Trang chủ

Chương Iii Phương Trình Và Hệ Phương Trình. Chương Iv Bất Đẳng Thức Và Bất Phương Trình

50

a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng [0;10] và khoảng (10; ).

b) Tính f(8), f(10) và f(18). Gợi ý:

a) Khi 0 x 10 tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên, số tiền


phải trả là: f = 6x nếu 0

x 10 .

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 128 trang tài liệu này.

(x) 2,5x 35

Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn toán đại số nâng cao 10 - thpt - 7

x 10


b) Từ công thức trên suy ra:

f(8) = 6.8 = 48; f(10) = 6.10 = 60; f(18) = 2,5. 18 + 35 = 80.

+Hàm số bậc hai Bài toán bóng đá:

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với toạ độ 0 t.h, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.

b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng ( tính chính xác đến hàng phần nghì n).

c) Sau bao lần thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên ( tính chính xác đến háng phần trăm)?

Gợi ý:

a) Giả sử h = f(t) = at2 + bt +c. Ta cần tìm các hệ số a, b và c. Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m, nghĩa là: f(0) = c= 1,2.

Sau đó 1 giây, nó đạt được độ cao 8,5m nên:


f(1) = a + b + 1,2 = 8,5.

Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6m, nghĩa là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6.

Thu gọn cái hệ thức trên, ta có hệ phương trình bậc nhất.


a b

2a b

7,3

2,4

Giải hệ ta có a = -4,9, b= 12,2.


Vậy hàm số cần tìm là:f(t) = -4,9t2 + 12,2t + 1,2.

43,09

4,9

b) Vì những điểm có tung bằng 0 nên độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol, cụ thể là:

'

y = =

a

8,794.


8,5


6

4

1,2

t

O 1 2

c) Giải phương trình: -4,9t2 + 12,2t + 1,2 = 0, ta được hai nghiệm gần đúng là: t1 = -0,09 và t2 = 2,58 (loại giá trị âm), ta được kết quả là: Quả bóng chạm đất sau gần 2,58 giây.

Bài toán tàu vũ trụ:

Khi một con tàu vũ trụ được phóng lên mặt trăng, trước hết nó bay vòng qua Trái Đất. Sau đó đến một thời điểm thích hợp, động cơ bắt đầu hoạt động đưa con tàu bay theo quỹ đạo là một nhánh parabol lên mặt trăng ( trong toạ độ


0xy như nhình vẽ, x và y tính bằng nghìn km). Biết rằng khi động cơ bắt đầu hoạt động, tức là khi x = 0 thì y = -7. Sau đó y = -4 khi x = 10.

Và y = 5 khi x= 20.

a. Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên.

b. Theo lịch trình để đến được mặt trăng, con tàu đi qua điểm (100; y) với y = 294 1,5.

Hỏi điều kiện có được thoả mãn hay không?


y


quỹ đạo

O

x

a. Ta cần tìm hàm số dạng f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(0) = C = -7.

f(10) = 100a + 10b – 7 = -4. f(20) = 400a + 20b – 7 = 5.

Từ đó suy ra a = 0.03 và b = 0. vậy hàm số cần tìm là: y = 0,03x2 – 7.

b. Theo điều kiện khi x = 100 thì y = 294 1,5 tức là: 294 – 1,5 < y < 294 + 1,5 hay y (292,5; 295,5).

Ta thấy f(100) = 293 thoả mãn điều kiện đó.


Bài toán về cổng Ác – xơ (Asch).

Khi di lịch đến thành phố XanhLu – i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ác – xơ. Giả sử ta lập một hệ toạ độ 0xy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 như hình 4 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10; 43).

a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên.

b) Tính chiều cao của cổng ( tính từ đỉnh cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).


y


43



Giải

0 10 162 x

a/ Ta cần tìm hàm số có dạng f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn f(0)=c; f(10)= 100a + 10b = 43; f(126) = 1622a + 162b = 0 hay 162a + b = 0. Từ đó suy ra a

0,028; b

4,583.

Vậy hàm số cần tìm là f(x) = ax2 + bx, trong đó a

0,028; b


4,583


b/ Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol do đó: h = f(162/2) = f(81) 188(phút).

c/ Xét các giao điểm của parabol với đường thẳng y =170. Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: - 0,028x2 + 4,583x = 170 hay 0,028x2 –

4,583x + 170 = 0. Giải phương trình ta được x1

56,8; x2

106,9 .

Vậy khoảng cách giữa hai điểm đó là x2 – x1 50,1(mét).

2.2.3. Chương III Phương trình và hệ phương trình. Chương IV Bất đẳng thức và bất phương trình

A. Tóm tắt kiến thức cơ bản của chương III và chương IV

- Các phép biến đổi tương đương các phương trình

- Phép biến đổi cho phương trình hệ quả

- Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

- Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c =0 (a 0)

- Giải và biện luận phương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Định vi-ét (thuận và đảo)

- Giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn

- Các tính chất của bất đẳng thức. BĐT cô-si và BĐT chứa giá trị tuyệt đối.

Bất PT tương đương

- Bất PT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn, định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bất PT và hệ BPT bậc hai.

- Một số PT và BPT qui về bậc hai.

B.Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập.

Trong thực tế đời sống, kỹ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi và phụ thuộc lẫn nhau và ta phải tìm ra cụ thể hoặc là tất cả, hoặc là một trong các đại lượng ấy.Để giải quyết các vấn đề ấy ta cần “ toán học hoá” các mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng thành các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Khi đó việc giải các phương trình, hệ phương trình,bất phương trình sẽ giúp ta giải quyết được những vấn đề mà thực tiễn đòi hỏi.

Chúng ta quan tâm đến vấn đề: phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong toán học giúp con người giải quyết các bài toán thực tế như thế nào và việc hình thành kỹ năng đưa bài toán của thực tiễn thành các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ở học sinh.


Ở trường phổ thông, dạy học phương trình, hệ phương trình, bất phương trình không dừng lại ở việc dạy giải phương trình, hệ Phương trình, bất phương trình mà cần quan tâm dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình. Đối với hệ phương trình, bất phương trình cũng được lý luận tương tự như phương trình. Vậy giải bài toán bằng cách lập phương trình để học sinh thấy được ứng dụng thực tế của lí luận trong khoa học và đồi sống.

*Ứng dụng trong lí thuyết

Trong việc dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình khâu mấu chốt là dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát tình huống thực tế của bài toán. để làm được điều đó,điều quan trọng là tập cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà lập được phương trình, ta xét ví dụ sau; “ Một xí nghiệp dự định sản suất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định của xí nghiệp đó.”

Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của xí nghiệp. Bằng cách gọi ra mối liên hệ “ năng suất dự kiến cộng thêm 5 bằng năng suất thực tế, ta có thể dẫn họ đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năng xuất dự kiến là x+5. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “ Tổng sản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất, có thể dẫn dắt họ biểu thị thời gian

dự kiến là

600 và thời gian sản xuất thực tế là

x

600 +x”.

x

600

x 5

Bằng cách gợi ý mối liên hệ “ Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuất thực tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình:

600 6

x

. Qua ví dụ minh hoạ trên, ta thấy trong dạy học lập PT,HPT,BPT

cần xoái vào hai khâu mấu chốt như sau:

+ Rèn cho HS khả năng phát hiện những hệ thức giữa những đại lượng đó là cần làm cho HS ý thức được rằng những mối liên hệ giữa những đại lượng


trong bài toán có thể chia thành hai loại: Những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó và những mối liên hệ tổng quát có tính chất qui luật.

Thuộc về loại thứ nhất có thể kể :

-Năng xuất dự kiến +5 = năng xuất thực tế.

-Thơi gian dự kiến -6 = Thời gian thực tế,

- Vận tốc ô tô gấp 3 vận tốc xe đạp vv… Thuộc loại liên hệ thứ hai có thể nêu:

- Tổng sản lượng = năng xuất x với thời gian sản xuất

- đường đi = vận tốc x thời gian (trong chuyển động đều),

- nửa chu vi hình chữ nhật= chiều dài + chiều rộng.

…..

Trong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề toán thì những mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức học sinh phải nắm vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán, học sinh cần dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng.

Người thầy giáo cần nhấn mạnh cho HS, thấy rằng phát hiện những mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán là cơ sở để lập phương trình giải bài toán đó. Làm như vậy cũng là tập dượt cho HS biết xem xét sự vật trong mối liên hệ với nhau chứ không tách rời nhau một cách cô lập, đó là một yếu tố của tư duy biện chứng.

Rèn luyện cho HS khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế đó là trong dạy học cần chú trọng cho HS lập phương trình là tập luyện cho họ biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết. Cần tập cho HS một mặt biết chuyển từ những tình huống thực tế sang những biểu thức biểu thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thức sang những tình huống thực tế phù hợp với chúng chính vì thế ta nên tiến hành theo từng bước sau:

a/ Đặt ấn số. Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm.Thông thường bài toán yêu càu tìm cái gì (các cái gì ) thì ta đặt cái đó (các cái đó ) làm ẩn (các


ẩn).Cũng có khi ta đặt những bài toán và với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn.

b/ Lập phương trình. Sau khi đặt ẩn ( nêu điều kiện cho ẩn nếu có ) ta tiến hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số. để lập được phương trình (các phương trình) ứng với bài toán cần giải,ta có gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng điều kiện của bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm,cái chưa biết và những cái đã cho). Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, phiên dịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số,sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng hai cách khác nhau thành một đảng thức. Như vậy ta sẽ có phương trình.

Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu phương trình. Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến PT nghiệm nguyên.

Chú ý: trong những bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình (hệ PT,BPT) có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau khi nói đến đại lượng này ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượng quan hệ đó.

c/ Trình tự các bước trong lời giải bài toán bằng cách lập phương trình (HPT, BPT)

- Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn (nếu có)

- Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho

- Lập phương trình (HPT,BPT)

- Chọn nghiệm thích hợp trả lời.

Vai trò PT,HPT,BPH đối với đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, Giúp con người giải quyết các bài toán trong cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật,..Thông qua một số ví dụ sau:

*Ứng dụng trong bài tập

Xem toàn bộ nội dung bài viết ᛨ

..... Xem trang tiếp theo?
⇦ Trang trước - Trang tiếp theo ⇨

Ngày đăng: 16/05/2022