Lý thuyết xác suất và thống kê toán

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG 5

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu về biến ngẫu nhiên nhiều chiều, cụ thể là biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng số của nó. Cũng như biến ngẫu nhiên một chiều, quy luật của biến ngẫu nhiên hai chiều được khảo sát thông qua hàm phân phối.

Trường hợp biến ngẫu nhiên hai chiều có các biến ngẫu nhiên thành phần rời rạc được gọi là biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc. Với biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, ta có bảng phân phối xác suất đồng thời, đó là bảng ghi các giá trị của hai biến ngẫu nhiên thành phần theo hàng, theo cột và các xác suất tương ứng. Dựa vào công thức cộng xác suất đầy đủ, ta có thể tìm được bảng phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên thành phần.

Trường hợp biến ngẫu nhiên hai chiều có các biến ngẫu nhiên thành phần liên tục được gọi là biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục. Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục được xác định bởi hàm mật độ xác suất đồng thời. Từ hàm mật độ đồng thời, ta có thể tìm được hàm mật độ của các biến thành phần bằng cách lấy tích phân theo biến thích hợp.

Ngoài các đặc trưng kỳ vọng, phương sai của các biến ngẫu nhiên thành phần, biến ngẫu nhiên hai chiều còn được đặc trưng bởi hiệp phương sai và hệ số tương quan. Hệ số tương quan dùng để đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai biến ngẫu nhiên thành phần, hệ số tương quan càng gần 1 thì mức độ phụ thuộc tuyến tính càng chặt. Hai biến thành phần không tương quan thì hệ số tương quan bằng 0.

Để nhận được đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm ta chỉ cần dùng các kết quả tính toán đã nhận được ở phần tính hệ số tương quan.

Để học tốt chương này, sinh viên cần nắm vững các tính chất cơ bản của

xác suất, xác suất có điều kiện, phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc, liên tục. Ngoài ra, cần nắm được các tính chất của hàm nhiều biến, tích phân suy rộng.

Với phạm vi của tập bài giảng, chúng tôi chỉ trình bày biến ngẫu nhiên hai chiều, đối với các biến ngẫu nhiên ba chiều,..., n chiều chúng ta cũng có kết quả tương tự như đối với biến ngẫu nhiên hai chiều, sinh viên muốn tìm hiểu sâu hơn có thể đọc thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [3], [5], [7].

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 5

5.1. Bảng phân phối xác suất của X và Y cho phép xác định phân phối xác suất đồng thời của X ,Y .

a) Đúng b) Sai

5.2. Bảng phân phối xác suất đồng thời của X ,Y 

phối của X và Y.

a) Đúng b) Sai

cho phép xác định được bảng phân

5.3. Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập thì bảng phân phối xác suất của X và Y cho phép xác định phân phối xác suất đồng thời của X ,Y .

a) Đúng b) Sai

5.4. Hai biến ngẫu nhiên độc lập có hiệp phương sai bằng 0.

a) Đúng b) Sai

5.5. Hiệp phương sai luôn nhận giá trị dương.

a) Đúng b) Sai

5.6. Hai biến ngẫu nhiên độc lập thì không tương quan.

a) Đúng b) Sai

5.7. Nếu Y aX b, a  0 thì hệ số tương quan

a) Đúng b) Sai

rXY  0 .

5.8. Nếu hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập thì hàm hồi quy của Y đối với X và hàm hồi quy của X đối với Y là các hàm hằng.

a) Đúng b) Sai

5.9. Hàm mật độ đồng thời của biến ngẫu nhiên liên tục X ,Y bằng tích của hai hàm mật độ của X và Y.

a) Đúng b) Sai

BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5.1. Cho lượng nước mưa ở hai địa phương quan sát tại 10 thời điểm khác nhau, ta được bảng số liệu sau đây:

87	47	74	86	38	15	41	8	79	75
yj	86	56	84	72	47	17	43	19	88	78

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 168 trang tài liệu này.

Hãy tính các đặc trưng mẫu.

