Phương Pháp Mặt Cặt Biến Thiên- Các Thành Phần Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang

(hình 4.1c).

Thanh là vật thể chủ yếu được nghiên cứu trong Sức bền vật liệu.

Ta biểu diễn thanh bởi đường trục của thanh kèm theo hình vẽ mặt cắt ngang. (Hình 4.2).

Hình 4.2

4.1.2. Nội lực- Ứng suất

Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có một hình dáng nhất định. Khi có ngoại lực tác dụng, lực liên kết đó sẽ tăng lên để chống lại biến dạng do ngoại lực gây ra. Độ tăng lực liên kết được gọi là nội lực.

P6

P

C

5

P

P6 

1

F

P5 P2

A B

C P

P4 P4

P3

Hình 4.3

a)

Giả sử có một vật thể đàn hồi chịu lực như

hình 4.3. Để tìm nội lực tại một điểm C nào đó trong vật thể ta dùng phương pháp mặt cắt như sau:

Hình 4.4

0

z

x





zx

zy



p

z

y

z

y

zy

zy zx





xy

yx

yz

y

y

xy

x

x

xz

Tưởng tượng dùng một mặt cắt (P) đi qua điểm C cắt vật thể thành hai phần A và B. Khảo sát sự cân bằng của một phần, giả sử phần A. Sở

dĩ phần A được cân bằng trong toàn vật thể vì nó b) có hệ nội lực của phần B tác dụng lên A qua mặt

cắt (P) cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên phần A. Hệ nội lực đó phân bố trên toàn bộ diện tích mặt cắt.

Xung quanh C trên mặt cắt thuộc A lấy diện tích F. Hợp lực của nội lực tác dụng lên F



p

được biểu diễn bởi

tb

p (hình 4.4). Lập tỷ số:

F

(4.1)

𝑝⃗𝑡𝑏 được gọi là ứng suất trung bình tại C. Cho F0 với điều kiện luôn bao quanh điểm C, 𝑝⃗𝑡𝑏 tiến tới giới hạn là 𝑝⃗ , 𝑝⃗ được gọi là ứng sất tại C.

p lim p

F  0 F

(4.2)

Ứng suất có thứ nguyên: [ Lực/(chiều dài)2] .

Phân tích p thành hai thành phần: thành phần theo phương pháp tuyến với mặt cắt gọi là ứng suất pháp – ký hiệu là ; thành phần nằm trên mặt cắt gọi là ứng suất tiếp – ký hiệu là (hình 4.5a).

Ta có quan hệ giữa các thành phần ứng suất

p2 2 2

p,,

như sau:

(4.3)

Trên mặt cắt dựng một hệ trục toạ độ 0xyz với trục 0z vuông góc với mặt cắt, trục 0x và 0y nằm trong mặt cắt. Phân tích p ra các thành phần theo phương của các trục toạ độ là:

z – là thành phần của

P theo phương trục 0z gọi là ứng suất pháp.

zx - là thành phần của P theo phương trục 0x và zy – là thành phần của P

theo phương trục 0y. Hai thành phần zx, zy được gọi là ứng suất tiếp.

Mỗi thành phần ứng suất tiếp đều có hai chỉ số: chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ chiều của ứng suất tiếp. Về trị số ta có quan hệ sau:

p2 = 2z + 2zx + 2zy (4.4)

Để biểu diễn ứng suất tại một điểm, người ta tách tại điểm đó một phân tố hình hộp có các mặt song song với các mặt toạ độ. Trên các mặt của phân tố có biểu diễn các thành phần ứng suất tác dụng (hình 4.5b). Thành phần ứng suất pháp sẽ gây ra biến dạng dài của phân tố còn thành phần ứng suất tiếp thì gây ra biến dạng góc của phân tố.

4.1.3. Phương pháp mặt cặt biến thiên- các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang

Xét sự cân bằng của phần bên phải, hợp lực của hệ lực đặc trưng cho tác dụng của phần trái lên phần phải được biểu diễn bằng véctơ R đặt tại một điểm K nào đó (Hình 4.6). Thu gọn hợp lực R về trọng tâm O của mặt cắt ngang, ta sẽ được lực R và mô men M (Véctơ chính và mô men chính của hệ nội lực). Nói chung, lực R và mô men M có phương chiều bất kỳ trong không gian. Để thuận lợi ta phân tích R thành 3

phần trên hệ trục toạ độ vuông góc chọn như hình 4.7.

