Lý Thuyết Cơ Sở Của Quá Trình Ngẫu Nhiên Và Mô Hình Kéo Lượng Tử Phi Tuyến

4

Ở nước ta, nhóm tác giả Q. Ho Quang và cộng sự đã nghiên cứu về giao thoa kế Mach-Zehnder sợi quang phi tuyến [32]. Giao thoa kế này sử dụng bộ liên kết phi tuyến gồm một sợi quang tuyến tính và một sợi quang phi tuyến, nhằm làm giảm đi các mối nối, đồng bộ trong cấu hình và nâng cao hiệu suất, mà vẫn không làm ảnh hưởng đến chức năng của bộ liên kết. Ngoài ra, còn sử dụng bộ liên kết phi tuyến để phân loại dãy xung [33], trong đó sự phụ thuộc của hệ số truyền công suất đối với bộ liên kết phi tuyến vào cường độ ra đã được khảo sát. Nhóm của tác giả A. Nguyen Ba và các cộng sự đã có nhiều công trình nghiên cứu về các trạng thái phi cổ điển, viễn tải lượng tử và tính chất phản kết chùm. Trong đó, đã nghiên cứu trạng thái nén đối với các chuẩn hạt exciton [34], biexiton [35], trạng thái kết hợp bộ ba [36], nén tổng [37] và nén hiệu [38] trong trường đa mode, rối lượng tử của photon hai mode [39], trạng thái đan rối đa mode kiểu nhóm [40]. Viễn tải lượng tử đối với trạng thái đan rối là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode [41], đồng viễn tải trạng thái [42] đã được khảo sát. Tính chất phản kết chùm bậc cao [43].

Thế giới tự nhiên vi mô vô cùng phức tạp, vì vậy ta không thể nghiên cứu một cách trực tiếp mà phải mô hình hóa nó bởi các quá trình ngẫu nhiên cổ điển phụ thuộc thời gian. Hầu hết các mô hình ngẫu nhiên hiện tại, laser có một đặc điểm chung là một quá trình ngẫu nhiên dừng Gauss với thời gian tương quan hữu hạn. Việc lấy trung bình giải tích chính xác của các phương trình ngẫu nhiên dừng Gauss này là rất khó và chỉ trường hợp đơn giản của nhiễu trắng là thực hiện được [44], còn trong hầu hết các trường hợp các phương trình này được lấy trung bình bởi các phương pháp gần đúng khác nhau như phương pháp nhiễu tiền Gauss [45-48]. Những năm gần đây, sự ảnh hưởng của nhiễu trường laser đến các hiệu ứng tự ion hóa và trong suốt cảm ứng điện từ đã được tập trung nghiên cứu [49-52]. Những hiện tượng này bắt nguồn từ sự giao thoa lượng tử, đây là một trong những vấn đề mang tính thời sự cao và có những ứng dụng tiềm tàng cho các công nghệ lượng tử mới.

Các công trình nghiên cứu về bộ nối phi tuyến kiểu Kerr được đề cập ở trên hầu hết chỉ được khảo sát cho một điều kiện đầu đối với các phương trình vi phân chuyển động của các biên độ xác suất và trường laser được giả thiết là đơn sắc. Để thu được các kết quả toàn diện hơn cần khảo sát bài toán cho hầu hết các điều kiện đầu khác nhau của các phương trình chuyển động được đề cập. Hơn nữa, ánh sáng laser thực không bao giờ đơn sắc một cách lý tưởng mà luôn có sự thăng giáng về biên độ và pha. Vì vậy, cần phải nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ laser đến các thăng giáng lượng tử được hình thành trong các hệ bao gồm hai hệ con, nhằm phân tích tính khả thi của việc tạo ra các trạng thái có độ đan rối cực đại. Đây là những vấn đề được quan tâm nhiều do những ý nghĩa lý thuyết và thực nghiệm lớn lao. Tuy nhiên, những vấn đề này vẫn chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ. Với tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu, chúng tôi chọn “Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr” làm đề tài nghiên cứu của mình. Những nghiên cứu này là gần với các trạng thái vật lí thực, nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ laser lên các vấn đề được xem xét, tạo thêm những khả năng mới để điều khiển chúng.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu khả năng tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode hay hai mode bởi trường ngoài với các điều kiện đầu khác nhau của các mode trong trường hợp trường ngoài không có nhiễu hoặc có nhiễu trắng.

