Nội Dung Vắn Tắt: Ứng Dụng Của Tích Phân Xác Định.

| sin x | 1

dx

sin x

i) α > 1, ta có trên [a,+∞)

đối.

x≤

x, mà

hội tụ => 

x

Có thể bạn quan tâm!

• Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Đã Học Ở Phổ Thông Về Tích Phân, Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm, Nguyên Hàm, Họ Nguyên
• Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm Của Hàm Số, Tích Phân Bất Định Và Tích Phân Xác Định.
• Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 13
• Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm Của Hàm Số, Tích Phân Bất Định Và Tích Phân Xác Định.
• Các Kiến Thức Cần Có Trước: Các Kiến Thức Về Hàm Số, Liên Tục, Đạo Hàm Của Hàm Số, Tích Phân Bất Định Và Tích Phân Xác Định.
• Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 17

Xem toàn bộ 146 trang tài liệu này.

a a

dx hội tụ tuyệt

x

ii) 0 < α ≤ 1, ta có 1

khả vi và

lim 1

= 0, còn sinx có nguyên hàm -cosx giới nội

x

sin x

xx

(|-cosx| ≤ 1) => 

a

dx hội tụ.

x



sin x 2 sin2 x

Mặt khác, giả sử 

a

dx hội tụ tuyệt đối, ta có |sinx| ≥ sin x => dx x a x

sin2 x

1 dx

1 cos 2x

hội tụ, mà 

a

dx = -

x

a

2

a

x2

dx , ta có tích phân thứ hai ở vế phải là



x



dx

sin x

hội tụ, vậy

hội tụ, mâu thuẫn => 

x

a a

dx bán hội tụ.

x

iii) α = 0, ta có



sin xdx

a

phân kỳ.

C. Bài tập

1. Tính các tích phân

dx



3

a)

0 1 x



dx

b)

1 x2



c) xex2dx



2

dx

2

d)

2 x2 4



e) 

0

x2 1

dx

x4 1

x ln xdx

1

e x

dx

dx

x ln xdx

0

f) 

0

(1 x2 )2

g) 2 dx

x

1

h) i)

x x2 1

2

j)

x x2 1

2

1 x22



k) 



dx

x2  x  2



l) 



dx

(x2  x 1)2



m) 

0

arctgxdx (1 x2 )3 / 2

n) dx

x x10  x5 1



0

2. Tính các tích phân

1 xdx 1 2

2 x5dx

2 dx

1 ln xdx

1 x2

1

a) b)

0

x ln xdx

0

c) d)

4  x2

0

x ln x

e) 

1 x2

0

1

x

1 ex

f) 3 dx

0

 / 2

g) 

0

x cot gxdx

 / 2

h) 

0

ln(sin x)dx



i) x ln(sin x)dx

0

ln(2 3 x )

3 x

3 dx1

1 xb  xa

4x  x2  3

j) k) dx

1 1

l) 

0

ln x

dx (b > a > 0)

3. Xét sự hội tụ các tích phân

dx

xn dx



n x

a) 

0

chn1x

b) c)

(1 x)(1 x)

0

x e dx

0

4. Xét sự hội tụ các tích phân sau

ex2dx

 tgx

e x

x2  4

x

a) 2 b)

1

ecos2x dx

0

c) 2 dx

x

0

f) 3 dx

x

1

x 2  sin x

x  sin x

x2dx

g) 

0

xe dx

h) 2 dx

x

1

i) 

2

x2  x dx

j) 

0

x4  x2 1

dx

xarctgxdx

dx

ln(1 x2 )

x x2 1

k) l)

1

m)

1 x3

1

n) dx

1 x 3 2  x2

x

0 1

dx

 2 

3  arcsin

1 x x

1

x

x(x 1)(x  2)

x

o) p)

3

1 cos  dx

1 

q) dx

2

x cos x

5. Xét sự hội tụ các tích phân sau

1

cos x 

cos xdx

x

a) sin dx

1

b) dx

x

1

c) 

0

x 10 dx

d) 

3 x2

 / 2



cos xdx

1

e) sin x2dx 0

f) 2x cos x4dx 0

g) h)

x 1

2

sin xe x2 dx

0

1 

x

i) cos x ln 1 dx j) x sin xdx k) cos xe 2 dx l) sin xdx

1 x 0 0 0

4 x

6. Xét sự hội tụ các tích phân sau

1 dx

1 sin xdx1

1 x2dx

1 dx

0

a) tgx  x

b) c)

1 x2

0

d)

xdx

1 x4

0

e)

1 x2

xdx

1

0 e 1

2 dx

2 xdx

1 dx1

2 dx

0

2

0

0

f) (x 1)3

g) x2 1

h) 

 1

1

2

ln(1 x)

i) earcsin x 1

j) (x 1)2

dx

p q 1

 / 2 1 cos x

1 x2dx

0

k) sink x

l) x ln dx

x

0

m) m dx

x

0

n) 

3 (1 x2 )5

0

1 dx

1 dx

1 dx

 / 2

0

0

o) ex  cos x

p) sin x  tgx

q) r)

(2  x) 1 x

0

ln sin xdx

0

7. Xét sự hội tụ của các tích phân sau

xmdx

arctgax

ln(1 x)

dx

0

a) 1 xn

b) n dx

x

0

c) n dx

x

0

d) 

x3  x

0

dx

 / 2 dx

xmarctgx

e) 



x2  x  2

f) 

0

sin xp cosq x

g) 

0

2  xn dx

8. Nếu





f (x)dx

a

hội tụ thì có suy ra được f(x) → 0 khi x → +∞ không? Xét ví dụ

sin(x2 )dx

0

9. Cho hàm f(x) liên tục trên [a,+∞) và không?

lim f (x)

x

= A ≠ 0, hỏi



f (x)dx

a

có hội tụ

Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định

A. Tổng quan

1. Nội dung vắn tắt: Ứng dụng của tích phân xác định.

2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các ứng dụng tính toán sử dụng tích phân suy rộng, trên cơ sở phân tích tổng tích phân, vi phân: tính diện tích, thể tích vật thể bất kỳ, thể tích khối tròn xoay, độ dài đường cong phẳng, diện tích mặt tròn xoay..

