=> t2 = x 3
1 x
=> tdt =
2dx (1 x)2
3 2x x 2
=> xdx=
6 2t2
(t2 1)2 dt
Có thể bạn quan tâm!
-
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 7 -
Nội Dung Vắn Tắt: Nguyên Hàm Và Tích Phân Bất Định. -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 9 -
Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Đã Học Ở Phổ Thông Về Tích Phân, Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm, Nguyên Hàm, Họ Nguyên -
Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm Của Hàm Số, Tích Phân Bất Định Và Tích Phân Xác Định. -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 13
Xem toàn bộ 146 trang tài liệu này.
= -2dt
t2 1
+ 8dt
(t2 1)2
= 2arctgt +
4t+ C
t2 1
x 3
1 x
3 2x x2
= 2arctg + + C
ax 2 bx c
e)(Ax B)dx (x ) n
Đặt x - α = 1/t
f) x r (a bx p )q dx , với r, p , q là các số hữu tỉ
i) q nguyên, s là mẫu số chung của r, p, thế x = ts
ii) (r + 1)/p nguyên, s là mẫu số của q, thế a + bxp = ts
iii) (r + 1)/p + q nguyên, s là mẫu số của q, thế a/xp + b = ts
3x 2(1 x)
Ví dụ:dx, đặt t3 = - 1
x
+ 1 => 3t2dt =
1dx
x2
3 x 2 (1 x)
=>
dx =
3t(t31)dt
5 2
= 3 t5 - 3 t2 + C = 3 11 3 - 3 11 3 + C
5 2 5 x 2 x
5. Tích phân hàm lượng giác
a) Dạng
R(sinx, cos x)dx , R là biểu thức hữu tỷ. Đặt t = tg x
2
=> dt = (t2 + 1)dx; tgx =
2t 1 t2
; sinx =
2t 1 t2
; cosx = 1 t2
1 t2
=>
2t 1 t2 dt
2
R(sinx, cos x)dx =
R 1 t2 , 1 t 1 t2
Ví dụ:1 cos x dx , đặt t = tg x
sin x 1 2
1 cos x
1 t2
1
1 t2 dt
dt
2dt
2dt
4tdt
=
=> sin x 1 dx
2t1 1 t2
1 t2
= -2 (t 1)2 (t2 1)
= (t 1)2
+ 1 t2
+ 1 t2
b) Đặc biệt
=2
1 t
+ 2arctgt + 2ln(1 + t2) + C = 2
1 tg x
2
+ x + 2ln
1
cos2 x
2
i) Nếu R lẻ đối với sin thì đặt cosx = t
ii) Nếu R lẻ đối với cos thì đặt sinx = t
iii) Nếu R là chẵn đối với sin, cos thì đặt tgx = t
c) sin m xcosn xdx
i) Nếu m, n có ít nhất một số lẻ, hoặc m, n đều chẵn và có một số âm thì đặt như
trường hợp b
Ví dụ:dx=
cos x
d sin x 1 sin2 x
1 sin2 x
= ln + C
dx, đặt tgx = t => dt = (t2 + 1)dx
cos6 x
=>dx cos6 x
= (t2 1)2 dt = t
5
5
+2t3
3
+ t + C =
tg5 x 5
+2tg3x
3
+ tgx + C
ii) Nếu m, n đều chẵn và dương thì hạ bậc
sin2x = (1 - cos2x)/2 cos2x = (1 + cos2x)/2 sinxcosx = sin2x/2
Ví dụ:sin 4 xdx
= 1(1 cos 2x)2 dx = 1x - sin2x + 1
cos2 2xdx
2 2 2
