Cơ học ứng dụng - 21

Hoặc ví dụ đối với ống khói, trọng lượng cột gây nén còn tải trọng gió q gây uốn (hình 4.52a). Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không vuông góc với trục thanh thì lúc đó phân tích lực căng dây thành hai thành phần: thành phần F1 gây uốn, thành phần F2 gây nén (hình 4.52b).

4.5.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Ứng suất pháp tại một điểm trên MCN được xác định theo công thức:

Hình 4.51

z

Nz M x y M y x

(4.69)

Có thể bạn quan tâm!

• Quan Hệ Giữa Nội Lực Và Cường Độ Tải Trọng Phân Bố.
• Ứng Suất Pháp Của Dầm Chịu Uốn Ngang Phẳng
• Điều Kiện Cường Độ- Ba Bài Toán Cơ Bản
• Cơ học ứng dụng - 22

Xem toàn bộ 180 trang tài liệu này.

A Ix I y

hoặc

Nz 1



z A

M x

N i2

y M y

N i2



x 

(4.70)

z x z y 

F1

qbt

F2

qgiã

a) b)

Hình 4.52

Trong đó: A - diện tích MCN;

ix, iy - bán kính quán tính chính:

Ix

A

I y

A

ix ; iy 

Ix, Iy- mômen quán tính chính trung tâm của MCN;

M x

Ix

M y

I y

x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất. Công thức kỹ thuật có dạng:

Nz



y x

(4.71)

z A

Trong công thức trên các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu “+” hoặc

“-” trước mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc là kéo hay nén và các mômen uốn Mx, My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.

4.5.2.3. Vị trí đường trung hoà

Từ phương trình (4.71) ta có phương trình đường trung hoà là:

Nz M x y M y x  0

(4.72)

A Ix I y

hay:

1Mx

N i2

y M y

N i2

x  0

(4.73)

z x z y

Đường trung hoà trong trường hợp thanh chịu kéo (nén) đồng thời uốn là một đường thẳng không đi qua trọng tâm của MCN như trong uốn xiên.

4.5.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN

Tương tự như trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đường thẳng song song với đường trung hoà. Biểu đồ phân bố ứng suất được vẽ như hình 4.53.

Hình 4.53

4.5.2.5. Điều kiện bền

Điểm nguy hiểm là các điểm ở chu vi, xa đường trung hoà nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Vậy điều kiện bền là :

- Đối với vật liệu dẻo:

Nz

- Đối với vật liệu giòn: trong đó:





max

max k

min n

;

M x

Ix

M y

I y

y x



(4.74)

(4.75)

(4.76)

max A

Nz

M x

Ix



y x

(4.77)

min A

M y

I y

xk, yk : là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đường trung hoà nhất.

xn, yn : là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đường trung hoà nhất.

Nz

M x

M y

 Nếu MCN của thanh có dạng như trên hình 4.56 thì lí luận tương tự như trong uốn xiên ta có:

(4.78)

max

A Wx Wy

Nz

M x

M y

(4.79)

min

Ví dụ 4.13

A Wx Wy

Cho một thanh chịu lực như hình 4.54a. Tìm giá trị ứng suất max và min, vị trí đường trung hoà và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt nguy hiểm.

Cho: P1 = 160 kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN; q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm.

Bài giải

Mặt cắt nguy hiểm tại đầu ngàm. Vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp được vẽ trên hình 4.54b.

Hình 4.54

Lực dọc:

Nz P0 P1 240 160400(kN ) . Mômen uốn:

Ph ql 2 2  4 104

M 1 160 8  1680 kNcm

x 2 2 100  2

MP1bP2l 160 6  4102 1360kNcm

y 2 2

Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và bé nhất là:

Nz

M x

M y

 4, 75kNcm

max

A Wx Wy

Nz

M x

M y

8, 91kNcm

min

A Wx Wy

Vị trí đường trung hoà: đường trung hoà cắt trục x và trục y tại các điểm:

x0 

N i2

z y ;

M y

2

N i

z x

M

y0 

2

2

x

trong đó:

i2h 21, 3cm2;

i2b 12 cm2

Nz  0 ;

x

M x  0

12

; M y  0 .