3. Nội dung nghiên cứu

Tìm các biên độ xác suất cho trường hợp các điều kiện đầu khác nhau đối với bộ nối phi tuyến kiểu Kerr tương tác tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode hay hai mode khi trường liên kết là đơn sắc hay được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên.

Khảo sát khả năng tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến khi trường liên kết là đơn sắc hay được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên.

4. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp kéo lượng tử để cắt không gian các trạng thái của hệ, thường là vô hạn chiều, thành không gian hữu hạn chiều.

Sử dụng phương pháp nhiễu trắng để tìm biểu thức giải tích chính xác của các biên độ xác suất và các trạng thái kiểu Bell.

5. Bố cục luận án

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận chung, luận án được trình bày trong 3 chương.

Chương 1. Lý thuyết cơ sở của quá trình ngẫu nhiên và mô hình kéo lượng tử phi tuyến

Trong chương này, chúng tôi trình bày lý thuyết cơ sở của quá trình ngẫu nhiên như các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser, lý thuyết nhiễu trắng. Trình bày các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều và mô hình kéo lượng tử phi tuyến để tạo ra tổ hợp các trạng thái cắt từ các trạng thái vô hạn chiều trong không gian Hilbert.

Chương 2. Các trạng thái đan rối hình thành trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu mô hình, nguyên lý hoạt động và ứng dụng của bộ nối phi tuyến kiểu Kerr. Chúng tôi dẫn ra được hệ phương trình chuyển động cho các biên độ xác suất, sau đó từ các điều kiện đầu để tìm nghiệm cho các trường hợp bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính hoặc phi tuyến được bơm một mode và hai mode. Từ đó, chúng tôi khảo sát xác suất tìm thấy hệ ở các trạng thái đan rối và trạng thái kiểu Bell với các tham số khác nhau.

Chương 3. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành trạng thái đan rối cực đại trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr

Trong chương này, chúng tôi dẫn ra nghiệm giải tích của các biên độ xác suất khi trường liên kết được mô hình hóa bởi nhiễu trắng. Từ đó, chúng tôi khảo sát sự thay đổi xác suất tìm thấy hệ ở các trạng thái kiểu Bell khi tham số liên quan đến thành phần nhiễu thay đổi.

Chương 1

LÝ THUYẾT CƠ SỞ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN

Trong ngành quang học, laser có vai trò rất quan trọng mang tính ứng dụng hàng đầu trong kỹ thuật và đời sống. Sở dĩ laser được ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực của đời sống là bởi nó có nhiều tính năng ưu việt như tính kết hợp cao, tính đơn sắc, cường độ lớn. Tuy nhiên, trong các thí nghiệm, laser thực không bao giờ là đơn sắc hoàn toàn như nó thường được giả định trong các mô hình lý thuyết mà có dao động cả về biên độ và pha. Những biến động lượng tử này là đối tượng của cả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm của cộng đồng các nhà vật lý trên thế giới vì chúng có những ứng dụng tiềm năng cho công nghệ lượng tử, đặc biệt là công nghệ thông tin lượng tử. Nếu nghiên cứu trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử tính toán sẽ phức tạp. Vì vậy, các trường laser thường được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên. Việc lấy trung bình một cách chính xác các phương trình ngẫu nhiên với xung Gauss có thời gian tương quan hữu hạn là rất khó. Trong thực tế chỉ có trường hợp đặc biệt của nhiễu trắng là được nghiên cứu đầy đủ. Trong trường hợp này việc mô hình hóa trường laser bằng quá trình ngẫu nhiên đã cho ta nhiều kết quả thú vị. Tiếp theo, chúng tôi sẽ xem xét các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều, chúng là nguồn tài nguyên của máy tính lượng tử và viễn tải lượng tử. Việc xử lý và viễn tải thông tin là một hiện tượng phi cổ điển do tính không định xứ của đan rối lượng tử. Với khát vọng tạo ra máy tính lượng tử và viễn tải lượng tử, việc sử dụng mô hình kéo lượng tử để tạo ra các trạng thái có độ đan rối cao là rất cần thiết và có ý nghĩa nền tảng.

1.1. Các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser

1.1.1. Thăng giáng biên độ và pha của laser đơn mode

Biên độ trường bức xạ của laser đơn mode có dạng như sau:

E t E0E t e , (1.1)

it 

trong đó E0 const

và các quá trình ngẫu nhiên Et và t độc lập với nhau.

Lý thuyết mô tả độ rộng phổ đồng nhất được trình bày trong Hình 1.1. Giả

sử tập hợp các toán tử bb1,b2,...,bl,...

được mô tả bởi hệ trong khuôn khổ lí

thuyết lượng tử. Chẳng hạn, b và btương ứng là toán tử hủy và toán tử sinh

photon trong trường bức xạ đơn mode bb,b

hay mô hình của nguyên tử

z

hai mức trong môi trường hoạt tính b,,với và 

là tổ hợp của các

ma trận Pauli. Chúng ta đưa vào tập hợp các toán tử cc1, c2,..., cl,...

để mô tả bể

nhiệt, trong trường hợp bức xạ nhiệt cl có thể là các toán tử hủy hay toán tử sinh

của các lượng tử trường có năng lượng l . Lúc đó, phương trình Heisenberg

mô tả sự tiến triển của hệ là phương trình tuyến tính đối với các biến bvà c.

Chúng ta có thể bỏ quac

khi Hamiltonian tương tác chỉ chứa các số hạng

lưỡng tuyến tính. Lúc đó, các phương trình tìm được chỉ chứa các toán tử b

được viết dưới dạng [53]:

CÁC HỆ (A) CÁC BỂ NHIỆT (B)

Các nguyên tử của môi trường hoạt tính

, +, z

	Bơm
	Các thăng giáng chân không (phát xạ tự phát)
	Các phonon hoặc các nguyên tử va chạm nhau

Có thể bạn quan tâm!

• Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr - 1
• Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr - 2
• Các Trạng Thái Lượng Tử Hữu Hạn Chiều
• Trạng Thái Lượng Tử Của Qubit Ứng Với Các Điểm Trên Mặt Cầu Bloch
• Kéo Lượng Tử Phi Tuyến Dựa Trên Các Dao Động Tử Phi Tuyến Kerr

Xem toàn bộ 144 trang tài liệu này.

Tương tác nguyên tử + trường

Các trường bức xạ b, b+

	Các thành của buồng cộng hưởng, dao động của các gương, bức xạ nhiệt.

Hình 1.1: Giản đồ dẫn đến các mô hình ngẫu nhiên của laser

dbi 

dt

fi bFi c 0, (1.2)

trong đó fi và Fi là lực tương tác và lực ngẫu nhiên của hệ. Mặc dù không biết

trước được giá trị cụ thể của các toán tử

ci0, tuy nhiên từ các tính chất cho

trước của hệ bể nhiệt ta có thể tìm được các tính chất thống kê của chúng và từ

đó suy ra các tính chất thống kê của các lực Fi , nhưng nói chung không thực

hiện được việc phân tích chính xác các tính chất này. Tuy nhiên, so với tất cả các thời gian đặc trưng khác của hệ thì thời gian tương quan thực của các hàm

Fi t

thường nhỏ hơn do đó hàm tương quan hai thời gian đối với các lực này có

thể được giả thiết có dạng như sau [53]:

FitFkt' 2bikt t', (1.3)

ở đây bik là tham số liên quan đến thành phần ngẫu nhiên.

Pha và biên độ của các phương trình kiểu Langevin sẽ độc lập với nhau khi tuyến tính hóa lời giải dừng:

F t ,

E tE tG t,

(1.4)

trong đó, là hệ số tắt dần,

F t 

và Gt 

là các nhiễu trắng độc lập với nhau. Khi

đó các tính chất của các quá trình Gauss, tức là quá trình ngẫu nhiên sao cho mọi tập hợp hữu hạn của các biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn đa biến, có dạng:

F t 

Gt 

 0,

 0,

F t F t'

Gt Gt'

 2b0t t',

 2c0t t',

(1.5)

trong đó, b0 và c0 lần lượt là các tham số liên quan đến thành phần ngẫu nhiên của

F t và Gt . Ta dễ dàng thấy rằng quá trình Orstein-Uhlenbeck [54], quá trình

Gauss-Markov dừng, của phương trình (1.4) là đạo hàm của pha và biên độ, chúng

là các quá trình Gauss có giá trị trung bình không đổi quan được viết dưới dạng:

t 

const

với hàm tương

t t '

2 exp

t t ' . (1.6)

0

Từ tính chất Gauss của

t 

và hàm tương quan (1.6), ta thấy rằng quá trình

Orstein-Uhlenbeck là một quá trình Markov [55], tức là một quá trình ngẫu nhiên trong đó giá trị hiện tại của một biến chỉ liên quan đến việc dự đoán giá trị tương lai mà không liên quan đến số liệu quá khứ của biến đó. Trong các mô hình khuếch tán pha [55], sự thăng giáng của biên độ rất nhỏ so với sự thăng giáng pha nên người ta có thể bỏ qua đối với mô tả các mode laser.

Trên đây chúng tôi đã trình bày hình thức luận dẫn đến sự mở rộng đồng nhất của laser. Khi tính đến cả sự mở rộng không đồng nhất thì cần phải lấy trung bình các kết quả cuối cùng theo phân bố thống kê của tham số tương ứng trong các phương trình động lực học liên quan đến tính không đồng nhất của môi trường hoạt tính.

1.1.2. Mô hình laser đơn mode với thăng giáng bơm

Short, Kaminishi và các cộng sự [56, 57] đã chỉ ra rằng trong thực nghiệm, các hiện tượng thăng giáng đối với laser màu đơn mode có đặc tính khác rò ràng so với những tiên đoán bằng lý thuyết truyền thống [53, 58]. Các kết quả thực nghiệm đã được Kaminishi và các cộng sự [57] sử dụng lý thuyết Haken để mô tả. Phương trình đối với biên độ phức của trường trong lý thuyết

Haken có thể được viết dưới dạng [59]:

EtA E 2E t, (1.7)

trong đó và

A  0

tương ứng là tham số bơm và tham số bão hòa của môi

trường hoạt tính gây ra sự hoạt động ổn định trên ngưỡng và

t 

là nhiễu trắng

mô tả các thăng giáng chân không hay phát xạ tự phát (Hình 1.1). Tuy nhiên, Kaminishi và các cộng sự [57] đã chỉ ra rằng phương trình (1.7) không phù hợp để giải thích các kết quả thực nghiệm. Lần đầu tiên các nhà khoa học đã chỉ ra rằng các thăng giáng bơm có thể đóng vai trò quan trọng. Từ ý tưởng này

Graham và cộng sự [60] đã giải thích tốt các kết quả thực nghiệm trong [57] bằng cách giả thiết rằng tham số bơm là nhiễu trắng đồng thời bỏ qua t trong (1.7).

Tuy nhiên, theo Short và các cộng sự [56] lý thuyết này vẫn chưa mô tả tốt một số kết quả thực nghiệm nên họ đã thay nhiễu trắng bằng nhiễu màu, vì thời gian hồi phục của nhiễu bơm có thể không đủ nhỏ khi so với các thời gian

đặc trưng khác của hệ laser màu. Tuy nhiên khi đó phương trình:

EtA E 2E , (1.8)

không thể tìm được nghiệm giải tích mà chỉ được giải lặp trên máy tính bởi Dixit và Sahni [61] và thu được các kết quả phù hợp với thí nghiệm của Short và cộng sự.

1.1.3. Laser đa mode và ánh sáng ngẫu nhiên

Biên độ phức của trường bức xạ đối với laser đa mode có dạng [62]:

E t E e , (1.9)

N

i mtm

m

m1

trong đó N là số mode, Em là các biên độ không đổi của mode m, m là các tần

số tương đối tính từ tần số trung bình và m là các pha ngẫu nhiên độc lập với

nhau. Khi các pha này được phân bố đồng đều trong đoạn 0,2

thì từ các tính

chất của pha m

ta có:

E t 

 0,

* tt'

N

Em

m1

2eimt t ',

(1.10)

t t '

*t*t'

 0.

Phiếm hàm đặc trưng Zt

của quá trình

E t [27] có dạng sau:



* 

i E t J t dtE *t J *t dt 

, (1.11)

Zt J t , J t e

N

m1

J0 2 Em Jm

trong đó

J0 là hàm Bessel bậc không [63],

J t

là một hàm bất kỳ và

JmJ teimtdt . Giả thiết rằng số mode N trong khi biên độ của chúng lại