Ứng Suất Pháp Của Dầm Chịu Uốn Ngang Phẳng

là qa.

- Trên đoạn BC không có lực phân bố đều nên biểu đồ lực cắt là đường

nằm ngang.

* Với biểu đồ mômen uốn M:

- Trên đoạn AB có lực phân bố đều hướng xuống nên biểu đồ mômen uốn là đường cong bậc 2, chiều lòm hướng xuống dưới. Giá trị mômen uốn tại mặt cắt B là:

mB = -qa.2a - q2a.a = -4qa2

- Trên đoạn BC, do biểu đồ lực cắt là hằng số nên biểu đồ mômen uốn là bậc nhất.

- Tại mặt cắt C có mômen tập trung m0 quay thuận nên biểu đồ mômen có bước nhảy xuống bằng giá trị mômen tập trung là 2qa2

Từ đó ta vẽ được các biểu đồ lực cắt Q và mômen uốn M như hình 4.34b,c.

a)

b)

c)

Hình 4.34

4.4.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang

4.4.3.1. Uốn thuần tuý

1. Khái niệm về uốn thuần tuý

Một dầm chịu uốn thuần tuý phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mômen uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Ví dụ: trên hình 4.35a biểu diễn dầm công-xôn chịu tác dụng của mômen uốn

Mo ở đầu tự do, trên mặt cắt bất kỳ nào cũng có: Qy = 0, Mx = const. Vậy dầm chịu uốn thuần tuý phẳng.

Tương tự, hình 4.35b biểu diễn dầm chịu uốn, mọi mặt cắt trong đoạn CD đều có: Qy = 0, Mx = const. Vậy đoạn dầm CD chịu uốn thuần tuý.

2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

a. Thí nghiệm

Lấy dầm có mặt cắt hình chữ nhật, trước khi làm thí nghiệm kẻ lên bề mặt của dầm những đường thẳng song song với trục biểu thị các thớ dọc và những đường vuông góc với trục biểu thị các mặt cắt ngang của dầm. Các đường kẻ này tạo thành một lưới ô vuông như hình 4.36a.

Sau đó tác dụng lên hai đầu dầm mômen uốn, ta nhận thấy: các đường kẻ song song với trục đều trở thành những đường cong đồng dạng với trục dầm. Các đường kẻ vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và vuông góc với trục dầm (hình 4.36b). Như vậy các góc vuông vẽ trước khi biến dạng thì sau biến dạng vẫn là vuông.

b. Các giả thuyết

Qua thí nghiệm trên, nếu giả thiết biến dạng bên trong xảy ra cũng như bên ngoài bề mặt thì ta có thể đề ra các giả thuyết sau:

Hình 4.35a

P P

P

P

Hình 4.35b

Mo

P P
a

Có thể bạn quan tâm!

• Phương Pháp Mặt Cặt Biến Thiên- Các Thành Phần Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
• Chọn Kích Thước Mặt Cắt . Nếu Biết Lực Dọc Và Ứng Suất Cho Phép Từ (4.25) Đễ Dàng Suy Ra Diện Tích Mặt Cắt Ngang:
• Quan Hệ Giữa Nội Lực Và Cường Độ Tải Trọng Phân Bố.
• Điều Kiện Cường Độ- Ba Bài Toán Cơ Bản
• Cơ học ứng dụng - 21
• Cơ học ứng dụng - 22

Xem toàn bộ 180 trang tài liệu này.

P.a

Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông góc với trục dầm thì sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm.

Giả thuyết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng các thớ dọc không chèn ép lên nhau và cũng không đẩy nhau.

Ngoài các giả thuyết trên, ta vẫn thừa nhận giả thuyết vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke.

c)

a)

d)

b)

Hình 4.36

c. Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý

Quan sát biến dạng của dầm chịu uốn ta thấy: các thớ dọc ở phía trên trục dầm bị co lại, các thớ dọc ở phía dưới trục dầm bị giãn dài ra. Như vậy, nếu đi từ thớ bị co đến thớ bị giãn sẽ có thớ không co cũng không bị giãn tức là không bị biến dạng. Thớ đó

được gọi là thớ trung hoà. Các thớ trung hoà tạo thành lớp trung hoà. Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt cắt ngang gọi là trục trung hoà. Trục trung hoà chia mặt cắt thành hai miền: miền gồm các thớ bị co gọi là miền chịu nén và miền gồm những thớ bị giãn gọi là miền chịu kéo.

