b
iv) m ≤ f(x) ≤ M trên [a,b] thì m(b-a) ≤ f (x)dx
a
≤ M(b-a)
g) Định lý trung bình thứ nhất:
b
Có thể bạn quan tâm!
-
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 9 -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 10 -
Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Đã Học Ở Phổ Thông Về Tích Phân, Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm, Nguyên Hàm, Họ Nguyên -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 13 -
Nội Dung Vắn Tắt: Ứng Dụng Của Tích Phân Xác Định. -
Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm Của Hàm Số, Tích Phân Bất Định Và Tích Phân Xác Định.
Xem toàn bộ 146 trang tài liệu này.
Nếu a < b, m ≤ f(x) ≤ M thì μ: m ≤ μ ≤ M và f (x)dx
a
= μ(b-a)
b
Đặc biệt: nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì f (x)dx
a
= f(c)(b-a) , a ≤ c ≤ b.
h) Định lý trung bình thứ hai: Giả thiết như trên, và g(x) không đổi dấu, thì
b
f (x)g(x)dx
a
b
= μ g(x)dx
a
b
Đặc biệt, nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì f (x)g(x)dx
a
b
= f(c) g(x)dx , a ≤ c ≤ b.
a
IV Cách tính tích phân xác định
x
Định lý 7.4.1: Cho hàm số f(x) khả tích trên [a,b], khi đó hàm số Φ(x) = f (t)dx , xác
a
định x [a,b]. Ta có:
i) Φ(x) liên tục x [a,b].
ii) Nếu f(t) liên tục tại t = x thì Φ(x) có đạo hàm tại x và: Φ’(x) = f(x)
Định lý 7.4.2: Nếu f(x) liên tục trên [a,b], và nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
b
(a,b) thì: f (x)dx
a
= F(b) - F(a) (Công thức Newton-Leibnitz).
0
1 xdx
1 1 dx21
2 1
0
a
Ví dụ:1 x 4
= 2 1 x4
= arctgx =
2 0 8
b
Chú thích: Công thức này cũng có thể viết dưới dạng f (x)dx
a
= F(x) b
Định lý 7.4.3 (Công thức đạo hàm theo cận): Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b]. Xét
( x)
hàm Φ(x) =
( x )
f (t)dt , xác định với x thỏa mãn α(x), β(x) [a,b]. Khi đó:
Ví dụ:
cos x
d
e2t dt dx sin x
= - e
Φ’(x) = f(β(x)).β’(x) - f(α(x)).α’(x)
2x(sinx + cosx)
tgtdt
sin x
lim0x0 tgx
= lim = 1
tg(sin x) cos x
sin(tgx)
x0
sin tdt
0
cos2 x
V Một số phương pháp tính tích phân từng phần
1. Đổi biến
b
Xét tích phân f (x)dx , với f(x) liên tục trên [a,b].
a
a) Xét phép đổi biến x = φ(t) thỏa mãn: φ(t) có đạo hàm liên tục trên [α,β], với α, β
thỏa mãn: φ(α) = a, φ(β) = b, và khi t biến thiên trong [α,β] thì x biến thiên trong
b
[A,B] [a,b] và f(x) liên tục trên [a,b], khi đó f (x)dx
a
= f ((t))'(t)dt .
