Quy Trình Khai Thác Một Số Ứng Dụng Trên Điện Thoại Di Động Hỗ Trợ Học Sinh Tự Học Toán

Kịch bản và thông tin trợ giúp

Bài tập 1: Mặt phẳng (P) qua A(1; 4; -3) và song song với mặt phẳng (Q):

2x – 4y + 3z – 2 = 0 có phương trình:

A. 2x – 4y + 3z – 23 = 0 B. 2x + 4y + 3z – 10 = 0 C. 2x – 4y + 3z + 23 = 0 D. 2x – 4y + 3z – 10 = 0

- Nếu HS chọn đáp án khác C, hệ thống hiện thông báo đã sai yêu cầu HS chọn lại.

- Nếu HS nhấp chuột vào mục trợ giúp, sẽ nhận được thông tin: “Vì mp(P) song song với mp(Q):

2x – 4y + 3z – 2 = 0 nên (P) có dạng: 2x – 4y + 3z + D = 0

Vì mp(P) qua A(1;4;-3) tọa độ điểm D thỏa mãn phương trình mặt phẳng”. Với sự trợ giúp trên, HS sẽ thay số để có: 2.1 – 4.4 +3.(-3) + D = 0, từ đó tính được D và viết được phương trình mặt phẳng (P).

- Nếu HS đã chọn được đáp án đúng, hệ thống tiếp

tục đưa ra yêu cầu tiếp theo:

Bài 2: Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;0;1), B(2;1;2)

và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z – 2010 = 0

có phương trình:

A. x – 2y + z = 0

B. x + 2y + 3z – 4 = 0 C. x – 2y + z + 2 = 0

D. x – 2y + z – 2 = 0

-Nếu HS chọn sai đáp án sẽ nhận được sự trợ giúp: “Ta có, AB 1;1;1, nQ 1; 2;3nên véc tơ pháp tuyến của mp(P) là nP AB nQ . Như vậy cần tính

được nP để từ đó viết được phương trình mặt phẳng

(P) qua A(1;0;1) có véctơ pháp tuyến là nP ”

d(M,() ) 

A.x0 By0 Cz0 D

A2  B2  C2

Kiến thức bổ trợ

(nếu HS kích hoạt yêu cầu trợ giúp)

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tổng quát của mặt phẳng () trong các trường hợp sau:

a) () đi qua M (3; 2; -5) và nhận véc tơ n(2; 3;1) làm véc tơ pháp tuyến.

b) () là mặt phẳng trung trực

của đoạn thẳng AB với

A3; 5; 4 , B1 ; 3;  2

Dạng phương trình tổng quát của phương trình mặt phẳng khi biết véc tơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng là: A(x  x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 )  0.

a)Hãy thay tọa độ M (3; 2; -5) và tọa độ của véc tơ pháp tuyến n(2; 3;1) vào phương trình tổng quát và rút gọn

b) Để làm được ý b), Hãy nhớ lại:

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng như thế nào?

- Cách tìm tọa độ trung điểm như thế nào?

- Véc tơ pháp tuyến là véc tơ nào? Và cách tìm chúng bằng công thức nào?

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tổng quát của mặt () chứa 3 điểm A(2;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;5).

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn

chắn x y z  1 cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các

a b c

điểm A(a;0;0), B(b;0;0); C(c;0;0). Hãy thay tọa độ 3 điểm A, B,C vào phương trình trên và rút gọn.

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng () đi qua M1; 2;3và

song song với mặt phẳng

() 3x  2y  4z 1  0.

Hai mặt phẳng mà song song với nhau sẽ có cùng véc tơ pháp tuyến. Như vậy mặt phẳng () có véc tơ pháp

tuyến là n. Thay vào công thức

A(x  x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 )  0 và rút gọn

Bài tập 4: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng () đi qua hai điểm P(1;- 1;1), Q(2;1;5) và vuông góc với

mặt phẳng () x  2y  3z 11  0 .

() đi qua hai điểm P, Q và vuông góc với mặt phẳng ()

nên nó song song với giá của các véc tơ nvà PQ. Từ đó suy ra véc tơ pháp tuyến của () là n n, PQ. Thay vào

công thức A(x  x0)  B(y  y0)  C(z  z0)  0 sau đó rút gọn

Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;-1;3) và mặt phẳng () x  2y  2z 1  0

a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ().

b) Tìm điểm N trên trục Ox sao cho khoảng cách từ N đến()bằng khoảng cách từ M đến ().