5.2. Người ta đo chiều dài vật đúc và khuôn thì thấy chúng lệch khỏi quy định như sau:

0,90	1,22	1,32	0,77	1,30	1,20	1,32	0,95	0,45	1,30	1,20
Y	-0,3	0,1	0,7	-0,28	0,25	0,02	0,37	-0,7	0,55	0,35	0,32

Xác định hệ số tương quan mẫu.

5.3. Thống kê về chi phí quảng cáo Y và sản lượng bán ra X của một doanh nghiệp qua 10 tháng người ta được bảng số liệu sau đây:

10	10	12	13	15	18	18	19	20	20
X	30	32	35	35	38	40	42	45	48	50

Trên cơ sở số liệu đã cho, hãy tìm :

a) Tính hệ số tương quan mẫu

b) Tìm hàm hồi quy ước lượng của Y đối với X.

5.4. Cho các giá trị quan sát của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, có sự phụ thuộc tương quan tuyến tính ở bảng sau:

5	10	10	10	15	15	15	20	20	20
Y	20	20	30	30	30	40	50	50	60	60

Tìm hàm hồi quy tuyến tính mẫu y  ax  b .

5.5. Theo dòi mức đầu tư Y và lợi nhuận X của 10 doanh nghiệp khác nhau trong cùng một ngành ở tỉnh A, người ta thu được số liệu sau:

1	1	2	3	3	5	6	7	8	8
X	2,3	2,5	2,6	3	3,1	3,5	3,7	4	4,5	5

a)Tính hệ số tương quan mẫu

b) Tìm hàm hồi quy ước lượng của Y đối với X.

5.6. Số liệu thống kê nhằm nghiên cứu quan hệ giữa tổng sản phẩm nông nghiệp Y với tổng giá trị tài sản cố định X của 10 nông trại (tính trên 100 ha) như sau:

11,3	12,9	13,6	16,8	18,8	20,0	22,2	23,7	26,6	27,5
Y	13,2	15,6	17,2	18,8	20,2	23,9	22,4	23,0	24,4	24,6

Xác định đường hồi quy tuyến tính mẫu y  ax  b , sau đó tìm phương sai sai số thực nghiệm của đường hồi quy trên.

5.7. Đo chiều cao X và khối lượng Y của 5 học sinh, ta được kết quả cho ở bảng sau:

X(m)

1,45	1,60	1,50	1,65	1,55
Y(kg)	50	55	45	65	60

a) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X,

b) Dự đoán khối lượng trung bình của những học sinh có chiều cao 1,52m,

c) Sai số dự đoán của Y khi X = 1,45m là bao nhiêu ?

5.8. Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây trồng, người ta tiến hành đo chiều cao Y(m) và đường kính X(cm) của một số cây. Kết quả được ghi ở bảng sau đây.

3	4	5	6	7	8
21	2	5
23		3	11
25			8	15	10
27			4	17	3
29					7	12

a) Tìm hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X và X theo Y,

b) Nếu Y được tính theo đơn vị là cm thì các hàm số ở câu a) sẽ thay đổi thế nào? Từ kết quả câu a), hãy suy ra các phương trình hồi quy tương ứng khi đơn vị của Y là cm.

5.9. Số liệu thống kê nhằm nghiên cứu số lượng prôtêin chứa trong một loại hạt lúa và năng suất của loại lúa đó trên 10 vùng như sau:

9,9	10,2	11,0	11,6	11,8	12,5	12,8	13,5	14,3	14,4
Y	10,7	10,8	12,1	12,5	12,2	12,8	12,4	11,8	11,8	12,6

Xác định đường hồi quy tuyến tính của Y theo X và của X theo Y? Bạn có nhận xét gì về hai đường hồi quy đó?

5.10. Điều tra giữa mức đầu tư X và lãi suất Y của một mặt hàng được bảng số liệu sau:

2,1	2,3	2,4	2,6	2,6	2,7	2,8
Y	14,2	14,3	14,3	14,4	14,5	14,5	14,6

Xác định đường hồi quy tuyến tính của Y theo X?

5.11. Cho X (%) và Y (g) là hai chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm ta được kết quả sau:

X Y	2	4	8	10
21,2	18	4
22,5	5	30	9
23,7	7	16	15	6
30			1

Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y.