ln 4
Ví dụ:
ln 2
dx , đổi biến x = lnt, khi x biến thiên trong [ln2,ln4] thì t biến thiên trong
ex 1
t 1 4
t
2
2
4 dt 3
[2,4] =>
t(t 1)
= ln
= ln
2
b) Xét phép đổi biến t = φ(x) thỏa mãn: φ (x) biến thiên đơn điệu trên [a,b] và có đạo
hàm liên tục, f(x)dx trở thành g(t)dt, trong đó g(t) là một hàm số liên tục trên đoạn
b
[φ(a),φ(b)], khi đó: f (x)dx
a
( b)
= g(t)dt
(a )
1
Ví dụ:
0
xdx
1 x
, đặt t =
=> dt =
dx, khi x biến thiên từ 0 tới 1 thì t cũng biến
x
2 x
thiên từ 0 tới 1
1
=>
0
xdx
1 2t3dt
1 x
1 t
=
0
1
= 2 (t2 0
t 1)dt
1 2dt
1 t
-
0
= 2 t3 1 -
3 0
t2 1
0
+ 2 t 1
- 2 ln(t 1) 1
0
0
= 5 - 2ln2
3
2. Tích phân từng phần
Giả sử u(x) và v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục trên [a,b], khi đó:
b
udv =
a
uv b
b
a
- vdu
a
3
Ví dụ:xarctgxdx =
0
x2 3
2 arctgx 0 -
3 x2dx
0
2(1 x2 )
= -
2
1 3
2 x 0 +
1 arctgx 3
2 0
= 2-
3
3 2
C. Bài tập
1. Tính các đạo hàm
d y 2
d y 2
d x2
a) e t dt
b) et dt
c) 1 t 2 dt
dx x
dy x
dx 0
d cos x
d y3 dx
d x3 dt
1 x 2
1 t 4
d) cos t 2 dt
e)
f)
dx sin x
dy y
dx x2
2. Tìm các giới hạn
x x
2 2
2
x t 2
(arctgt) dt
cos t dt
e dt
x 2 1
a) lim0
b) lim0
c) lim
0
x
x0x
x
x
e2t2dt
0
x sin x sin x
2xet 2 dt
arctgtdt
t tgtdt
2
d) lim0
e) lim0
f) lim0
xex
x0tgx
x0tgx
3. Tính các tích phân sau
arcsin tdt
0
sin 3 tdt
0
x
x 4
2 1 / 3
x5 2
x 9dx
1 xdx
a)
dx b) x 4 e x dx
c) tg4 xdx
d) sin 6dx e)
(1 x5 )3
f)
1 x
2
3 0 / 6 0 0 0
0
0
1 e 2 1 / 3 1 1
g) dxh) ln x dx
i) earcsin x dx
j)
xdxj) dxk) e xex dx
3x
0 (3 x 2 ) 2 1 0
/ 4
sin 2 x
1 ex
1
2x
1
2 3x
2 ln 2 dx
1 1 x 2
l) xe dx
0
m) x e dx
0
n)
ln 2
o)
ex 1
dx p) 4 dx
3
1
1 x 2
x 2
1 x
1/ 2
/ 2 cos3 xdx1
e ln 2 1
9 4x 2
2 2 x
3 sin x
e x dx e x ex
q) | r)
s) x ln xdx t) e 1dx u) dx
/ 4 0 1 0 0
4. Tính các tích phân sau
2 / 3 x sin x
1/ 2 arcsin xdx
ln 3 1 e x
1 dx
1 x 2
a) x cos
0
xdx
b)
/ 3
dx
cos2 x
c)
0
d) 1 ex dx
e) x 2 3x 2
0
0
3
/ 2
f) e2x cos xdx
0
2
g) cos 3 xdx
0
e
h) (x ln x)2 dx
1
9
i) x3 1 xdx
1
1
j)
1
xdx
x 2 x 1
1 2x 1
4
k) dx
0
1
l)
0
/ 2
arcsin x
x(1 x)
dx m) cot g
/ 6
3 xdx
/ 2
n) cos(ln x)dx
1
3
9 x 2
o) x 2 dx
3
/ 2
p)
0
dx
3 2 cos x
3
q) x3 1
x 2 1dx
r)
ln 5 ex
e x 1
0
dx
ex 3
1 x 4 arcsin x
1 x 2
s) dx
1
1 (x 2 3x)dx
1 dx
e dx
/ 3 dx
x 2 2x 2
0
1
t) (x 1)(x 2 1)
u)
0
v) x(1 ln 2 x)
x)
0
2 3cos x
5. Tính các tích phân
3
a) x5
1/ 2
1 x 2
dx b)
dx
4x 2 4x 5
/ 2
c) (x 2
x) sin xdx
/ 2
d)
ln1 sin x dx
1 cos x
0 1/ 2 0
0
e dxe
1
2 12
/ 4
x
1
e) x x ln 2 x
f) | ln x | (x 1)dx
1
g) x(2 x ) dx
0
h) e
0
sin 2xdx
3 x / 2 dx
0,75 dx
2dx
(x 1) x 2 1
0
i) arcsin
0
1 x dx
j)
0
1 sin x cos x
k)
0
l) sin 4 x cos4 x
1
1 (x x3 ) 3
2 sin 2 x cos x
1 2 / 2
2
0
x
m) 4 1/ 3
dx n) (1 tg2 x) 2 dx
o) cos
2
1
1 xdx
p) x
0
arcsin xdx
1 / 3 (1 tg2 x)dx
4
/ 2
x 3 cos x
sin 5 x | sin x |
q) x arcsin xdx
0
r)
/ 4
(1 tgx) 2
s)
/ 2
dx
9 sin 2 x
t)
dx
9 cos2 x
/ 2
u)
/ 3
dx
sin x cos x 1
/ 4
v)
0
dx
(4 tg2 x) cos2 x
/ 2
x)
0
dx
a 2 cos2 x b2 sin 2 x
/ 2
y) sin x sin 2x sin 3xdx
0
1
z) (x 3 2x 5)e
0
x
2 dx
6. Tính các tích phân
/ 2
a) cosn x cos nxdx
0
/ 2
/ 2
b) sin n xdx
0
1
c) x m1 (1 x)n 1 dx
0
/ 4 sin x cos x 2n1
d) sin 2m x cos2n xdx e) sin n1 x cos(n 1)xdx f)
dx
0 0 0
sin x cos x
7. Với giả thiết các hàm là khả tích trên miền đang xét, chứng minh rằng
b
a) f (x)dx
a
1
= f[a (b a)x]dx
0
a
b) x3f (x 2 )dx
0
2
1a
2
= xf (x)dx
0
(a > 0)
a
c) f (x)dx
a
a
= 0 (f là hàm lẻ) d) f (x)dx
a
a
= 2 f (x)dx
0
(f là hàm chẵn)
a T
e) f (x)dx
a
T
= f (x)dx
0
(f là hàm tuần hoàn chu kỳ T)
8. Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên [0,1] thì
/ 2
a) f (sin x)dx
0
/ 2
= f (cos x)dx
0
b) xf (sin x)dx
0
2
= f (sin x)dx
0
Áp dụng tính các tích phân sau
1 cos x
x sin xdx
c)2
0
/ 2
d)
0
cos3 xdx sin 3 x cos3 x
/ 2
sin xdx
sin x cos x
e)
0
/ 2
f)
0
dx
1 (tgx) 2
/ 2
g)
0
(sin 3 x 1)dx sin 3 x cos3 x 2
/ 2
( cos x 2)dx
sin x cos x 4
h)
0
9. Cho f(x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a,b]. Khi đó f2(x), g2(x) và f(x)g(x) cũng khả tích trên [a,b], với a < b, chứng minh
b 2 b
b
f (x)g(x)dx ≤ f 2 (x)dx g 2 (x)dx
a a
a
10. Cho hàm f(x) khả tích và nghịch biến trên [0,1], chứng minh rằng α (0,1), ta có:
f (x)dx
0
1
≥ α f (x)dx
0
A. Tổng quan
Tuần VIII. Tích phân suy rộng
1. Nội dung vắn tắt: Tích phân suy rộng.
2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các khái niệm về tích phân suy rộng: có cận vô hạn và hữu hạn, định nghĩa, ý nghĩa hình học; các khái niệm: hội tụ, phân kỳ, giá trị của tích phân, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, dấu hiệu so sánh.
3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, liên tục, đạo hàm của hàm số, tích phân bất định và tích phân xác định.