= 1x - sin2x + 1(1 cos 4x)dx = 3x - sin2x +1sin4x + C
2 4 4 16
d) Dạng tích
cosax cos bxdx ; sin ax cos bxdx ; sin ax sin bxdx
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
C. Bài tập
1. Tính các tích phân
a) 1
(1 x )
x x 1
2
2
1 x
x 2
x dx
b) dx
c) dx
x x
x
1 x 2
2. Tính các tích phân
a) dx b)
1 sin x
x3dx x8 2
c)xdxd)dxe) sin xdx
1 x 4
x(1 x)
6 xdx
1 3 x
cos3 x
f) (1 x)dx
g) cos 1 dx
2 4
x x 2
h) xdx
i) tg5 xdx
j) sin xdx
k)
l) sin 5 xdx
x 4 9
cos3 x
m) dxn) sin xdx
o) sin x dx p) sin x dx
q) x dx
r) dx
1 e2x
cos 2x
x 2 1
x 2 1
s) cot g 2 xdx t) dx
x
cos4 x
u)dx sin 5 x
cos6 x
3 cos2 x
7
v) sin xdx
1 x 6
3 sin x
2
3
x) cos xdx
x
y)xdx x8 1
3. Tính các tích phân sau
2
a) dxb) sin xdx
c)
x 2 dx
d)
x5dx
e) cos x dx
f) dx
5
1 ex
dx
cos6 x
x 4
3 1 x3
1 sin x
sin x
1 x2
sin 2xdx
2 cos2 x
cos x3 cos x
sin 3 xdx
1 cos4 x
g) x 2 x 2
h) x 5 2
dx i)
dx
sin 2 x
j)
k)
l) xdxm) ln xdx
n) x 2
9 x 6 dx o)
arcsin xdx
p) (1 x )dx
1 ln x
(x 2 1)3 / 2
4 ln 2x
q) dx x
x
r)dx 3x 2 2x 1
s)x ln xdx x
x
3 x
t) x3
1 x 2
1 x 2 dx
2 cos 2x
u) cos xdx
v) xdxx) dxy) cos5 x
sin xdx
z) sin 5 x cos5 xdx
(x 2)(x 5) 5 4x x 2
4. Tính các tích phân
3 sin x cos x
a) (sin x cos x)dx
b) x3
4 x 2 dx
3 arc cot gx
c) 1 x 2 dx
d) sin( a b ln x)dx x
sin x cos xdx
1 x dx
dx 1 x x 2
(1 x 2)3
e) sin 4 x cos4 x
f) ln 1 x 1 x 2
g) sin 2 x 2 cos2 x
h) dx
i) dxj) sin x cos xdx
k)
x 3 2x
dx
l) dx
gx
x
x ln x ln(ln x)
sin 4 x cos4 x
(x 2 1) 2
(x 2 1)(x 2 2)
m)2xdx
x 4 3x 2 2
n)xdx x 4 2x 2 1
o) xdx p)
(x 1)(x 1)2
arct
dx 1 x
q)dxr) sin 4 x cos5 xdx
(x a) 2 (x b)2
s)
x 3dx
t) tgx 1 ln tgxdx cos2 x
(a 2 x 2 ) a 2 x 2
u) sin x cos xdxv) dxx) xdx
a 2 sin 2 x b2 cos2 x
(x 1)(x 2)(x 3) x 2 2x cos 1
5. Tính các tích phân
a) xdxb) dxc) ln 2xdx
d)
4 1 e x
e2x dx
1 ex
e) dxg)
x 2 dx
(1 x)12
1 e3x
x ln 4x
(1 x)100
1 x 2
h)
x5dx
i) dxj) xdxk)
x 2 dx
(x 1)10
2x
1 a x
dxe dx
m) n)
1 e x
o)
x dx 1 x
p)
x 7 dx
x(x 1)
3 1 3x
(1 x 4 ) 2
q)
x5dx
r)
x 4dx (x 1)4
s)
x 2 dx
(x 1)5
(1 x )dx
7
t)
x(1 x 7 )
u) cos xdx
v) (6 x )dx
x)
e x 1
1 x 2
dx
e x 1
y) x(1 x)10 dx
esin x 1
4x x 2
2
6. Tính các tích phân
e x
(1 x 2)3
1 x 6
a) dxb) dxc) (x 1)dx
d)
dx e) xdx
e x
x(1 xe x )x
f) cos2
xdx
