1 x 2
x3 x x
x (1 3x )
x 2 4x 3
i) dxj)
x 2x 3
(1 x 2)3
(x 1)
Có thể bạn quan tâm!
-
Nội Dung Vắn Tắt: Nguyên Hàm Và Tích Phân Bất Định. -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 9 -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 10 -
Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm Của Hàm Số, Tích Phân Bất Định Và Tích Phân Xác Định. -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 13 -
Nội Dung Vắn Tắt: Ứng Dụng Của Tích Phân Xác Định.
Xem toàn bộ 146 trang tài liệu này.
x dx (a > 0) k)
a x
dx l) (x 2)dx
(x 1) 1 x 2
m)
(x 1)dx
n)
x 1 dx
o) x 2
dx p)
(x 2 1)dx
x 2 2x 3
x 2 2x 3
x 2 2x 2
q) (x 4)dx
r) dxs)
dx t) xdx
x (4x 1)3
x 2 1 x
3 1 x
3 2x x 2
3x 2 4x 1
u) dx
v) (5x 3)dx
x) (3x 4)dx
y) x dx
2x 2 8x 1
x 2 6x 8
5x 2 2x 1
17. Tính các tích phân
a)
3 4x 4x2 dx
b) dx
c) dxd) dx
x2 x 1
(x 1)
3 (x 1)2 (x 1)4
4 x x 2
e) dxf) xdxg)
(x 2)
x x2 2x 2dx
x
x 2 2x
x 2 2x 2
h) dx
i)
5 4x x 2 dx
j)
x 2 x 1dx
k) xdx
x 2 4x 5
x 2 x 1
l)dx x
(a x 2 ) a x 2
m) dxn)
x5 dx
o) dxp) dx
x 3 x
x1 2
x 2 2x 2
q)dx 1
1
5 x x 2
x 2 x 2
r) xdxs) xdx
1 x x 2
1 2x x 2
t) x
1
x 2 3x 2dx
6 (x 7)7 (x 5)5
u) dx
v)x 1
x 1
dx x)dx
x 1
x 1
3 (2x 1) 2
2x 1
y)
x 2 2
dx
x 2 1
18. Tính các tích phân
x 2 3x 3
a) (3x 2)dx
3 2x x2
2
1 x
1 x
b) dxc) dx
3 4x2 4x 1 2x 1
(x 1) x 2 2x 3
(x 1)
(1 x)
x x 2 3x 2
x x 2 3x 2
d)
dx e)
dx f) dx
1 2x x 2
x 2 x 1
1 x 2
g) xdxh) dxi) xdx
(x 1) 2 x x 2 2 2
(1 x) 1 2x x 2
j)
x 3 dx
k) x
x 2 2x 2dx
l) dx
1 2x 41 2x
19. Tính các tích phân
a) dxb) cos6 xdx
c) dx
4
d) cos x dx e) dx
f) dx
1 sin x
sin 4 x
sin 3 x
sin 3 x
4 3tgx
3
g) cot g6 xdx
h) cos x dx
i) dxj) dxk) dx
sin x sin a
1 sin x
sin 2 x cos3 x
3 sin x
3 cos2 x
7
l) dxm) sin xdx
n) dxo) dx
p) dx
cos x
sin x
sin x cos 2x
sin x cos2 x
sin 4 x cos2 x
q)
tgxdx
r)dx tg2 x 4tgx
s) sin x cos xdx t)sin 2xdx
1 cos4 x
1 sin 4 x
u) sin xdx
2 sin 2x
v) dxx) dxy) dxz) dx
cos 3x3 sin 2 x
sin 3 x cos5 x
(sin x cos x) 4
sin 3 x cos3 x
sin 2x
sin x 1 cos x
20. Tính các tích phân
a) (sin x cos)dx (sin x 2 cos x) 2
b) cos3 xdx sin 2 x sin x
c)
cos x sin x dx
d) dx
e) cot g 2 x cos xdx
f) dx
g) dxh) dx
3 cos x
i)cos 2xdx
sin x
sin 3 x cos5 x
j)sin 2xdx sin 4 x cos4 x
3sin x 4 cos x
k)dx sin 6 x cos6 x
sin x(1 cos x)
l)(1 sin x)dx sin 2x 2 sin x
m) sin x cos xdx
sin x cos x
n)dxo) tgxtg(x a)dx cos x3 sin x
p) sin x sin( x y)dx
sin x cos xdx
2 2
q)
sin 8 x cos8 x
r)(sin x cos x)dx sin x 2 cos x
s)
sin 2 xdx
t) sin xdx cos x
cos2 x tgx
1 sin 2 x
2 sin 2x
u) sin xdx
v) dxx) dx
y) dx
(sin x cos x) 4
sin 3 x cos2 x
cos5 x sin 5 x
sin 2x
21. Tính các tích phân
a)dx sin 4 x cos x
b) cos x sin xdx
c) sin 3x sin xdx
d) sin 2 x cos4 xdx
e)
cos3 xdx 4 sin 2 x 1
f)sin xdx 1 sin x cos x
g)dx sin 2 x cos x
h)dx sin 4 x cos x
i)dx sin x(1 cos x)
j) sin xdx
3
sin x cos x
k) 1 cos2 x dx
l)(2 sin x)dx sin x(1 cos x)