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm

M(x0; y0;z0 ) đến (): A.x0  By0  Cz0  D  0

Thay trực tiếp và tính Toán được ngay kết quả.

b) Do N thuộc Ox suy ra N(n;0;0), ta có:

d(N, () )  3 . Từ đó ta có phương trình với ẩn n, giải

phương trình này ta sẽ suy ra tọa độ điểm N.

d(M,() ) 

A.x0 By0 Cz0 D

A2  B2  C2

Kiến thức bổ trợ

(nếu HS kích hoạt yêu cầu trợ giúp)

Bài tập 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau.

a) (P) đi qua M(2;-3;1) và song song với() x  2y  2z 1  0

b) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(-1;2;- 5), B(5;3;2).

a) Véc tơ pháp tuyến của (P) chính là véc tơ pháp tuyến của () . Sau đó Áp dụng công thức để viết phương trình mặt phẳng.

b) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, là mặt

phẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Như vậy, các em làm theo các bước sau:

+ Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB

+ Tìm véc tơ pháp tuyến AB .

+ Áp dụng công thức để viết phương trình mặt phẳng.

Bài tập 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau.

a) (P) đi qua ba điểm A(-1;2;1), B(2;3;0), C(1;-1;-2)

b) (P) đi qua M(1;0;-1), N(3;-1;2)

và vuông góc với

() 2x  y  z 1  0.

c) (P) đi qua I(1; 2; 1) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (Q): x  y  z 1  0 và (R) : x  y  z  5  0

a) Mặt phẳng (P) đã biết điểm đi qua. (Chọn một trong 3 điểm A, B, C).

Do mp(P) chứa A, B, C nên có cặp véc tơ chỉ phương là

AB , AC , suy ra véc tơ pháp tuyến là: nPAB, AC 

b) Do mp(P) đi qua M, N nên giá của véc tơ MN song song với (P).

Do mp(P) vuông góc với () nên giá của véc tơ pháp tuyến ncủa () song song với mp(P). Từ đó, suy ra mp(P) có cặp véc tơ chỉ phương là MN và n.

Véc tơ pháp tuyến của mp(P) là nPMN, n.

c) Do mp(P) vuông góc với mp(Q) và mp(R) nên mp(P) có cặp véc tơ chỉ phương là nQ và nR . Suy ra véc tơ

pháp tuyến của mp(P) là: nPnQ, nR

Bài tập 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với () 2x  y  z 1  0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) (x  2)2 (y 1)2 (z 1)2 9.

Do mp(P) song song với () nên mp(P) có dạng

2x  y  z  m  0 (m  1)

Do mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(P) bằng bán kính mặt cầu.

Áp dụng công thức tính khoảng cách

Từ đó, ta tìm được tham số m, sau đó suy ra mặt phẳng cần tìm.

Kiến thức bổ trợ

(nếu HS kích hoạt yêu cầu trợ giúp)

Bài tập 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách () x  y  z  3  0 một khoảng bằng 3.

Hãy tìm cách trả lời các câu hỏi sau:

- (P) song song với () x  y  z  3  0 thì (P) có dạng như thế nào?

- Khoảng cách giữa (P) và () được hiểu như thế

nào, tính chúng bằng công thức nào?

- Làm thế nào để chọn điểm M thuộc ()

- Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P:

d(M, (P) ) bằng công thức nào?

Gợi ý: Từ giả thuyết d(M, (P) )  3giải phương trình

với ẩn m. Từ đó, ta tìm ra m và suy ra phương trình mặt phẳng (P).

Bài tập 10: Trong không gian, cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OC = c. Tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh O.

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ: Do OA, OB, OC đôi một vuông góc, nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ sao cho O là gốc tọa độ, OA nằm trên Ox, OB nằm trên Oy, OC nằm trên Oz.

Bước 2: Tìm tọa độ của một số điểm liên quan đến bài giải theo hệ trục vừa chọn:

Với hệ trục vừa chọn, ta có A(a; 0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), O(0;0;0).

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ

Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Độ dài đường cao hạ từ O bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).

Bài tập 11: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao hạ từ đỉnh S của hình chóp bằng b. Tính khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (SAB).

Ta có thể chọn hệ trục tọa độ sao cho: Tâm hình vuông ABCD trùng với gốc tọa độ O, AC nằm trên Ox, BD nằm trên Oy và OS nằm trên Oz

Khi đó A( a 2 ;0;0), C(- a 2 ;0;0), B(0; a 2 ;0),

2 2 2

D(0;- a 2 ;0), S(0;0;b), O(0;0;0).

2

Chứng minh CD song song với mp(SAB). Khi đó

khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (SAB) bằng khoảng cách từ C đến mp(SAB).