g) x cos
xdx
h) x
2 5xdx
i) dx j)
x 2 2x 5
2x 1
a 3 x 3
dx
x
2x x 2
x 2 1
3
k) dxl) dx x
m)(x 1)dx
2x 1
x
3
sin x cos x
n) dx
1 cos2 x
x 2x 3
3 2 10
x ex dx
1 x x 1
o)
x 1
dx p) x
(1 5x )
dx q) e
1
x 3 dx
r)
x 1
x 1
s) dxt) x5 (2 5x 2 ) 2 / 3 dx
u) (x 1)
1 x 2 dx
2x 3
2x 1
1 x 2 (1 x 2 )3
v) dxx) xdx
2
7. Tính các tích phân
a)xdx cos2 x
b) ln xdx
c)
x 2 dx
d) x sin 3 xdx
e) x 7 ex 2 dx
f)
x 2 dx
(1 x 2 )3
x2
x
1 x 2
g) sin(ln x)dx
h) cos3
xdx
i) arctg
xdx
j) x sin xdx cos2 x
k) x3arctgxdx
l) x cos
xdx
m) x sin
xdx
n) sin(ln x)dx
o) (x 2 1)e2x dx
p) 3
2x1 dx
q) ex cos 2xdx
r) x arcsin xdx
s)
xe arctgx dx (1 x 2 )3 / 2
t) (x 1) 2 exdx
u) arcsin xdx
(1 x 2)3
8. Tính các tích phân sau
a)arccos xdx x 2
b) (arcsin x) 2 dx c) arcsin x dx
x 2
d) arctg
xdx
e) ln(sin x)dx sin 2 x
f) x sin
xdx
g) eax sin bxdx
h) xtg 2 xdx
i)dx x 6 (1 x 2 )
j) e2x sin 2 xdx
x
k) x arccos 1 dx l) cos2 ln xdx
m) x 2 arcsin xdx
n) e x1 sin xdx
o) e5x cos3xdx
1 x 2
p) x arcsin xdx
q) x arccos xdx
(1 x 2 )3 / 2
2
x arctgx
r) dx s)
1 x 2
arctgx
arctgx3x
e dx t) (2x 3)e dx
1 x 2
u) (x 2 1) ln xdx
v) sin(1 ln x)dx
x)dxy) x3 ln(x 2 3)dx
(x 2 2x 2)2
9. Tính các tích phân
a) arcsin
x dx x 1
b) x 2
a 2 x 2 dx
c) x 2 arccos xdx
d) x arccos 1 dx
x
e) (x x 2 ) sin xdx
f) (1 x 2 ) cos 2xdx
g) 1 sin xex dx 1 cos x
h) (x 2 1) ln xdx
i) x
1 x 2
arcsin xdx
j) x ln(x
1 x 2 )
dx
k) ln 2 (x
1 x 2 )dx
1 x 2
l) xarctgx ln(1 x 2 )dx
m) ln(x
1 x 2 )
dx
n) ln x. xdx
(1 x 2 )3 / 2
1 x
1 x 2
10. Tính các tích phân
2
a) x x
dx
dx
x 1
2n1
x
x 1
dx b)
x 6 1
c)
x 4 8x
(x 3
d)
1)2
dx e)
4
x 6 1
dx f)
x n 1
dx
2
x 4 1
g) dx h)
x5 x 2
x 4dx (x 1)4
i)
x 2 dx
(x 1)5
5
x x
j) dx
x8 1
k)xdx x 3 1
l)dx x 4 1
m)dx x 3 1
n)dx x 4 1
o) dx p)
(x 4 1) 2
x 8dx (x 3 1)3
q)
x8dx (x 4 1)3
r)dx x5 x 2
s)
x 4 dx
(x10 10)2
2
x x
t) dx
x 6 1
u)
x 2 dx
(x 1)5
3
(x 2x)
v) dx
(x 2 1)2
x)dx x5 x 2
11. Tính các tích phân
a)
x 4dx
b) (x 1)dx
c)
x 5dx
d) xdxe) (3x 2)dx
x 4 5x 2 4
x 2 x 1
x 6 x 3 2
x 3 3x 2 2x 2 x 3
3
f) (2x 3x)dx
g) dxh) dx
i) (x 1)dx
j) (1 x )dx
7
2
3 2
x 4 x 2 1
x(x 5 2)2
x 4 x 2 1
x 2 x 1
x(1 x 7 )
4
k) (2x 1) dx
l) (x 2) dx
m) dxn) (x x )dx
o)
(x 1)6
x 2 dx
x 2 6x 10
x(x 1)2
p)(3x 1)dx
x 2 4x 8
