chiều có các tính chất sau:

if x, y 0



ii



f x, y dxdy  1

iiiP X ,Y Df x, y dxdy

D

Ví dụ 5.3. Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có hàm mật độ đồng thời là

ìïï

í

f (x, y)=ïï

ï

a x2y2

nếu x2 +

y2 £ 1

ïïïî

0 nếu x2 +

y2 > 1

Giải

Tìm hệ số a.

Hệ số a được xác định từ phương trình

ax2y2dxdy  1

D

trong đó D là hình tròn x2 y2  1 .

Đổi sang hệ tọa độ cực ta có

21 2



a drdr  1 a 

0 0

Ví dụ 5.4. Cho hàm mật độ đồng thời của X, Y là

f x, y 1

với 0 x, y  1

Giải

Tính hàm phân phối đồng thời

F x, yvà

P 0, 2 X  0, 7;0, 25 Y  0, 45

ï

ïì 0 nếu

ï

x £ 0 hoặc

y  0

ï

ïï xy nếu 0 £

ï

x £ 1 và 0 £

y £ 1

í

F (x, y)= ï

ï

x nếu 0 £

x £ 1 và

y > 1

ï

ïï y nếu

ï

x > 1và 0 £

y £ 1

ï

ïï 1 nếu

îï

x > 1và

y > 1

0,7 0,45

P 0, 2 X  0, 7; 0, 25 Y  0, 45

0,2 0,25

dxdy  0,1

5.2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2 chiều

5.2.1. Các số đặc trưng của các biến thành phần

Các biến ngẫu nhiên X và Y có các số đặc trưng quan trọng là kỳ vọng và phương sai.

- Đối với biến rời rạc, ta có:

n m

EX xiP(xi, yj) ;

i1 j1

m n

EY yjP(xi, yj ) ;

j i j

j1 i1

n

m

i i j

VX x2P(x , y ) EX2;

m

n

VY 

y2P(x , y ) EY2.

i1 j1

còn đối với biến liên tục ta có:



j1 i1



EX xf (x, y)dxdy ; EY yf (x, y)dxdy ;

22



VX x f (x, y)dxdy EX ;



5.2.2. Hệ số tương quan

a. Hiệp phương sai



22

VY y f (x, y)dxdy EY .



Hiệp phương sai của biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu cov(X, Y) hay XY , là số xác định như sau:

Chú ý:

cov(X, Y)  E[X  EX][Y  EY]

Nếu cov(X, Y)  0 thì ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y không tương quan.

cov(X, Y)  E XY EX.EY

n m

- Nếu (X, Y) rời rạc thì: cov(X, Y) xiyjP(xi, yj)  EX.EY .

i1 j1



- Nếu (X, Y) liên tục thì: cov(X, Y) xyf (x, y)dxdy  EX.EY .

Nhận xét:

Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì chúng không tương quan;

cov(X, X)  VX .

b. Hệ số tương quan

Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y, kí hiệu

rXY

xác định như sau:

rXY

 cov(X, Y) SX .SY

trong đó SX ,SY

là độ lệch tiêu chuẩn của X, Y.

Ý nghĩa: Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. Khi | rXY |

càng gần 1 quan hệ tuyến tính càng chặt, khi | rXY | càng gần 0 quan hệ tuyến tính càng

lỏng.

Ví dụ 5.5. Cho bảng phân phối đồng thời của X và Y là

xiyi

1	2	3
1	0,1	0,25	0,1
2	0,15	0,05	0,35

Giải

Tính hiệp phương sai và hệ số tương quan của X và Y. Ta có bảng phân phối của X và Y là

yj

1	2	3
pj	0,25	0,3	0,45

xi	1	2
pi	0,45	0,55

EX 1,55; EY  2, 2;VX  0, 2475;VY  0, 66

2 3

E XY xi y j pij  3,5

i1 j 1

Hiệp phương sai

cov(X, Y)  E XY EX.EY  3,5 1,55.2, 2  0, 09

Hệ số tương quan

rXY

 cov(X, Y) 

SX .SY

0, 09

 0, 22

0, 2475.0, 66

Ví dụ 5.6. Biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có hàm mật độ đồng thời là

ìïï 1

íï

f (x, y)= ïï 2

ï

nếu

4x2 +

2 2

y2 £ 4

ïïî

0 nếu 4x + y > 4

Chứng tỏ X, Y phụ thuộc và tính hiệp phương sai. Giải

Các hàm mật độ biên là: