Điều Kiện Cường Độ- Ba Bài Toán Cơ Bản

Thay (4.46) vào (4.45) ta có:

Qy .y Q S c

zy 

Fc

x

bc .J x



dF y x

bc .J x

(4.47)

trong đó:

S c 

F

ydF

là mômen tĩnh đối với trục x của phần diện tích Fc của mặt

cắt ngang được cắt bởi mặt phẳng đi qua bc.

Công thức (4.47) chính là công thức Giu-rap-xki.

4.4.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản

4.4.4.1. Uốn thuần tuý

- Đối với dầm bằng vật liệu dẻo:

Vì ứng suất cho phép khi kéo và nén bằng nhau 





nên chỉ kiểm

tra với ứng suất có giá trị tuyệt đối lớn nhất:

maxz 

- Đối với vật liệu giòn:

k n

(4.48)

Ứng suất cho phép khi kéo và khi nén là khác nhau nên phải kiểm tra hai điều kiện:

k

max 

(4.49)

min



n

Từ điều kiện bền ta có ba bài toán cơ bản: kiểm tra bền, xác định tải trọng cho phép và chọn kích thước mặt cắt.

Ví dụ 4.10: Một dầm bằng vật liệu có ứng suất pháp cho phép khi kéo

k

n

 3,5kN / cm2 và nén  11kN / cm2 , chịu lực như trên hình 4.43a.

Kiểm tra độ bền của dầm.

Bài giải: Trình tự các bước thực hiện

- Vẽ biểu đồ mômen uốn, cho trị số max Mx = 4,5kN.m

16

Có thể bạn quan tâm!

• Chọn Kích Thước Mặt Cắt . Nếu Biết Lực Dọc Và Ứng Suất Cho Phép Từ (4.25) Đễ Dàng Suy Ra Diện Tích Mặt Cắt Ngang:
• Quan Hệ Giữa Nội Lực Và Cường Độ Tải Trọng Phân Bố.
• Ứng Suất Pháp Của Dầm Chịu Uốn Ngang Phẳng
• Cơ học ứng dụng - 21
• Cơ học ứng dụng - 22

Xem toàn bộ 180 trang tài liệu này.

Hình 4.43

- Tìm các đặc trưng cần thiết của MCN (hình 4.43c), ta được các trị số:

J  370cm4 ; yk  2, 67cm; yn

 7,33cm

x max max

- Tính các giá trị

max k ;

max k

max k Mx yk

z

z

 3, 25kN / cm2 ; max n Mx yn

 8, 92kN / cm2 

z A J max

k z B J

max n

x x

Vậy dầm đủ bền.

4.4.4.2.Uốn ngang phẳng

Trong trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý, kiểm tra bền ta chỉ cần chú ý đến mặt cắt có mômen uốn Mx lớn nhất. Trên mặt cắt đó, ta chỉ cần kiểm tra ở những điểm nằm xa đường trung hoà nhất.

Nhưng trong uốn phẳng, người ta phải tiến hành kiểm tra ở các vị trí mặt cắt có: Mômen uốn lớn nhất, lực cắt lớn nhất và mặt cắt có cả mômen uốn và lực cắt cùng lớn. Trên mỗi mặt cắt, ta cần chú ý phân biệt trạng thái ứng suất tại các điểm đó. Nhìn chung ta cần phải xét đến ba trường hợp sau:

Phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: Tại các điểm nằm ở mép trên cùng và dưới cùng của mặt cắt (tại A hay D hình 4.44) có zy =0 nên phân tố ở trạng thái ứng suất đơn. Điều kiện bền:

- Dầm làm bằng vật liệu dẻo:

z max

M x

Wx

 []

(4.50)

min

D

- Dầm làm bằng vật liệu dòn:

max  [k ];

min  [n ]

(4.51)

Mx Qy

B x

max



max,min trị số ứng suất kéo, nén z

lớn nhất trên toàn dầm. C

A

Phân tố ở trạng thái trượt thuần y

tuý: tại các điểm nằm trên trục trung hoà



max

có z  0

nên phân tố ở trạng thái trượt

Hình 4.44

thuần tuý. Điều kiện bền:

max 

(4.52)

Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: Đối với những điểm trên mặt cắt tồn tại

cả hai ứng suất pháp

z và ứng suất tiếp

zy , nên tại đó trạng thái ứng suất của một

điểm là trạng thái ứng suất phẳng. Khi đó ta đưa về ứng suất tương đương tđ, điều kiện bền là:

max tđ ≤ [𝜎] (4.53)

Từ điều kiện bền ta có ba bài toán cơ bản: kiểm tra bền, xác định tải trọng cho phép và chọn kích thước mặt cắt.

Ví dụ 4.11:

Cho dầm chịu lực như trên hình 4.45. Chọn đường kính của dầm cho hai trường hợp: dầm có MCN không đổi, dầm có ba bậc như hình 4.46. Biết l=80 cm,

+

+

P=5kN,

 16kN / cm2 ,

 8kN / cm2 .

Bài giải

Hình 4.45

Hình 4.46

- Dầm có MCN không đổi. Theo điều kiện bền, ta có:

x max

2

0,1d3  M / 

trong đó:

Mx max  5.80 / 4 10 kN.cm

3 102 / 0,1.16

d  4cm

2

- Dầm ba bậc (hình 4.45). Trị số d1, d2 được xác định từ công thức (4.50).

Đối với đoạn giữa:

max Mx 10 kNcm

Đối với đoạn hai đầu:

Mx  30.P / 2  30.5 / 2  75kNcm

Từ điều kiện bền, ta có:

3 102 3 75

0,1d1 16  d1  4cm; 0,1.d2 16  d2  3, 6cm

Với kích thước đã chọn dầm làm việc đủ bền.

4.5. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

Thanh chịu lực đơn giản: Những trường hợp chịu lực của thanh khi kéo (nén), uốn phẳng, xoắn đã xét trong học phần Cơ học 1 được gọi là những trường hợp chịu lực đơn giản. Lúc này, trên tiết diện của thanh chỉ tồn tại một loại ứng lực độc lập: hoặc lực dọc, hoặc mô men uốn đi kèm theo lực cắt, hoặc mô men xoắn.

Thanh chịu lực phức tạp: Tổ hợp những trường hợp chịu lực đơn giản được gọi là trường hợp chịu lực phức tạp.

Tổng quát nhất trên tiết diện của thanh có đủ sáu thành phần ứng lực như hình

4.47 bao gồm:

- Lực dọc: Nz

- Mô men uốn: Mx , My

- Lực cắt: Qx, Qy

- Mô men xoắn: Mz

Hình 4.47

Ứng suất trên tiết diện

Theo nguyên lý cộng tác dụng thì ứng suất và biến dạng của thanh khi chịu lực phức tạp sẽ bằng tổng ứng suất hoặc tổng biến dạng do từng lực gây ra riêng rẽ.

Ứng suất pháp trên tiết diện chỉ do lực dọc, mô men uốn gây ra và bằng:

N M x M y 

Các ứng suất thành phần có cùng phương nên ta viết tổng theo trị số đại số:

N M x M y 

N M x

A I x

y M y x I y

(4.54)

Ứng suất tiếp trên tiết diện chỉ do lực cắt, mô men xoắn gây ra và bằng:

QyQxM z

(4.55)

Các ứng suất tiếp thành phần có phương khác nhau nên không chuyển được biểu thức sang phép cộng đại số.

Thành phần Qycó phương chiều phù hợp với lực cắt Qyvà có trị số:

Q SC

Qy

y x

Ixb

Thành phần Qxcó phương chiều phù hợp với lực cắt Qx và có trị số:

Q S C

Qx

x y

I y h

Thông thường, đối với các dầm dài khi tính ứng suất và biến dạng có thể bỏ qua

ảnh hưởng của lực cắt so với ảnh hưởng của mô men uốn do đó trong các phần tính toán tiếp theo, ta không xét đến ảnh hưởng của ứng suất tiếp Qx,Qy

Thành phần M z 

có trị số và phương chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện, với

tiết diện tròn thì ứng suất tiếp có phương vuông góc với bán kính, có chiều phù hợp với mô men xoắn nội lực Mz và có trị số:

M z

MZ 

I

(4.56)

P

4.5.1. Thanh chịu uốn xiên

4.5.1.1. Định nghĩa

Thanh chịu uốn xiên (uốn không gian) khi thanh chịu uốn trong cả hai mặt phẳng quán tính chính. Ứng lực trên tiết diện, khi bỏ qua các lực cắt sẽ bao gồm mô men uốn Mx và mô men uốn My như hình vẽ 4.48a.

Gọi M là véc tơ tổng của các véc tơ M x và M y , nằm trong mặt phẳng V,

chứa trục z, nhưng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong uốn xiên đường tải trọng đi qua trọng tâm nhưng không trùng với một trục quán tính trung tâm nào (hình 4.48b ).

4.5.1.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên mặt cắt ngang (MCN) có toạ độ x, y được tính theo công thức:

z

M x y M y x

(4.57)

Ix I y

Trong đó Mx, My coi là dương khi làm căng phần chiều dương của trục y, trục x.