x12

Khi thay bằng số ta được: x0 = 3,53 cm; y0 = 5,07 cm

4.5.3. Kéo (nén) lệch tâm

4.5.3.1. Định nghĩa

Thanh chịu kéo lệch tâm khi ngoại lực tác dụng là các lực song song như không trùng với trục thanh. Đây là trường hợp chịu lực thường gặp ở những cột, thanh chịu kéo nén vì hầu như ta không thể đặt lực đúng trọng tâm tiết diện.

z

F M =F.y

z

N=F

x C My =F.xC

x x

C

y y

Hình 4.55

Nếu trên tiết diện có lực F đặt lệch tâm tại điểm C(xC, yC) như trên hình 4.55, bằng cách chuyển lực về trọng tâm tiết diện ta nhận được:

Lực dọc: Nz = F (4.80)

Các mô men uốn: Mx = F.yC (4.81)

My = F.xC (4.82)

Trong các biểu thức trên, F > 0 khi là lực kéo, xC, yC lấy dấu theo hệ toạ độ đã chọn. Nếu trên tiết diện có nhiều lực Fi đặt lệch tâm tại điểm tương ứng Ci (xCi, yCi),

thì giá trị lực F và điểm đặt C được tính theo kết quả của hợp lực

F Fi

(4.83)

C

x Fi xC

Fi

y Fi yC

C

Fi

(4.84)

4.5.3.2. Biểu thức ứng suất trên tiết diện

Với các ứng lực theo (4.80), (4.81) ứng suất pháp trên tiết diện sẽ là:

N M x y M y x F FyC FxC y

(4.85)

A Ix I y A Ix I y

Suy ra: F

yC y xC x 

A 1 r 2 r 2 

x y 

Trong đó rx, ry là các bán kính quán tính của tiết diện:

Ix

A

I y

A

rx ; ry 

Ix

A

bh3

12bh

I y

A

hb3

12bh

* Với tiết diện hình chữ nhật b h:

rx 

h

; ry 

b

12

12

* Với tiết diện hình tròn rỗng có đường kính ngoài D và đường kính trong d:

Ix A

D4 14 

64D212

D

4

12

rx 

Trong đó ký hiệu:

d

D

Bán kính quán tính của tiết diện các thép hình được tìm ở bảng tra theo số hiệu thép.

Qua biểu thức tính ứng suất (4.85), ta có những nhận xét sau:

+ Bài toán kéo (nén) lệch tâm có thể tính theo trường hợp kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời và ngược lại bài toán kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời cũng có thể tính theo bài toán kéo (nén) lệch tâm. Trong trường hợp sau, lực và điểm đặt sẽ được tính theo công thức:

F N ; (4.86)

x M y ;

C N

y M x

C N

+ Định luật tác dụng tương hỗ: Ứng suất pháp tại điểm A do lực F đặt tại điểm C gây ra cũng bằng ứng suất pháp tại điểm C do lực F đặt tại điểm A gây ra.

+ Ứng suất pháp tại trọng tâm tiết diện do lực nén lệch tâm F gây ra không phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực và luôn bằng N/A.

4.5.3.3. Đường trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm

Phương trình đường trung hoà tìm theo điều kiện = 0; ta có:

1yC y xC x  0

r2 r2

Nếu đặt:

a r2

y

xC

x y

2

b rx

yC

(4.87)

Phương trình đường trung hoà sẽ có dạng:

xy 1

a b

(4.88)

Hai thông số a và b là hoành độ và tung độ của giao điểm của đường trung hoà

C

b

a

y

với trục hoành và với trục tung như chỉ trên hình 4.56

x

Hình 4.56

Từ biểu thức (4.87) của a và b ta dễ dàng nhận thấy, ngoài những tính chất chung, đường trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm còn có đặc điểm riêng sau:

1- Đường trung hoà không phụ thuộc giá trị của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đặt tải trọng, đường trng hoà và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong góc phần tư đối đỉnh của hệ trục toạ độ.

2- Điểm đặt lực nằm trên trục x thì đường trung hoà nằm song song trục y và ngược lại.

3- Khi điểm đặt di chuyển theo một đường thẳng thì đường trung hoà sẽ xoay quanh một điểm trên tiết diện.