2 sin 2x
3
m) sin x sin xdx
n) dxo) sin x cos x dx
p)
cos3 cos5 x
dx
2 2
cos 2x
3 2 sin x cos x
sin 4 x cos4 x
sin 2 x sin 4 x
q)sin x 2 cos x 3dx sin x 2 cos x 3
r)(2 sin x cos x)dx 3sin 2 x 4 cos2 x
s) (sin x 2 cos x)dx 1 4sin x cos x
t) x x 3 2
sin xdx
sin x sin 2 sin 3 dx u) sin 2x cos
3xdx
v) (1 cos x sin x)2
x)(2 sin x sin 2x)dx sin3x (1 cos x)3
y) dx
3sin x 4 cos x 5
z)dx
2 sin x 3cos x 3
22. Tính các tích phân
a) cos x cos 2x cos3xdx
c)sin 2xdx cos3 x sin 2 x 1
f)(2sin x 3cos x)dx sin 2 x cos x 9 cos3 x
b)dx sin 2 x sin 2x cos2 x
cos x cos x
5 3
d) dx
sin 4 x sin 2 x
g)sin xdx (1 cos x sin x) 2
b)dx 3 5sin x 3cos x
2
e)sin xdx cos x sin x
h)(2sin x sin 2x)dx sin 3 x (1 cos x)3
i) dxj) dxk) dx
4 sin x 3cos x 5
sin x 2 cos x 2
2 sin x cos x 5
l)dxm) cos x cos3x cos5xdx
4 sin x 3cos x 5
n)dx 3 5sin x 3cos x
o)
cos2 xdx
sin 2 x 4 sin x cos x
p)dx 3sin 2 x 8sin x cos x 5sin 2 x
cos4 x sin 4 x
q) dx sin x cos x
23. Tính các tích phân
a)ln xdx
(1 x 2 )3 / 2
x
arctge
b) dx
e x
x
arcsin e
c) dx
ex
d) xtg 2 xdx
4
x arctgx
e) dx
1 x 2
2 x
f) x e dx
g) xarctgxdxh) x cos xdx
i) arctge dx
x / 2
(x 2) 2
(1 x 2 )2
1 sin x
e x / 2 (1 e x )
j)cos8x cos 7xdx 1 2 cos 5x
k) sin xdx cos x
l) cos xdx sin x
1 sin 2 x
1 cos2 x
1 x 2
3
m) x arccos x dx
n) si
codx x sin 2
n x
s x
x
o) dxp) x ln(x
1 x 2 )
dx
1 e x
1 e x
(1 x 2 ) 2
24. Tính các tích phân
a) x n ex dx
b) sin n xdx
c)dx cosn x
d) ln n xdx
e) tgn xdx
f) x lnn xdx
g) xn sin xdx
ax2 bx c
h)
xndx
i)
dx
(a sin x b cos x)n
j) sin n1 x sin( n 1)xdx
A. Tổng quan
Tuần VII. Tích phân xác định
1. Nội dung vắn tắt: Tích phân xác định*
2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức về tích phân xác định: định nghĩa, ý nghĩa hình học, cơ học, tiêu chuẩn khả tích; các tính chất của tích phân xác định; công thức đạo hàm theo cận; công thức Newton-Leibnitz; các phương pháp tính: tích phân từng phần, đổi biến số.
3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức đã học ở phổ thông về tích phân, các kiến thức về hàm số, liên tục, đạo hàm, nguyên hàm, họ nguyên hàm, tích phân bất định.
* Tích phân xác định đã được học ở chương trình phổ thông. Phần này chỉ mang tính chất hệ
thống lại, cung cấp thêm về tiêu chuẩn khả tích, công thức đạo hàm theo cận.
B. Lý thuyết
I Định nghĩa tích phân xác định
1. Bài toán diện tích hình thang cong
y
B
A
Pi-1
Pi
O
a x1 x2
xi xi-1
xn-1
b
x
Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên khoảng đóng [a,b], giả sử f(x) không âm trên [a,b]. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) (trên [a,b]), các đường thẳng x = a; x = b và Ox. Bài toán đặt ra là tìm cách tính diện tích S của hình thang cong AaaB.
Ta chia [a,b] thành n đoạn nhỏ
Hình 7.1
nhỏ bởi các điểm chia: x0 = a < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b. Ta gọi cách chia đó là một
phân hoạch P.
Từ các điểm chia xi(i = 0, n ), dựng các đường x = xi cắt đồ thị của f(x) tại các điểm Pi. Xét các hình thang cong nhỏ Pi-1xi-1xiPi, có đáy: Δxi = xi - xi-1. Trong mỗi đoạn [xi-1,xi], chọn điểm ξi tuỳ ý. Ta có f(ξi)Δxi là xấp xỉ với diện tích của hình thang cong
n
Pi-1xi-1xiPi (i = 0, n ). Như thế, diện tích S ≈
phân của hàm f ứng với phân hoạch P.
f (i )xi . Tổng này được gọi là tổng tích
i1
n
Dựa vào các giả thiết của hàm f, người ta đã chứng minh được rằng:
S = lim
n
max xi 0 1i n
f (i )x i i1
nghĩa là diện tích của hình thang cong AabB bằng giới hạn của tổng tích phân khi số điểm chia ra vô cùng sao cho độ dài các đoạn tiến tới 0. Người ta cũng chứng minh được, giới hạn này không phụ thuộc cách chia đoạn [a,b] cũng như cách chọn các điểm trong ξi.
2. Định nghĩa tích phân xác định
Định nghĩa 7.1.1: Cho hàm số f(x) xác định, và bị chặn trên đoạn [a,b]. Chia [a,b] thành từng đoạn nhỏ bởi các điểm:
x0 = a < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b
Với mỗi i = 1, n , đặt Δxi = xi - xi-1, trong mỗi đoạn [xi-1,xi], chọn điểm ξi tuỳ ý.
Nếu
n
lim
n
max xi 0 1i n
f (i )x i i1
tồn tại hữu hạn và bằng một giá trị I nào đó, đồng thời giới
hạn này không phụ thuộc cách chia đoạn [a,b] cũng như cách chọn các điểm trong ξi, thì ta gọi đó là tích phân xác định của f(x) trên [a,b], đồng thời ký hiệu:
b
I = f (x)dx
a
3. Ý nghĩa
b
a) Dựa vào bài toán dẫn tới định nghĩa tích phân xác định, ta có: S = f (x)dx là diện
a
tích hình thang cong chắn bởi y = f(x) ( > 0), x = a, x = b, y = 0.
b) Xét bài toán tính công của một lực đẩy một chất điểm đi từ điểm a trên Ox, dọc theo Ox tới b trên Ox. Giả sử độ lớn của lực đó tại một điểm x [a,b] là f(x). Khi đó, với cách xem xét giống như đối với bài toán diện tích hình thang cong, ta có công của lực
b
là: A = f (x)dx .
a
II Điều kiện khả tích
Định lý 7.2.1: Cho f(x) xác định và bị chặn trên [a,b], chia [a,b] thành n đoạn nhỏ nhỏ
bởi các điểm chia: x0 = a < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b (phân hoạch P).
Với mỗi i = 1, n , ký hiệu:
Δxi = xi - xi-1, mi =
inf
x[ xi1 ,xi ]
f(x), Mi =
sup
x[xi1 ,xi ]
f(x), λ =
max
i1,n
Δxi
Đặt s =
n
mixi, S =
i1
n
Mixi
i1
lần lượt được gọi là tổng (tích phân) dưới và
tổng (tích phân) trên của f(x) trên [a,b], ứng với phân hoạch P.
Khi đó, f(x) khả tích trên [a,b], nếu và chỉ nếu:
lim (S - s) = 0.
0
Chú thích: Với các ký hiệu như trên, nếu đặt ωi = Mi - mi, ta có hàm số f sẽ khả tích
khi và chỉ khi
lim ixi
= 0.
n
0
i1
Định lý 7.2.2: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b].
Định lý 7.2.3: Nếu f(x) bị chặn trên [a,b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả tích trên [a,b].
Định lý 7.2.4: Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a,b] thì khả tích trên [a,b].
III Tính chất*
b b b b a
a) C.f (x)dx = Cf (x)dx b) Cdx = C(b-a) c) f (x)dx = - f (x)dx
a a a a b
b
d) [f (x) g(x)]dx
a
b
= f (x)dx
a
b
+ g(x)dx
a
e) Cho ba đoạn [a,b], [a,c], [c,b], nếu f(x) khả tích trên đoạn dài nhất thì cũng khả tích
b
trên hai đoạn còn lại, và: f (x)dx
a
c
= f (x)dx
a
b
+ f (x)dx
c
f) Nếu a ≤ b, và
b
i) f(x) ≥ 0 trên [a,b] thì f (x)dx
a
b
≥ 0 ii) f(x) ≤ g(x) trên thì f (x)dx
a
b
≤ g(x)dx
a
b
iii) f (x)dx
a
b
≤ | f (x) | dx
a
* Các tính chất ở đây, phần lớn dựa vào tính chất tổng của tích phân, như các tính chất: đưa thừa số chung ra ngoài dấu tích phân, tích chất cộng… Các tính chất trong phần này không chứng minh nhưng có thể mô tả vắn tắt cho sinh viên, hoặc minh họa bằng hình học. Chú ý là trong phần này chúng ta luôn có giả thiết các hàm là khả tích trên các đoạn đang xét.