5.12. Khảo sát về thu nhập và tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục ở 400 hộ gia đình, ta thu được bảng các số liệu sau:

10	20	30	40	50
550-650	10	40	20
650-750		40	60	20
750-850		20	80	40
850-950			30	30	10

Giả thiết X, Y có sự phụ thuộc tương quan tuyến tính. Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y.

5.13. Theo dòi chi phí bảo trì và sửa chữa xe tải của một công ty thu được kết quả sau:

Số xe

Tuổi của xe X ( tính theo năm)	Chi phí chữa theo năm Y (triệu đổng)
101	5	7
102	3	7
103	3	6
104	1	4

a) Hãy tìm đường hồi quy tuyến tính của Y theo X?

b) Nếu côn ty có 1 xe tải 4 “tuổi” hãy ước lượng chi phí để sửa chữa của xe đó trong 1 năm?

5.14. Theo kết quả thử nghiệm độ bền của các loại dây điện có đường kính khác nhau, người ta có bảng số liệu sau đây:

Đường kính (X)

0,6	2	2,2	2,45	2,6
Lực tối đa (Y)	500	560	690	760	850

a) Hãy xác định hệ số tương quan mẫu giữa X và Y,

b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X.

5.15. Để tìm hiểu mối liên hệ giữa chi phí cho nghiên cứu và triển khai sản phẩm mới với lợi nhuận của một công ty điện tử được kết quả sau:

Chi phí cho nghiên cứu và triển khai sản phẩm mới (triệu đô la)	Lợi nhuận (triệu đôla)
2007	50	310
2008	110	400
2009	40	300
2010	50	340
2011	30	250
2012	20	200

Năm

Lập phương trình hồi quy tuyến tính giữa lợi nhuận và chi phí cho nghiên cứu, triển khai sản phẩm mới?

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 5



5.1. X 1 x

87  47  ...  75 55

768

s X = 27,7128.



Y 1 y

n j

86  56  ....  78 59 ;

649,8

s Y = 25,4912.

Đối với tích XY, ta có

XY 1x y

87.86  47.56  ...  75.78 3928 .

5.3.

n i i10

R  0,865

5.7.

y 7, 083  0,5716X

a) Trước hết, ta tính các đặc trưng mẫu.

X  1,45  1,60  ...  1,55  1,55 ;

2  1,452  1,602  ...  1,552



 2,4075 ;

2  2,4075 1,552  0,005 ;

Y  50  55  ...  60  55 ;

XY  1,45.50  1,60.55  ... 1,55.60  85,65 .

Suy ra các hệ số của phương trình cần tìm là

a = XY  X.Y  85,65 1,55.55  80 ;

0,005

b = Y  aX  55  80.1,55 69 .

Vậy, phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X có dạng y = 80x – 69.

b) Trong phương trình trên x có đơn vị là m, y có đơn vị là kg.

Để dự đoán khối lượng trung bình của những học sinh có chiều cao 1,52m, ta thay : x = 1,52 vào phương trình và tìm được

y = 80.1,52 – 69 = 52,6 (kg).

c) Tương tự, thay x = 1,45m vào phương trình, ta dự đoán được khối lượng trung bình là

y = 80.1,45 – 69 = 47 (kg).

Trên mẫu, học sinh cao 1,45m lại có khối lượng 50 kg (xem cột 1 của mẫu). Vậy sai số khi dự đoán là : 50 – 47 = 3 (kg).

5.8.

a) Trước hết ta tính các đặc trưng mẫu. Ta có thể lập bảng dưới dạng sau:

y j

3	4	5	6	7	8	ni
21	2	5					7
23		3	11				14
25			8	15	10		33
27			4	17	3		24
29					7	12	19
m j	2	8	23	32	20	12	n = 97

Khi đó

X  21.7  23.14  25.33  27.24  29.19  25,7010 ;

2  212.7  232.14  252.33  272.24  292.19 ;

X 665,9072



2  5,3658 ; Sx  2,3164 .

Y  3.2  4.8  5.23  6.32  7.20  8.12  5,9897 ;

2  32.2  42.8  52.23  62.32  72.20  82.12 ;



2 = 1,4534 ; SY

= 1,2056.

37,3299

XY  21.3.2  21.4.5  23.4.3  23.5.11  ...  29.7.7  29.8.12  156,2165

Tính hệ số tương quan mẫu