Hình 4.48

Trong kĩ thuật người ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của Mx, My và toạ độ x, y:

M x

Ix

M y

I y

z y x

(4.58)

Ta sẽ chọn dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” trước mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn

Mx và My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.

Nếu gọi là góc của đường tải trọng hợp với trục x (hình 4.48b):

M M x M sin 

tgx

M y M y M cos

Góc được gọi là dương khi quay từ chiều dương trục x đến đường tải trọng theo chiều kim đồng hồ.

4.5.1.3. Vị trí đường trung hoà

Từ (4.58) ta có phương trình đường trung hoà:

M x y M y x  0

(4.59)

Ix I y

Hay:

y M x . Ix .x tg.x

(4.60)

M y I y

Trong đó: tgM x . Ix

M y I y

Suy ra: tg 1 . Ix

(4.61)

tgI y

Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và không vuông góc với đường tải trọng như trong uốn phẳng.

Từ biểu thức (4.61) ta nhận thấy đối với các mặt cắt ngang có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm như hình tròn, các đa giác đều cạnh sẽ có Ix= Iy nên tgtg= -1 thì không xảy ra hiện tượng uốn xiên phẳng. Vì đường tải trọng sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm, còn đường trung hoà sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đường tải trọng. Bài toán khi đó chỉ là uốn phẳng.

4.5.1.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Hình 4.49

Theo (4.58) mặt ứng suất là mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đường thẳng song song với đường trung hoà. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong hệ toạ độ như hình 4.49. Trục tung là đường trung

hoà, trục hoành vuông góc với đường trung hoà.

4.5.1.5. Điều kiện bền

Điểm nguy hiểm là các điểm xa đường trung hoà nhất về phía kéo hoặc nén.

Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn.

max

Điều kiện bền có dạng:

- Đối với vật liệu dẻo:

- Đối với vật liệu giòn:

max k



(4.62)

(4.63)



n





Trong đó:

min



M x

Ix

y 



M y

I y

M x

Ix

M y

I y

x ; y x

(4.64)

max

k k min 



n n 



Nếu mặt cắt ngang của thanh là những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ nhật thì:

xk xn

xmax ;

yk yn

ymax

M x

M y

Do đó: ; 

Ix

(4.65)

max min

max

Wx Wy

Trong đó :

Wx 

I y

xmax

; Wy 

(4.66)

ymax

Trong trường hợp này điều kiện bền sẽ là:

- Đối với vật liệu dẻo:

Wx

- Đối với vật liệu giòn:



M x

M y

Wy

M x

M y

k



(4.67)

(4.68)

Wx Wy

Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản sau:

- Bài toán kiểm tra bền

- Bài toán tìm tải trọng cho phép.

- Bài toán chọn kích thước MCN

Ví dụ 4.12

Một dầm công xon bằng gỗ, dài 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật (12  20) cm2, ở đầu tự do chịu lực tập trung P = 2,4 kN. Lực P đặt vuông góc với trục dầm và xiên góc = 30o với trục Oy (hình 4.50a).

Xác định vị trí đường tải trọng và ứng suất pháp ở các điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang ở ngàm.

b)

Pyl

Mx

Bài giải

a)

A

B

12cm

20cm

C

x

2m

z

y

O Px

Py

P

Pxl

c)

My

Hình 4.50

Phân tích lực P làm hai thành phần theo các trục Ox và Oy

Px P sin2, 4.0, 5 1, 2 kN 

Py P cos2, 4.0, 866 2, 08 kN 

Biểu đồ mô men uốn Mx và My được biểu diễn trên hình 6.5b,c. Vị trí đường tải trọng được xác định theo công thức:

tg = Mx Py l 2,08  1,732;

 60o .

My Px l

1,2

Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục x và y

cm ;

bh 12.20 

3 3

I 8000 4

x 12 12

3 3

cm ;

b h 12 .20 

I 2880 4

y 12 12

Ta có ứng suất tại điểm A:

Py l

Px l

2, 08.200101, 2.2006

A I yA

I xA

8000 2880

x y

 0, 52  0, 50  1, 02kN / cm2 

2

2

Tương tự, chúng ta tính được ứng suất tại các điểm B, C, D tương ứng là:

2

B 0, 02 kN / cm ,

C 1, 02 kN / cm ,

D 0, 02 kN / cm .

4.5.2. Uốn và kéo (nén) đồng thời

4.5.2.1. Khái niệm

Thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) khi ứng lực trên tiết diện gồm lực dọc Nz, mô men uốn Mx, My hoặc lực dọc và một trong hai mô men uốn này (hình vẽ 4.51).