Phổ Tần Số Của Hàm Tương Quan Và Hàm Tự Tương Quan

Ví dụ:

FT[nx(n)]=j

dX (e j)

d

(3.38)

Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy

Giải :

x(n) 2n n.u(n)

Có :

FT 2n un

1

1 0,5ej

Theo (3.38) có :

FT[2n

n.u(n)] 

d 1 

j 

0,5.ej

3.2.8. Trễ tần số

d10,5ej

10,5ej2

Khi nhân dãy

x n

với

e j0n ,

trong đó 0

là hằng số, thì hàm tần số X(ej)

không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng 0 , theo chiều ngược với dấu của 0.

Nếu : Thì :

FT[x(n)] X (e j)

FT e j0nx(n)X (e j(0))

(3.39)

Nhận xét: Việc nhân dãy

x nvới e j0n

trong miền tần số n sẽ tương đương với

việc dịch chuyển tần số của phổ

Ví dụ:

X (e j)

đi một lượng 0 .

Tín hiệu số x ncó phổ tần số là

X (e j) FT[x(n)] .

Tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên

y(n) x(n).cos(0n)

Vẽ dạng phổ của y(n)

Giải :

biết phổ của x nnhư hình vẽ với .

0 2

Có :

cos(0n) 

e j0n ej0n

2

Do đó :

FT[x(n).cos(

n)] FT 1 x(n).e j0n 

FT 1 x(n).ej0n 

0 2

2

Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được :

FT[x(n).cos(0

n)] 

1 X (e j(0 ) ) 

2

1 X (e j (0 ) )

2

Xej

1

2



2

0



2



2





Yej

1

2

2



2

0



2



2





1 j (1 j ( 

)

X (e 2 )

2

X (e

2

 )

2 )

3.2.9. Công thức Parseval

Hình 3.4. Phổ của

x nvà y(n)



x nx 

n1



X (e j)X

(e j)d

(3.40)

1 2 21 2

n

Quan hệ (3.40) gọi là quan hệ Parseval.

Trong trường hợp

x1 nx2 nx nquan hệ Parseval cho ta:



Ex 

x(n)

2 1

2

X (e j) d

(3.41)

n2

 2 1 

Hay :

Ex 

n

x(n)

Sxx ().d

2

j2



(3.42)

Trong đó :

Sxx () X (e )

(3.43)

Sxx 

được gọi là phổ mật độ năng lượng của tín hiệu số

x n, nó là hàm

chẵn và đối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, phổ mật độ năng lượng

Sxx chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục tần số.

Ví dụ:

Xác định năng lượng của tín hiệu số hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được.

Giải :

Theo hàm thời gian có :

x(n) 2n u(n)

theo cả hàm thời gian và



Ex 

n



2n u(n) 2 

n0



(2n )2

n0

4n 

1 4

(1 41 ) 3

Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm :

X (e j) 





n

2n u(n).ejn 

1

1 0, 5ej

1

1 0, 5 cosj.0, 5 sin 

Vậy :

X (e j) 1

1

1,25cos

(10,5cos)2 (0,5sin )2

Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval (3.41):

1 1 1 2

 (1, 25 1).tg() 

Ex 

.d .

1, 252  1

arctg 2|

2

1, 25  cos2



1, 252  1

E 1

arctg 3.tgtg 

1 arctg(0) 4

x 0, 75

2 2 

0, 75

0, 753

Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau (ở đây, nếu lấy

arctg(0)  0 thì

Ex 0 , nên phải lấy arctg(0) ).

3.2.10. Phổ tần số của hàm tương quan và hàm tự tương quan

Nếu :

FT[x(n)] X (e j) và

FT[ y(n)] Y (e j)

Thì :

Rxy

(e j) FT r

(n)X (e j).Y (ej)

(3.44)

xy

Nhận xét:

Nếu y(n) là thực ta có:

(3.45)

Rxy

(e j) X (e j).Y (ej) X (e j).Y *(e j)

Nếu

x(n) y(n)

ta có hàm tự tương quan

Rxx

(e j) X (e j)X (ej)

(3.46)

xx xx

Nếu hàm tự tương quan của x(n) thực ta có:

R (e j) X (e j) X *(e j) 

X (e j) 2 S

e j

(3.47)

Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng của tín hiệu.