+ Nz, theo phương trục z ( ⊥ mặt cắt ngang) gọi là lực dọc

+ Qx theo phương trục x (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt.

+ Qy theo phương trục y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. Mômen M cũng được phân ra ba thành phần :

+ Mômen Mx quay quanh trục x gọi là mômen uốn .

+ Mômen My quay quanh trục y gọi là mômen uốn .

+ Mômen Mz quay quanh trục z gọi là mômen xoắn.

Hình 4.6

Hình 4.7

Có thể bạn quan tâm!

• Biểu Thức Của Mômen Động Lượng Của Vật Rắn Quay
• Biểu Thức Động Năng Của Vật Rắn Chuyển Động
• Vật Quay Xung Quanh Một Trục Cố Định Với Vận Tốc 
• Chọn Kích Thước Mặt Cắt . Nếu Biết Lực Dọc Và Ứng Suất Cho Phép Từ (4.25) Đễ Dàng Suy Ra Diện Tích Mặt Cắt Ngang:
• Quan Hệ Giữa Nội Lực Và Cường Độ Tải Trọng Phân Bố.
• Ứng Suất Pháp Của Dầm Chịu Uốn Ngang Phẳng

Xem toàn bộ 180 trang tài liệu này.

Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang. Chúng được xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét dưới dạng các phương trình:

n

Nz Piz  0;

i 1

n

Qx Pix  0;

i 1

n

Qy Piy  0

i 1

n n n 

M xmx(Pi)  0;

i 1

M ymy(Pi)  0;

i 1

M zmz(Pi)  0;

i 1

Cũng như ứng suất, nội lực tại một mặt cắt ngang bất kỳ trên phần trái sẽ có cùng trị số, cùng phương nhưng ngược chiều với nội lực tương ứng cũng tại mặt cắt đó trên phần phải. Như vậy để xác định nội lực tại một mặt cắt ngang bất kỳ, chúng ta có thể xét phần trái hoặc phần phải, tuỳ theo phần nào đơn giản hơn.

4.1.4. Quan hệ giữa ứng suất và các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang

Nói chung, tại mỗi điểm trên mặt cắt vuông góc với trục z của thanh chịu lực sẽ có đủ cả ba thành phần ứng suất: z ,zx ,zy .

Lấy vi phân diện tích dF bao quanh điểm C có toạ độ (x,y), trên dF có các thành

phần lực là: sau:

z .dF,zx .dF,zy .dF . Khi đó các thành phần nội lực được xác định như

N z z dF

F

Qx zx dF

F

(4.5)

(4.6)

Qx zy dF

F

M x yz dF

F

M y xz dF

F

M z ( yzx xzy )dF

F

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Trường hợp tất cả các ngoại lực đều cùng nằm trong một mặt phẳng đi qua trục z, ví dụ mặt z0y thì các thành phần nội lực cũng phải nằm trong mặt phẳng ấy, như vậy ta chỉ có 3 thành phần nội lực là Nz, Mx, Qy.

Lực dọc Nz là dương khi nó có chiều đi ra khỏi mặt cắt.

Lực cắt Qy là dương khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ góc 900 thì chiều của pháp tuyến ngoài trùng với chiều của Qy.

Mômen uốn Mx là dương khi nó làm căng các thớ phía dưới.

4.1.5. Biến dạng

Hình 4.8

Biến dạng dài: Xét một đoạn thẳng vi phân dz tại điểm C. Sau khi biến dạng, đoạn vi phân dz này dài ra đoạn dz + dz. Ta gọi dz là độ dãn dài tuyệt đối của đoạn dz (Hình 4.9). Tỉ số dz/dz gọi là độ dãn dài tỉ đối, ký hiệu z có một chỉ số chỉ phương biến dạng.