3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, liên tục, tích phân xác định.

B. Lý thuyết*

I Sơ đồ ứng dụng tích phân xác định

1. Tổng tích phân

Giả sử cần tính một đại lượng A(x,[a,b]) phụ thuộc x và đoạn [a,b] mà x biến thiên trên đó, A(x) thỏa tính chất cộng tính (theo nghĩa nếu chia [a,b] thành hai đoạn [a,c] và [c,b] thì A(x,[a,b]) = A(x,[a,c]) + A(x,[c,b]). Như thế, khi cần tính A, ta tiến hành các bước như sau:

i) Phân hoạch [a,b] thành n đoạn bởi các điểm a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b

ii) Phân tích A thành tổng n số: A =

n

Ai, với Ai= A(x,[xi-1,xi])

i1

iii) Tìm hàm f(x) có thể biểu diễn gần đúng Ai ≈ f(ξi)(xi - xi-1), ξi [xi-1,xi], sai số không quá Ai.

n

iv) Như thế A ≈ f (i )(xi  xi1 )

i1

v) Áp dụng định nghĩa tích phân xác định, ta có: A =

b

f (x)dx

a

2. Sơ đồ vi phân

Nếu có thể biểu diễn hiệu của giá trị A tại xi và xi-1 dạng ΔAi ≈ f(ξi)(xi - xi-1), ta có:

ΔA ≈ f(ξ)Δx, nếu sai số của biểu diễn này không quá Δx, ta có thể thay dA = f(x)dx,

như thế, A =

b

f (x)dx

a

* Các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường dạng y = y(x), tính thể tích khối tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay đã được học ở chương trình phổ thông, phần này mang tính chất ôn lại và cung cấp thêm công thức tính thể tích vật thể bất kỳ, độ dài đường cong phẳng.

1 n  i 

II Tính giới hạn tổng

lim f 

1 n i 1

nn i1

n 

lim

f 

= f (x)dx

n

n i1 n 



0

4 n

i 2





1 1 1 

1 n1

1 dx

3n2

Ví dụ:

lim 



4n2  4

2

= lim

= 

n

4n 1

nn

i1 0

4  x2

=

1

arcsin x = 

y

y = f1(x)

y = f2(x)

O

a

b

x

Hình 9.1

2 0 6

III Tính diện tích hình phẳng

1. Diện tích hình giới hạn bởi các đường

y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b

b

S = | f1(x)  f2 (x) | dx

a

y

h

- b 2

b

2

O

x

Ví dụ: Tính diện tích của mảnh parabol có đáy a và chiều cao h.

Xét mảnh parabol như trong hình 9.2, phương trình

đường parabol là: y = h -

b

4hx2, diện tích mảnh parabol

b2

Hình 9.2

là: S =

2 4h 

h



2

= 2 bh

b2 x

dx 3

b 



2

x = φ1(y), y = φ2(y), y = c, x = d

y d

d

S = | 1(y) 2 (y) | dy

c

c

O

x

Hình 9.3

x = φ1(x)

x = φ2(x)

2. Diện tích hình giới hạn bởi các đường

3. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

x (t)



y (t)

(t1

y

x (t)



y (t)

O

φ(t1)

φ(t2)

x

Hình 9.2

≤ t ≤ t2), y = 0

Trong công thức ở phần 1, ta chỉ cần thay

dx = φ’(t)dt, f1(x) = ψ(t), f2(x) = 0

t2

S = | (t) '(t) | dt

t1

y ψ(t2)

x (t)



ψ(t1)

y (t)

O

Hình 9.3

x

4. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

x (t)



y (t)

(t1

≤ t ≤ t2), x = 0

Trong công thức ở phần 2, ta chỉ cần thay

dy = ψ’(t)dt, φ1(y) = φ(t), φ2(x) = 0

t2

S = |  '(t)(t) | dt

t1

y

N t0

B

t1 A

M

O

x

Hình 9.3

5. Diện tích hình phẳng tạo bởi đường cong tham số

x (t)



không tự cắt

y (t)

(t1 ≤ t ≤ t2), x(t1) = x(t2), y(t1) = y(t2)

(đường cong khép kín)

Không mất tổng quát, giả sử t1 là điểm sao cho x(t1) ≤ x(t)

t [t1,t2], t0

là điểm sao cho x(t) ≤ x(t0) t [t1,t2]

Ký hiệu A(x(t1),y(t1)) và B(x(t0),y(t0)) như hình vẽ.

Ta có diện tích hình chắn bởi cung

AMB , Ox, x = x(t1), x = x(t0) là:

S1 =

t0

| (t) '(t) | dt

t1

Diện tích hình chắn bởi cung

ANB , Ox, x = x(t3), x = x(t4) là: