Các Trạng Thái Lượng Tử Hữu Hạn Chiều

tiến đến 0, lúc đó cường độ trung bình:

I t

E t 2

N

Có thể bạn quan tâm!

• Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr - 1
• Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr - 2
• Lý Thuyết Cơ Sở Của Quá Trình Ngẫu Nhiên Và Mô Hình Kéo Lượng Tử Phi Tuyến
• Trạng Thái Lượng Tử Của Qubit Ứng Với Các Điểm Trên Mặt Cầu Bloch
• Kéo Lượng Tử Phi Tuyến Dựa Trên Các Dao Động Tử Phi Tuyến Kerr
• Bộ Nối Phi Tuyến Tương Tác Tuyến Tính Được Bơm Một Mode

Xem toàn bộ 144 trang tài liệu này.

Em

m1

2 , (1.12)

là hằng số. Ta sẽ có tiệm cận [64]:

0

J ' z

z, (1.13)

và khi biên độ

J 0zz0 2

Em  0 , ta thu được kết quả sau:

Z J t , J t e . (1.14)

* J t E* t E t J * t dtdt'

t

Để tính được hàm tương quan

E* t E t '

khi không biết được dạng

tường minh của nó, cần phải biết sự liên hệ giữa Em

b t t '

quan thường được giả thiết dưới dạng [65]:

và m . Do đó, hàm tương

E* tE t'

I0e . (1.15)

Khi đó ta có thể kết luận rằng ở giới hạn vô cùng của số mode, ánh sáng laser N

mode có tính chất thống kê tương tự quá trình bức xạ nhiệt.

1.2. Lý thuyết nhiễu trắng

Xét tổng có dạng như sau:

1 2

nt t 

t  ... n

t 

, (1.16)

trong đó mỗi

k t 

(k = 1, 2,... n) là một nhiễu điện tín độc lập. Dễ nhận thấy

rằng hàm đặc trưng cho quá trình (1.16) sẽ được thừa số hóa, nghĩa là

ZnZn.

t t

Khi đó, ta có thể viết phương trình vi tích phân cho phiếm hàm đặc trưng của

nhiễu điện tín Zt

[66] như sau:

ln Z n t Z

0



t 2 J t 

t

et s/J ssds , (1.17)

0 Zt

với 0

là hằng số cho trước, là thời gian tương quan. Khi

n , ta thu được

Zt

t

 0 , do đó

Zt  1,

t

ln Z 2 J t et s/J sds . (1.18)

0

t t 0 

Nghiệm của phương trình (1.18) có dạng:

1 t t

, (1.19)

Zt exp 2ds1Js1s1,s2Js2ds2

trong đó

0 0 

s , s s s 2es1 s2 /. (1.20)

1 2 1 2 0

Nếu quá trình có phiếm hàm đặc trưng dạng (1.19) là một quá trình Gauss thì quá trình (1.16) hội tụ về quá trình Gauss. Xét trường hợp giới hạn, xuất phát từ các đặc tính Markov và tính chất dừng của nhiễu điện tín, ta có thể kết luận rằng quá trình này cũng là quá trình Markov dừng. Theo định lý Doob, quá trình (1.16) gọi là nhiễu tiền Gauss vì nó chính là quá trình Ornstein-Uhlenbeck [54].

Trường hợp khi thời gian tương quan

 0

thì nhiễu Gauss trong biểu

thức (1.19) sẽ trở thành nhiễu trắng. Như vậy, nhiễu trắng là nhiễu Gauss với

thời gian tương quan bằng không. Nhiễu trắng (t) có tính chất sau:

(t)(t' )  2l(t t' ) . (1.21)

Bây giờ, ta sẽ xem xét trường hợp tuyến tính đơn giản nhất có dạng như sau:

G1it G2, (1.22)

ở đây là một véctơ, (t) là quá trình Ornstein-Uhlenbeck. Phương trình (1.22)

không thể giải được bằng giải tích khi các hàm bất kỳ phụ thuộc thời gian G1 và

G2 không thỏa mãn các quy tắc giao hoán. Để khắc phục vấn đề này, ta sẽ sử

dụng phương pháp đại số Lie. Một thủ tục gần đúng đối xứng được biểu diễn theo phương pháp cumulant đã được phát triển bởi Fox [67]. Qua khai triển, ta thu được giá trị trung bình của phương trình vi phân sau:

dt G O t 2O t  ...t , (1.23)

dt 1 1 2

trong đó mỗi số hạng cumulant

i t

(i = 1, 2,...) có bậc i. Khai triển (1.23)

theo một số hữu hạn các số hạng có ưu điểm là không cần những giả thiết giới

hạn của quá trình (t) . Ở đây, điều kiện chỉ là tồn tại thời gian tương quan nhỏ, tuy nhiên phương pháp này có phạm vi ứng dụng rất hạn chế. Vì vậy, ta có thể chuyển bài toán trung bình bất kỳ thành hệ ma trận vô hạn của các phương trình

vi phân thường nếu giả sử

(t)

là quá trình Markov [68], khi đó các phương

trình có thể giải bằng phương pháp phân số chuỗi. Dạng nghiệm của phương

trình cho đại lượng trung bình

t

có dạng sau:

d t



, (1.24)

dt G1 t dsO t s s  0

0

trong đó biến đổi Laplace của phần chính O(t) có dạng ma trận phân số chuỗi.

Chẳng hạn, ta xét quá trình Ornstein-Uhlenbeck [54]:

O xG2

2



0

1

22

G2 . (1.25)

G1 G2 20 G2

G1  ...

Khi đó, quá trình điện tín thỏa mãn phương trình vi phân có dạng như sau:

d t G 1 t G t dGt

, (1.26)

dt k t k t k dt

ở đây Gt

là hàm phụ thuộc thời gian bất kỳ của

k (t) . Áp dụng đẳng thức này

nhiều lần cho phương trình sau:

d G in t G

, (1.27)

dt 1 2

sử dụng đồng thời các tính chất của quá trình điện tín 2 l2 2 / n 

/ n,

k 0 0 L

0 L

trong đó 2  /, ta nhận được hệ thức truy hồi có dạng:

d j G

ij L G

i n j G

, (1.28)

dt j

1 j n2

j 1 2

j 1



với

j  0,1,...,n

và:

j t

1t2t...jtt

. (1.29)

Nghiệm của phương trình (1.22) là véctơ

0t

t

với:

O G2

1 G 2

L / 

L n 1G G

G2 . (1.30)

2

1 n

2 2

G  ...

1

Có thể thấy rằng các công thức (1.25) và (1.30) khác nhau các thừa số

dạng

n j n

nhưng giữa hai kết quả có sự tương đồng với nhau. Khi N các

thừa số này sẽ xấp xỉ phần tử đơn vị và lúc đó nhiễu tiền Gauss sẽ hội tụ đến quá trình Ornstein-Uhlenbeck. Từ đó, ta thấy rằng chỉ cần một vài số hạng đầu tiên của phân số chuỗi cũng đủ để nó hội tụ nhanh đến quá trình Ornstein- Uhlenbeck. Vì vậy, đối với bài toán tuyến tính này, quá trình chỉ cần một vài nhiễu điện tín cũng có thể gần đúng rất tốt với quá trình Ornstein-Uhlenbeck.

Áp dụng quá trình (1.30) đối với nhiễu một điện tín, ta thu được:

O G

L / 

G . (1.31)

2

1 G 2

1

Thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình (1.24), ta thu được kết quả:

Từ đó tìm được:

G1 O0.

(1.32)



G1 

1

G2 

l 2

0

G2

G1 1

0. (1.33)

Sử dụng tính chất (1.21), khi thời gian tương quan  0 thì nhiễu điện tín sẽ trở

0

thành nhiễu trắng và với

l2const , ta tìm được:



1

G 

0. (1.34)

G 2

1 2

2

Khi đó, ta sẽ tìm được kết quả rất quan trọng trong lý thuyết của quá trình ngẫu nhiên có dạng như sau:

dt 

dt

G1

G 2 t 

. (1.35)

Ta tổng quát hóa phương trình (1.22) cho quá trình ngẫu nhiên phức và thu được

phương trình:



dN dt a 0

tNa1

a 2

* t N

, (1.36)

ở đây

Na 0 ,

Na1 ,

Na 2

là các ma trận hằng. Theo công trình [66], ta tìm được

phương trình trung bình có dạng sau:



d N dt 

a0 N

a02

a1Na 2

Na 2







Na1



, (1.37)

trong đó, a0 là tham số liên quan đến thành phần nhiễu.

1.3. Các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều

1.3.1. Trạng thái n-photon

Các trạng thái hữu hạn chiều sẽ được mô tả bắt đầu từ trường hợp đơn giản nhất của các trạng thái Fock n-photon của trường điện từ. Những trạng thái này có dạng toán học giống các trạng thái mô tả dao động tử điều hòa lượng tử. Chúng đã được nghiên cứu mở rộng trong các tài liệu [69, 70] và được mô tả như các trạng thái riêng của toán tử số photon nˆ được định nghĩa bằng các toán

tử sinh và hủy photon (là các hạt boson) lần lượt là

aˆ

và aˆ

nˆ aˆaˆ , (1.38)

và có thể được biểu diễn như sau:

nˆ n

n n

. (1.39)

sau:

Các toán tử aˆ và

aˆ

tác dụng lên các trạng thái Fock n-photon n như

aˆ 0  0,

aˆn

aˆn 

n n ,

n  1 n  1 .

(1.40)

Vì thế, bằng cách tác dụng lần lượt toán tử sinh

aˆ

lên trạng thái chân không

0, ta có thể thu được trạng thái nđược biểu diễn bởi công thức có dạng sau:

aˆn

n

n!

. (1.41)

Trạng thái Fock đa mode có thể được định nghĩa bằng cách sử dụng các toán tử riêng tương ứng với các mode khác nhau của trường. Chẳng hạn, các

biểu thức của các toán tử hủy và sinh tương ứng là

aˆkvà

aˆ

được định nghĩa

k

cho mode thứ k tác dụng lên các trạng thái l-mode có dạng sau [69, 70]:

aˆkn1, n2,..., nk,...nl

nk n1, n2,..., nk  1,...nl,

(1.42)

aˆn , n ,..., n ,...n n  1 n , n ,..., n  1,...n ,

k 1 2 k l k 1 2 k l

ở đây trạng thái l-mode có thể được kí hiệu:

hay

n1, n2,..., nl

n1

n2 ...nl

, (1.43)

n , n ,..., n n , (1.44)

1 2 l j

j

trong đó n kí hiệu tập hợp số photon trong mỗi mode.

Khi đó, biểu thức của trạng thái chân không đa mode có thể được trình bày lại dưới dạng:

0

 01,02 ,...,0l

, (1.45)

trong khi từ trạng thái chân không tương ứng, ta có thể thu được mỗi trạng thái

l-mode ứng với số photon đã cho trong mỗi mode:

n 

aˆnj

0

. (1.46)

j

j

n !



j k

1.3.2. Trạng thái kết hợp hữu hạn chiều

Ánh sáng kết hợp có thể được xem là ranh giới giữa ánh sáng cổ điển và phi cổ điển bởi vì trạng thái kết hợp tuy là trạng thái cổ điển nhưng các tính chất của nó đều nằm ở giới hạn cuối cùng còn có thể chấp nhận được theo quan điểm cổ điển. Chúng có thể được định nghĩa như trạng thái riêng của toán tử hủy photon aˆ

aˆ p

p p

, (1.47)

ở đây p là số phức liên quan với cường độ trường cổ điển. Chẳng hạn, giá trị p 2

bằng số photon trung bình nˆtrong điện trường được mô tả bởi các trạng thái

p .

Trong cơ sở các trạng thái Fock, trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn dưới dạng sau [71, 72]:

p 2 pn

p  exp n , (1.48)

2 n0 n!



khi đó, xác suất quan sát n photon được biểu diễn bởi biểu thức:

P n p

2  exp p 2 

p 2n

 exp 

nˆ nˆ



n

. (1.49)

n n! n!

Phân bố xác suất này chính là phân bố Poisson cho trường hợp

nˆ 

p 2 . Các

trạng thái kết hợp nói chung là không trực giao với nhau, có nghĩa là:

2 2

q p  exp q p , (1.50)

tuy nhiên từ biểu thức (1.50), chúng ta thấy rằng với những giá trị lớn của p 

thì những trạng thái này gần như trực giao với nhau.

Trạng thái kết hợp có thể được mô tả tương tự sự dịch chuyển của trạng thái chân không do sự thăng giáng của chúng tương tự nhau. Tính chất này đã được ứng dụng trong định nghĩa trạng thái kết hợp của Glauber [72] và được biểu diễn bởi công thức có dạng như sau:

p Dˆ ( p, p*) 0 , (1.51)

trong đó toán tử dịch chuyển

Dˆ(,*)

được biểu diễn dưới dạng:

Dˆ( p, q*) epaˆp*aˆ . (1.52)

Theo cách đó, các nhà khoa học đã đề xuất một định nghĩa tương tự của Glauber để xây dựng các trạng thái kết hợp hữu hạn chiều, nhưng họ đã sử dụng định nghĩa các toán tử sinh và hủy trong không gian Hilbert hữu hạn chiều [73, 74]. Theo Buzek và các cộng sự [73], trong không gian Hilbert s chiều, các toán tử

sinh



aˆ

s 

và hủy

aˆs có thể được biểu diễn lại theo các toán tử chiếu dưới dạng:

s

aˆ



s 

n n

n 1

n 1 ,

(1.53)

s

aˆs 

n 1

n n 1 n ,

trong đó trạng thái số nđược định nghĩa cho dao động tử điều hòa trong không gian s + 1 chiều và tuân theo các hệ thức sau:

n mn,m ,

s

n n

n 0

Iˆ,

(1.54)

và các toán tử

aˆ



s 

và aˆs tác dụng vào các trạng thái n-photon được xác định bởi

các quan hệ sau:

aˆn n  1 n  1 , aˆs  0,

s s 

(1.55)

aˆs n

n n 1 ,

aˆs 0

 0.

Cần lưu ý rằng quan hệ giao hoán cho các toán tử được xác định như vậy có dạng:

s s 

aˆ

, aˆ 1s 1s s ,

(1.56)

trong khi toán tử số

nˆs được cho bởi công thức sau:

s

nˆs n n

n 1

n . (1.57)

Theo Buzek và các cộng sự [73], các chỉ số được sử dụng trong tổng của các định nghĩa trên có giá trị thay đổi từ một chứ không phải từ không.

Ngoài ra, áp dụng sự mở rộng trạng thái kết hợp trong một cơ sở trạng thái số, Kuang và cộng sự [75] đã định nghĩa các trạng thái kết hợp tương tự như phương trình (1.48), nhưng với giới hạn trên của tổng hữu hạn có dạng:

~s ~pn

p s s 

n0

0, (1.58)

n!

ở đây hệ số chuẩn hóa s 

s

Ln xnhư sau:

có thể được biểu diễn bởi đa thức Laguerre suy rộng