Biến dạng góc (biến dạng trượt): Giả sử trong mặt phẳng Oxy, ta lấy hai đoạn thẳng vi phân dx và dy vuông góc tại C (Hình 4.10). Sau khi biến dạng dx và dy trở thành dx’ và dy’. Hình chiếu của dx’ và dy’ trên mặt phẳng Oxy không vuông góc với nhau nữa mà hợp với nhau một góc bằng (π/2 – γxy). Ta gọi γxy là biến dạng góc trong mặt phẳng xy tại điểm C. Ký hiệu độ biến dạng góc là γ kèm theo hai chỉ số chỉ mặt phẳng xét biến dạng góc.

dz

C	dx	A
dy		C' A'
B /2 - xy B'

x

dz+dz

y

Hình 4.9 Hình 4.10

4.1.6. Các giả thiết cơ bản về vật liệu

4.1.6.1. Tính đàn hồi của vật thể

Dưới tác dụng của ngoại lực, vật thể bị biến dạng nghĩa là vật thể không còn hình dạng ban đầu nữa. Thí nghiệm cho thấy: nếu lực tác dụng chưa vượt quá một giới hạn nào đó thì khi bỏ lực tác dụng vật thể sẽ trở về hình dạng và kích thước ban đầu. Tính chất đó được gọi là tính đàn hồi.

Nếu sau khi bỏ lực tác dụng, vật thể có khả năng khôi phục lại hoàn toàn hình dạng và kích thước ban đầu thì gọi đó là tính đàn hồi tuyệt đối.

Nếu sau khi bỏ lực tác dụng, vật thể chỉ khôi phục lại một phần hình dạng và kích thước ban đầu thì gọi đó là tính đàn hồi không tuyệt đối.

Vật thể có tính đàn hồi gọi là vật thể đàn hồi. Biến dạng của vật thể tương ứng với giai đoạn đàn hồi gọi là biến dạng đàn hồi.

Tính đàn hồi của vật thể tuỳ thuộc vào lực tác dụng. Nếu lực tác dụng chưa vượt qua một giới hạn nào đó thì tính chất biến dạng của vật thể là biến dạng đàn hồi và có thể xem là đàn hồi tuyệt đối. Nhưng khi lực tác dụng vượt qua giới hạn nào đó, thì vật thể chỉ đủ sức khôi phục lại một phần vật thể bị biến dạng, còn một phần biến dạng không khôi phục được gọi là biến dạng dư.

4.1.6.2. Các giả thuyết cơ bản về vật liệu

1. Vật liệu có cấu tạo vật chất liên tục, đồng nhất và đẳng hướng.

Liên tục tức là vật liệu được chất đầy trong toàn bộ không gian được giới hạn bởi vật thể tức là vật thể không có lỗ rỗng.

Đồng nhất tức là tính chất cơ học của vật liệu ở mọi điểm trong vật thể đều giống nhau.

Đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ - lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau.

2. Biến dạng của vật thể là đàn hồi tuyệt đối và có trị số bé

Biến dạng được coi là bé khi các trị số biến dạng tỷ đối ,  nhỏ thua rất nhiều so với đơn vị, chúng là các đại lượng vô cùng bé , <<1. Trong biểu thức chứa biến dạng ta có thể bỏ qua tích của các biến dạng là những vô cùng bé bậc cao.

3. Vật liệu tuân theo định luật Hooke

Biến dạng của vật thể tỷ lệ thuận với lực tác động, quan hệ giữa biến dạng và nội lực là quan hệ bậc nhất thuần nhất.

4.2. KÉO- NÉN ĐÚNG TÂM

4.2.1. Khái niệm

Một thanh được gọi là kéo hoặc nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại một thành phần lực dọc Nz.

Ví dụ: Khi tác dụng vào các đầu thanh hai lực ngược chiều có phương trùng với trục thanh và có trị số bằng nhau thì ta sẽ được thanh chịu kéo (hình 4.11a) hoặc chịu nén đúng tâm (hình 4.11b).

P

P

P

P

a) b)

Hình 4.11

Trong thực tế, ta thường gặp những trường hợp chịu kéo hay nén đúng tâm như trường hợp dây cáp cần trục, trường hợp chịu lực của bu lông khi xiết chặt đai ốc, ống khói chịu nén do trọng lượng bản thân, thanh truyền (tay biên).

4.2.2. Nội lực và biểu đồ nội lực

Nội lực trên mặt cắt của thanh là lực dọc: Nz

Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của lực dọc theo trục của thanh. (Vẽ theo phương pháp mặt cắt biến thiên)

Quy ước dấu:

- Lực dọc dương khi thanh chịu kéo.

- Lực dọc âm khi thanh chịu nén.

Ví dụ 4.1: Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực như (hình 4.12a)

Bài giải:

1. Xác định phản lực tại C: P1 - P2 - Pc = 0

 Pc = P1 - P2 = 20 kN, có chiều như hình vẽ.

2. Vẽ biểu đồ:

+ Xét đoạn AB: (hình 4.12b) (0 < z < 2a) Chiếu xuống trục z, ta có:

Fz NZ1 P1 0

Nz  P1  40kN  0

1

+ Đoạn BC: (hình 4.12c), ( 2a z2  3a ) Xét cân bằng của phần phải, ta được:

Z

2

Fz Nz2 P2 P1 0

Suy ra:

N  P1  P2  40  60 20kN  0 - lực nén.

Tương tự ta có thể xét các mặt cắt từ phần trái, chọn gốc toạ độ tại C (hình 4.12d). Kết quả thu được cũng giống như trên. Biểu đồ nội lực như trên hình 4.12e.

Hình 4.12

4.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Để thiết lập công thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo - nén đúng tâm trước hết ta tiến hành thí nghiệm để quan sát sự biến dạng của thanh.

4.2.3.1. Thí nghiệm

Xét thanh chịu kéo đúng tâm như hình 4.11b giả thiết mặt cắt ngang của thanh là hình chữ nhật.

Trước khi cho thanh chịu kéo ta vạch lên mặt ngoài của thanh những đường thẳng song song và vuông góc với trục thanh tạo thành lưới ô vuông như hình 4.13a. Những đường thẳng song song với trục biểu thị thớ dọc, những đường thẳng vuông góc với trục biểu thị các mặt cắt ngang. Sau biến dạng ta thấy những đường thẳng đó vẫn song song và vuông góc với trục thanh, nhưng những ô vuông đều trở thành ô chữ nhật (hình 4.13b).

a) b)

Hình 4.13

4.2.3.2. Các giả thuyết

Từ nhận xét đó ta đề ra các giả thuyết sau đây:

- Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.

- Giả thuyết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy nhau.

Ngoài hai giả thiết trên, ta vẫn xem vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi (tuân theo định luật Húc), nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất.

4.2.3.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Từ thí nghiệm trên, đồng thời dựa vào hai giả thuyết trên ta có thể khẳng định: trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo hay nén đúng tâm chỉ tồn tại một thành phần ứng suất pháp z.

Z

Z

dp

z

a)

b)

z

z

Y

Hình 4.14

Thật vậy, hãy xét ứng suất trên mặt cắt ngang nào đó. Trên mặt cắt đó, lập một hệ trục toạ độ Oxyz (hình 4.14a). Gọi A là một điểm trên mặt cắt, tách tại A một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt toạ độ (hình 4.14b). Theo nhận xét từ thí nghiệm, mặt cắt ngang vẫn vuông góc với trục thanh nên các góc vuông của phân tố không đổi. Mặt khác, các ô vuông trở thành

ô chữ nhật nên phân tố có biến dạng dài mà 2

Nz

Nz

dz

dz dz

không có biến dạng góc. Từ đó, ta đi đến kết luận là trên các mặt cắt của phân tố chỉ có ứng suất pháp. Với giả thuyết các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy nhau cho phép ta kết luận là trên các mặt cắt song song với trục thanh không có ứng suất.

1 1'

Xác định công thức tính z. Ta có: z.dF = Nz (4.11)

Để thực hiện tích phân (3.1) ta phải

2 1 1'

Hình 4.15

tìm quy luật biến thiên của z. Ta xét thêm điều kiện biến dạng của thanh.

Tưởng tượng tách một đoạn thanh có chiều dài là dz bằng mặt cắt 1-1 và 2-2