Ứng Suất Trên Mặt Cắt Thanh Chịu Xoắn

Bài giải:

Tính số đinh tán chịu cắt, áp dụng công thức

C F

n

d2

C 







720.103

202.106 4

.100

Rút ra:

n n 

24

Tính số đinh tán chịu dập, áp dụng công thức 10-4

Pd Fd

n d 

b.d





720.103

Rút ra:

n 

dbd

n 15

3

20.103.10.10 .100

Như vậy, nếu tính theo cắt đòi hỏi phải 24 đinh tán, còn tính theo dập đòi hỏi 15 đinh tán. Để thoả mãn cả hai điều kiện bền khi cắt và khi dập ta phải chọn 24 đinh tán.

4. XOẮN THUẦN TÚY

4.1 Khái niệm về xoắn thuần túy

4.1.1 Định nghĩa

Một thanh cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực là các ngẫu lực nằm trong các mặt cắt của thanh, thanh sẽ chịu xoắn.

Ví dụ:

Hình 2.29

pháp mặt cắt.

Thanh mặt cắt tròn một đầu cố định và một đầu tự do chịu tác tác dụng của ngẫu lực m = P.a (hình 2.29).

4.1.2 Nội lực

Để xác định nội lực ta dùng phương

Tưởng tượng cắt thanh AB chịu xoắn thành 2 phần A, B bỏ đầu A giữ lại đầu B để xét.

Để đầu B cân bằng ta cần đặt vào mặt cắt nội lực Mx có trị số mômen bằng và ngược chiều với ngẫu lực (P,P),

(hình 2.30).

Mx = m = P.a

Hình 2.30

4.1.3 Biến dạng trong thanh chịu xoắn

Xét thanh có mặt cắt tròn, kẻ các đường sinh biểu thị cho các thớ dọc, các đường vuông góc với trục thanh biểu thị cho các mặt cắt của thanh, các đường đó tạo thành các ô chữ nhật (hình 2.31). Ở mặt đầu thanh kẻ bán kính r.

Tác dụng vào thanh ngẫu lực m, nhận thấy:

- Khi chịu xoắn, các mặt cắt của thanh xoay quanh trục một góc nào đó nhưng vẫn tròn với bán kính cũ, vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh.

- Khoảng cách giữa hai mặt cắt trước và khi chịu xoắn không đổi.

- Trước và khi chịu xoắn, bán kính của mặt cắt vẫn thẳng và có chiều dài không đổi.

Gọi góc xoay bán kính mặt đầu là góc xoắn tuyệt đối, ký hiệu (hình 2.31).



Hình 2.31

Tỷ số

gọi là góc xoắn tương đối, trong đó l là chiều dài của thanh.

Dưới tác dụng của ngẫu lực, các phần tử vật liệu trên các mặt cắt dịch chuyển một góc tương đối ê.

Ta có quan hệ giữa và ê ở mặt ngoài của thanh:

.l .r

hay

. r

hay

.r

Một điểm cách trục một khoảng sẽ thực hiện một góc trượt ê = ỉ .

Như vậy biến dạng trượt trong thanh chịu xoắn thay đổi liên tục tăng dần từ trong thanh ra mặt ngoài thanh.

Tại trục độ trượt nhỏ nhất: ê = 0 Tại điểm cách trục một khoảng : ê = ỉ .

Tại mặt ngoài ê đạt trị số lớn nhất: êmax = ỉ.r

4.1.4 Ứng suất trên mặt cắt thanh chịu xoắn

pi



Quan sát biến dạng của thanh chịu xoắn, có thể kết luận trên mặt cắt của thanh không có ứng suất pháp mà chỉ có ứng suất tiếp , phương chiều của ứng suất vuông góc với bán kính đi qua

điểm đang xét.

Theo định luật húc về biến dạng trượt: = ê .G

Vì trị số ê trong mặt cắt của thanh biến đổi từ 0 đến giá trị lớn nhất ứng với vị trí các điểm từ tâm ra mặt ngoài. Do đó trị số ứng suất tiếp cũng thay đổi từ 0 ÷ max.

max = êmax .G = ỉ.r.G

Ta có thể biểu thị sự biến đổi của ứng suất bằng biểu đồ (hình 11.11).

Theo biểu đồ ta có:

Hçnh 11.11

Hình 2.32

= max ./r

max

Để giải quyết bài toán sức bền ta phải tìm được mối quan hệ mômen nội lực Mx với ứng suất lớn nhất max phát sinh ở mặt ngoài thanh, để có mối quan hệ đó ta làm như sau:

Chia mặt F thành n phần F1, F2, F3, ... (Fi) sao cho các phần tử đủ nhỏ để có

thể coi nội lực phân bố đều bởi ứng suất tương ứng là:

1, 2 , 3 ,...(i ) .

F = F1+F2+...+Fn khoảng cách từ các phần tử được chia tới tâm là 1, 2, 3, ... n.

Như vậy nội lực xoắn trên mỗi phần tử diện tích Fi là Mi được xác định như

Mi = i.Fi.i

Mà Mx =

Mii .Fi .i (i = 1, 2, ..., n)

Từ đó ta có:

Mx i .Fi .i

i1

Theo công thức: = max ./r

Ta c:

M 

max .i .F .

max n

F .2

i i

i1

r i1

Đặt J0 = Fi .i

i1

(J0 gọi là mômen quán tính độc cực, đơn vị là m4)

Thay vào biểu thức trên ta có:

M max .J

x r 0

Đặt

0  W0

Suy ra:

Mx 

max

.W0

hay

M x





max

W0 đặc trưng cho khả năng chống xoắn của thanh được gọi là mô men chống xoắn, đơn vị là m3. Với thanh có mặt cắt hình tròn:

J0 

.d4

 0,1.d4

và W0 

.d3

 0,2.d3

4.2 Tính toán về xoắn

4.2.1) Điều kiện cường độ:

Để một thanh chịu xoắn bền thì ứng suất lớn nhất phát sinh trong thanh phải nhỏ hơn hay tối đa bằng ứng suất cho phép của vật liệu chế tạo thanh.





max



4.2.2) Chọn mặt cắt:

Từ điều kiện cường độ ta suy ra:

W Mx 0 

Chú ý: Với những trục truyền chuyển động quay công suất P, moomen xoắn ngoại lực tính theo công thức:

m = 9,55. P (Nm)

Trong đó: Công suất P tính bằng oát, vận tốc góc n tính bằng vg/ph.

Ví dụ 1:

Một thanh mặt cắt tròn chịu hai mômen xoắn tác dụng ở mặt cắt ở hai đầu tự do Mx=2kNm. Mặt cắt có đường kính d = 6,5cm. Hãy kiểm tra cường độ của thanh biết  40MN / m2 .

Giải:

Với mặt cắt hình tròn ta có:

W0 ≈ 0,2 d3 = 0,2 . 0,0653 = 54.10-6m2

Áp dụng công thức ta có:

max

 Mx

 2000

54.106

 36.106  40.106 N / m2 

Vậy thanh được đảm bảo về cường độ.

Ví dụ 2:

Một trục bằng thép có công suất 295 kW quay với n = 300vg/ph. Tính đường kính trục theo điều kiện cường độ, biết  80MN / m2 .

Giải:

Từ công thức m = 9,55. P ta có:

m = 9,55. P=

Để tính đường kính trục ta có:

9,55.

295.103 

300

939Nm

W Mx 0 

=> 0,2d3 M x





M x

3 0,2.

0,2.80

939.106

2

=> d 

Chọn d = 4 cm

 3,9.10 m

Câu hỏi, bài tập

1. Thế nào là thanh chịu kéo, nén đúng tâm ? Tên gọi, ký hiệu và cách tính ứng suất trong thanh chịu kéo, nén.

2. Viết và giải thích công thức tính biến dạng thanh chịu kéo, nén. Phát biểu định luật Húc về kéo nén.

3. Thế nào là thanh chịu cắt, dập ? Tên gọi, ký hiệu và cách tính ứng suất trong thanh chịu cắt, dập. Tính toán về cắt, dập như thế nào ?

4. Thế nào là thanh chịu xoắn ? Trong thanh chịu xoắn phát sinh ứng suất gì

? Quy luật phân bố ra sao ? Viết và giải thích công thức tính ứng suất lớn nhất trong mặt cắt thanh chịu uốn.

5. Thế nào là thanh chịu uốn ? Nội lực trong thanh chịu uốn có tính chất gì ? Nêu rõ thành phần ứng suất phát sinh. Quy luật phân bố ra sao ?

6. Phát biểu và viết biểu thức điều kiện bền của thanh chịu kéo, nén, cắt, dập, xoắn.

7. Với thanh thép dài l = 4m, đường kính d = 12m, cần phải đặt lực P như thế nào để nó bị giãn 0,5cm. Ứng suất phát sinh khi tác dụng lực đó. Biết E = 2.10- 5MN/m2.

Đáp số: P = 2,8.103kN; = 200MN/m2

8. Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn của dầm chịu tải trọng phân bố đều q = 10kN/m (hình 11.21) .

Giải:YA qYB

a. Xác định phản lực YA, YB:1

Gọi hợp lực là R: A 1 B

R = q.l = 10.2 = 20kN

mA YB.2 1.R  0

mB YA.2 1.R  0