Ví dụ 4.14

Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên trục

y. Ứng suất tại điểm A bằng 200 N/cm2, tại B bằng không.

Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và ứng suất lớn nhất trên cột.

Bài giải

Ta có: PD  PO và Mx = -P.yD

Khi đó: 

P P.yD  200

(N / cm2 )

(1)

A

F Wx

P P.yD .y

 0 (N / cm2 ) (2)

Hình 4.57

x

B F I B

I 40440

Từ (2) 

yD x

F.yB

402.10.12  3

(cm)

Từ (1) 

P F.Wx .A 

402.403.200

 32.104

(N )

yD .F Wx



 40 2 403 

Ứng suất nén lớn nhất ở cột:

6



.40 

3 6 



P P.yD

4 4

 32.10  32.10 .40 / 3 2

min C F W

402

403

600 (N / cm )

x

6

4.5.4. Xoắn và uốn đồng thời

4.5.1.1. Định nghĩa

Thanh chịu uốn đồng thời xoắn là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có các thành

A

Mu u

phần nội lực là mô men uốn Mx , M y và mô men xoắn M z . z

Bài toán này thường gặp trong các chi tiết máy. Ví dụ như một trục truyền lực không phải chỉ chịu tác dụng mô men xoắn mà còn chịu tác dụng của mô men uốn do trọng lượng bản thân trục và trọng lượng của các chi tiết lắp trên trục.

4.5.4.2. Biểu thức ứng suất trên tiết diện thanh có mặt cắt tròn

Hợp hai mô men uốn Mx và My ta được mô men uốn Mu:

M 2 M 2

x y

Mu 

Mz

B

y

Hình 4.58

Mô men uốn Mu cũng nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm nên hai

điểm có ứng suất pháp max ,min

là giao điểm của mặt phẳng tải trọng với chu vi mặt cắt

ngang (hình 4.61). Trị số của các ứng suất này:

M 2M 2

x

y

M

A B u(4.89)

max min

Wu Wu

trong đó Wu là mô men chống uốn của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà u.

Vì mặt cắt ngang là hình tròn nên:

Wu Wx Wy

Ứng suất tiếp lớn nhất do mô men xoắn gây ra ở các điểm thuộc chu vi của mặt cắt. Nó được tính theo công thức:

M z

(4.90)

W

max

p

Vậy tại các điểm A và B ngoài ứng suất pháp cực trị còn có ứng suất tiếp lớn nhất.

Do đó, trạng thái ứng suất tại các điểm này là trạng thái ứng suất phẳng (hình 4.59).

min

max

max

B

max

A

Hình 4.59

4.5.4.3. Điều kiện bền

Điều kiện bền của các phân tố đó được viết theo các thuyết bền như sau:

2 42

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

td 



2

Mu

M2

W 2 W 2



4z

x

p

Thay (4.89) và (4.90) vào ta có:

td 



1

W

M 2M 2M 2

x

y z

x

Vì mặt cắt ngang là hình tròn nên Wp  2Wu  2Wx

nên:

td 



(4.91)

Hay viết gọn lại:

td

Mtd

M 2 M 2 M 2

x

y z

Wx



(4.92)

Trong đó:

Mtd 

2 32

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất:

td 



1

W

M 2M 23M 2

x

y

x

4

z

Thay (4.89) và (4.90) vào ta có:

td 



(4.93)

Hay viết gọn lại:

td

Mtd

M 2M 23M 2

x

y

4

z

Wx



(4.94)

Trong đó:

M td 

2  42

Nếu vật liệu giòn, ta sử dụng thuyết bền Mo. Khi đó điều kiện bền là:

td

112 2



Thay (4.89) và (4.90) vào ta có:

M 2M 2

x

y

 11

1

M 2 M 2 M 2 

td

Trong đó:

Wx 

2 2

0



n

k

0

x y z 

0 0

k ,n là ứng suất nguy hiểm khi kéo và ứng suất nguy hiểm khi nén.

Ví dụ 4.15: Một trục truyền bằng thép chịu lực như trên hình 4.60.

Trọng lượng Puli G = 3kN, công suất và số vòng quay của môtơ là: W = 50kW, n = 500vg/ph.

Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng biết

 12kN / cm2 .