x(x10 1)2
q)dx x 2 6x 25
x 2 x 1
(2x 5)dx
2
r)
x 4 5x 2 6
2
s) dxt) dxu) x 5x 9 dx v) dx
(x 2) 2 (x 3)3
(x 2 2x 5)2
x 2 5x 6
x 4 13x 2 36
12. Tính các tích phân
a)
(x 4 1)dx (x 1)(x 4 1)
b)
(x 2 1)dx (x 1)3 (x 3)
c)
(x 3 1)dx
x3 5x 2 6x
2
(x 1)dx
d)
x 4 x 2 1
x 3x x
5 3
e) dx
(x 2 1)2
f) dx g)
(x 2) 2 (x 3)3
x 2 dx
(x 2 6x 8) 2
2
(3x x 3)dx
h)
(x 1)3 (x 2 1)
i) 2xdx
j) dxk) (x 1)dx
l)
x 2 dx
x 4 3x 2 2
m)xdx
x 4 6x 2 5
x 4 2x3 2x 1
n)(5x 3)dx x 2 10x 29
5x 2 2x 1
(x 2x 1)dx
2
o)
(x 1)(x 2 1)
x 2 4x 3
p)(5x 1)dx (x 2) 2 (x 2 1)
x 3x x
5 3
q) dx
(x 2 1)2
r)
(x 4 3)dx x(x8 3x 4 2)
2
2x 4x 3
s) dx
x 4 x 2
t)dx (x 2 1)(x 2 4)
u) dxv) dxx) dx
(x 2) 2 (x 3) 2
(x 1)2 (x 2 1)
(x 2 1)(x 2 2)
13. Tính các tích phân
a)
(x 2 2x 6)dx (x 1)(x 2)(x 4)
b)dx x 4 2x3 2x 2 x
c)
(2x 2 x 3)dx x3 3x 2 3x 2
x 3x 5x 7
3 2
d) dx
x 2 2
e)
x 2 dx
x3 5x 2 8x 4
f)dx (x 1)(x 2)2 (x 3)3
g)dx x(1 x)(1 x x 2 )
h)dx x5 x4 x3 x2 x 1
i)dx x(4 x 2 ) 2 (1 x 2 )
j)
(x 2 1)dx
x 4 x3 x 2 x 1
k)
(2x 2 x 3)dx x3 3x 2 3x 2
l)
(x5 x 2 1)dx
x 5 x 4 x 3 x 1
m) (x3 x)dx
x6 4x4 4x2 1
n) dx o)
(x 1)(x 2)2 (x 3)2
(x 2 1)dx
x 4 x3 x 2 x 1
p)dx x(x 1)(x 2 x 1)
q)
(x 4 1)dx
x(x 4 5)(x 5 5x 1)
x 3x 5x 7
3 2
r) dx
x2 2
s)dx (x 2 4x 4)(x 2 4x 5)
14. Tính các tích phân
1 x 2
a)
x 4 dx
b) dx c)
x 2 dx
d) dx
e) 3 x 1dx x 1
f)
x 2 dx
3 1 x3
x 2 2
3x 2 2
x3 (1 x)
a 2 x 2 dx
g) xdx
h) dxi)
j)
1 xdx
k) dx
4 x 2
4 x 2
(x 2 a 2 )3
x x 1 x
l)
4x x 2 dx
m) dxn) xdxo) xdx
(1 x 2)3
1 x 2
1 3 x 2
(1 3x )2
4
x
p) dx
q)
dx r) 3 3x x 3 dx
1 x6
x
s)dx
x
3 x2
t)
x3 x 4 dx
u)
x 2 dx
x 2 2
15. Tính các tích phân
x3 2 xdx
x 3 2 x
x4
1 x 3
a)
b)
xdx
c)x 1 1dx 1
d) x
x 1dx x 1
e)x 1 1dx
x 1
x(1 3 x )3
x 3 3 2 x3
1
4 x3 (4 x)
4 x 1
x dx
5
x 1 x3
1 x dx
1 x x
3 1 x 3
f) g)
h) dx
i) dx
j) dx
k)
x 3dx
1 2x x 2
l)
3 1 4
x dx
m) x 2
dx n)
(x 2 4x)dx
o) x 3dx
x 2 2x 2
(a bx 2 )3 / 2
3x 2 1 1
p)
x3dx
q)dxr)
1 x 4
3
x11
x 3dx
s)dxt)xdx
x4 (x 1)3
1 x 2
(1 x 3 )
3x 2 1 1
u)
x3dx
v)
dx x) 3 ax x3 dx
1 3x 4 1
y) x dx z)(x 2)dx x
3 x 2
x 3 x 2
x 2 5x 6
1
16. Tính các tích phân
xx
1 x 2
3 x 1
x 1
xdx
x 2 1 x
3 1 x
a)
dx b)
(x a)(b x)dx
c)
x 1
1 x 2
dx d)
(x a)(b x)
e) dxf)
dx
x
x3
x5
g) x 2
a 2 x 2 dx
h)( x 1 2)dx (x 1)2