Vì các thớ trên bị nén nên bề rộng mặt cắt ở trên sẽ phình rộng ra, các thớ dưới bị kéo nên bề rộng mặt cắt ở phía dưới bị co lại. Do đó, mặt cắt có dạng như hình 6.3d và đường trung hoà là một đường cong. Nhưng vì biến dạng là bé, nên có thể coi mặt cắt sau biến dạng vẫn giữ nguyên hình dạng ban đầu. Vì vậy đường trung hoà sau biến dạng vẫn thẳng. Khi đó, biến dạng của dầm chịu uốn chỉ là sự quay của các mặt cắt xung quanh trục trung hoà.

d. Ứng suất

Xét mặt cắt ngang 1-1, trục ox là đường trung hoà; trục Oy là trục đối xứng, trục oz vuông góc với mặt cắt ngang (hình 4.37).

Tại điểm B trên mặt cắt ngang ta tách một phân tố hình hộp vô cùng nhỏ mà các cạnh của nó song song với các trục toạ độ đã chọn. Vì trước và sau khi biến dạng các góc vuông vẫn bảo toàn nên trên các mặt của phân tố không có ứng suất tiếp. Mặt khác theo giả thuyết về các thớ dọc thì trên mặt cắt song song với trục z sẽ không có ứng suất pháp x = y = 0.

z

z

B

x

B

z

dF

y

dF

Hình 4.37

Vậy trên mặt cắt ngang của dầm chỉ có ứng suất pháp z tác dụng. Trạng thái ứng suất tại B do đó là trạng thái ứng suất đơn.

Theo định luật Hooke, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cho phân tố đó là:

z = z. E (a)

Xét một đoạn dầm dz được cắt bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Sau khi biến dạng hai mặt cắt này tạo với nhau một góc d (hình 4.38).

Nếu gọi  là bán kính cong của thớ trung hoà. Ta có:

OO' dz d

Như vậy biến dạng cuả thớ m-n cách thớ trung hoà một khoảng cách y sẽ là:

(y)ddy

(b)

d

Thay (b) vào (a) ta được:

E y

z 

(c)



d

1

O

2

A

1

O'

y

B

2

dz

Đường trung hòa

x

O

O'

y

Hình 4.38

Theo công thức (c) thì chưa xác định được z vì y,  là những giá trị chưa biết (do vị trí đường trung hoà chưa xác định).

Xét một phân tố diện tích dF bao quanh B. Phân tố nội lực tác dụng trên đó là

zdF (hình 4.37). Nếu qui về gốc toạ độ O của hệ trục toạ độ trên mặt cắt ngang đang xét thì ta có các thành phần nội lực.

Nz zdF; F

Mx (zdF)y

F

My (zdF)x

F

(d)

Trong trường hợp này, dầm chịu uốn thuần tuý phẳng nên:

Nz 0,

My 0.

Thay (c) vào (d) và (e) ta có:

(e)

(f)

Nz 

E y dF 





E ydF 





ES  0

x

Sx  0

F F

Vậy đường trung hoà ox phải trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang. Do đó hệ trục oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm. Đối với hệ trục này ta có Jxy = 0 và như vậy điều kiện (f) luôn luôn thoả mãn:

M 

xdF 

E y xdF E y2dF E J

(g)

y z x

F F F

trong đó: Jx là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà. Từ (g) ta có:

1 Mx

(4.40)

EJx

EJx được gọi là độ cứng của dầm chịu uốn vì EJx càng lớn thì dầm bị uốn cong càng ít.

Thay (1) vào (c) ta có:

z 

Mx y

J

(4.41)

x

trong đó: Mx - mômen uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hoà và được coi là dương nếu làm căng các thớ về phía dương của trục y,

Jx - mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà, y - tung độ của điểm cần tính ứng suất trên trục trung hoà.

Quy ước dấu: ứng suất pháp được mang dấu cộng là ứng suất kéo và mang dấu trừ là ứng suất nén.

Để thuận tiện cho việc tính toán, ta có thể viết dưới dạng:

Mx

Jx

z y

(4.42)

trong đó lấy dấu cộng nếu điểm đang xét nằm trong vùng các thớ bị kéo và lấy dấu trừ nếu điểm đang xét nằm trong vùng các thớ bị nén.

e. Biểu đồ ứng suất pháp

Theo (4.41) những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục trung hoà (tức là có cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số ứng suất pháp. Do đó ta chỉ cần vẽ biểu đồ ứng suất pháp theo chiều cao của mặt cắt ngang. Mặt khác từ (4.41) ta thấy biểu đồ ứng suất pháp là một đường thẳng qua gốc toạ độ (hình 4.39). Các ứng suất pháp sẽ có giá trị cực trị tại các điểm cách xa đường trung hoà nhất.

Các ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất ở tại các điểm mép trên cùng và dưới cùng của mặt cắt sẽ có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

max



Mx

Mx		h
Jx		2

wx

max



Mx

Mx	h
Jx	2

wx

(4.43)

trong đó: Wx - mômen chống uốn của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà:

Wx Jx / h / 2

- Wx có thứ nguyên là (chiều dài)3.

a)

x

min

b)

x

y

max

min

max

y

Nếu gọi

k max

y

và

n max

Hình 4.39

là các khoảng cách từ thớ chịu kéo và chịu nén ở mép

y

mặt cắt đến trục trung hoà thì các ứng suất cực trị được tính như sau:

Mx

Jx

Mx

yk 

W

max max k x

Mx

Jx

Mx

yn 

(4.44)

W

min max n x

Với:

W k Jx ,

W n Jx

y

x k

max

x n

max

y

Theo (4.44) rò ràng mômen chống uốn càng lớn thì dầm chịu được mômen uốn càng lớn.

Mômen chống uốn của một số hình đơn giản:

bh2

- Hình chữ nhật:

- Hình tròn:

Wx 

Wy 

,

6

hb2

.

6

R3

D3 3

- Hình vành khăn:

Wx Wy 

R3



4 32

4 D3

 0,1D

4 4 3

Wx Wy 

(1 ) 

4

(1 

32

)  0,1(1 )D

trong đó:

4.4.3.2. Uốn ngang phẳng

1. Định nghĩa

d / D

Một dầm chịu uốn ngang phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành

phần nội lực là lực cắt Qy và mômen uốn Mx (hoặc Qx và My) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

Ví dụ: Xét một dầm chịu lực như hình 4.40. Từ các biểu đồ nội lực ta thấy trên mọi mặt cắt của dầm đều tồn tại cả hai thành phần lực cắt Qy và Mx. Nên dầm đó chịu uốn phẳng.

l l/3 P

A

B C

P/3

4P/3

P/3

Qy

P

Pl/3

Mx

Hình 4.40

2. Ứng suất pháp của dầm chịu uốn ngang phẳng

P

z

a)

Hình 4.41

yz

b)

z

zy

Vì trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn phẳng có hai thành phần nội lực là lực cắt và mômen uốn đó là hợp lực của các thành phần ứng suất tiếp và ứng suất pháp. Do có thành phần ứng suất tiếp và thành phần ứng suất này phân bố không đều theo chiều cao của mặt cắt nên sau biến dạng các mặt cắt không còn phẳng nữa mà bị vênh đi (hình 4.41a). Nếu tại một điểm B bất kỳ trên mặt cắt ta tách một phân tố bằng các mặt cắt song song với các mặt toạ độ thì ta nhận thấy phân tố vừa có biến dạng dài vừa có biến dạng góc (hình 4.41b).

Trong phần uốn thuần tuý, ta sử dụng giả thuyết mặt cắt ngang phẳng và đã xây

dựng được công thức tính ứng suất pháp: z 

Mx y

J

x

Trong uốn ngang phẳng, chúng ta vẫn sử dụng công thức đó để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng mặc dù mặt cắt ngang không còn phẳng nữa. Như vậy, kết quả sẽ mắc phải một sai số. Tuy nhiên, lý thuyết đàn hồi đã chứng minh được sai số này là nhỏ và có thể bỏ qua được.

3. Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang

Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang có thể phân tích ra hai thành phần

zx

và zy

(hình 4.42a). Do mặt ngoài của dầm không chịu lực theo phương z và theo định luật

đối ứng của ứng suất tiếp nên

zx  0 . Điều đó có nghĩa là ứng suất tiếp tại một điểm

bất kỳ trên mặt cắt của dầm chịu uốn ngang chỉ có một thành phần

zy

có phương song

song với Qy. Với giả thiết ứng suất tiếp

zy

phân bố đều theo

zx bề rộng của mặt cắt,

ta có thể thiết lập công thức tính

zy

như sau: tách từ dầm ra một phân tố có chiều dài

dz. Dùng các mặt cắt song song với trục z và vuông góc với trục y, chia phân tố ra làm hai phần. Khảo sát phần dưới (hình 4.42b), ta thấy trên các mặt của phần phân tố khảo

sát có các thành phần ứng suất

z1,z2 ,zy yz .

Mx

x

Qy

1

2

y

xy



1



z



2

z

1

FC

dz

2

Qy+dQy

y

yz

Qy

x





zy

zx

y

Mx+dMx

Hình 4.42a Hình 4.42b

Từ điều kiện cân bằng của phần phân tố khảo sát, ta có phương trình:

Fz z1dF z 2dF yzbcdF  0

(4.45)

Fc Fc

trong đó: Fc là diện tích phần mặt cắt ngang được giữ lại ở phía dưới

bc là bề rộng của phần diện tích đó tại điểm cách trục trung hoà khoảng cách là y.

Mặt khác, ta có:

z1

M x y,

J

z 2

M x dM x y

J

(4.46)

x x