R (e j) S

e j

(3.48)

xx xx

Quan hệ (3.48) ở trên gọi là định lý Weiner- Khintchine.

j

Đối với biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo ta còn gọi

Rxy (e ) là phổ

j

mật độ năng lượng chéo của

x(n) và y(n) ký hiệu là

Sxy (e )

R (e j) S

(e j) X (e j).Y (ej)

(3.49)

Ví dụ:

xy xy

Cho hai tín hiệu số

x(n)  2n u(n) và

y(n) (n 1) . Hãy phổ mật độ năng

lượng chéo Rxy

(e j) FT r

ncủa hai tín hiệu.

xy

Giải :

Ta có:

X (e j) 

1

1 0, 5ej

, Y (e j) ej

1

e j

Rxy

(e j) X (e j)Y (ej) 

1 0, 5ej

e j

1 0, 5ej

3.3. So sánh biến đổi Fourier với biến đổi Z

Theo biểu thức định nghĩa của biến đổi Z có :



ZT[(x(n)] X (z) x(n)zn

n

(3.50)

Với

RC[X (z)] : Rx | z | Rx

Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực :

z = r.ej(3.51)

Với |z|= r và arg [z] = 



Vậy :

X (z) X (re j) x(n)(re j)n

n

x(n)r nejn n

(3.52)

Khi |z|= r = 1 thì z = ej



Nên :

X (z)

z e j

X (e j) x(n)ejn

n

(3.53)

Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được đánh giá trên vòng tròn đơn vị  z  = 1. Như vậy biến đổi Fourier chỉ là trường hợp riêng của biến đổi Z.

Ví dụ 1:

Cho dãy tín hiệu:

x n4

1 n





u n

Hãy tìm

Giải:

X zvà

X e j.

 1 n 1 1

X z 

n0 4 

zn 

z 

11 z1 4

4

Vậy

X zhội tụ trên vòng tròn đơn vị nên

X e j

tồn tại, ta có:

Ví dụ 2:

Cho dãy tín hiệu:

X (e j) X (z)

z e j

 1

11 e

4

j

Hãy tìm

Giải:

X zvà

X e j.

x nu n



X z

zn  1z

z  1

n0

1z1 z 1

Trong trường hợp này vòng tròn đơn vị

z  1 không nằm trong miền hội tụ của

X z, vậy

X e j

không tồn tại, tức là chuỗi :



FT xnFT unejn

n0

sẽ phân kỳ

3.4. Biểu diễn hệ thống rời rạc dùng biến đổi Fourier

Trong miền thời gian rời rạc n ta có đặc trưng cho hệ thống tuyến tính bất biến

là đáp ứng xung

h(n) và quan hệ vào/ra của hệ thống được thể hiện bởi tích chập:

y(n) x(n) h(n)

h(n)	y(n)

Có thể bạn quan tâm!

• Biến Đổi Z Của Các Dãy Nhân Quả Thường Gặp
• Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số
•    E J ( N  1)   E J ( N  3)    D 
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Tín Hiệu Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N.
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Không Tuần Hoàn Có Chiều Dài Hữu Hạn
• Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Có Chiều Dài Hữu Hạn

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

x(n)

Hình 3.5. Hệ thống tuyến tính bất biến.

Trong miền tần số ta thấy rằng:

x(n) FTX (e j) h(n) FTH (e j) y(n) FTY (e j)

H (e j)	Y (e j

X (e j) )

Hình 3.6. Hệ thống tuyến tính bất biến trong miền tần số .

Quan hệ vào/ra của hệ thống trong miền tần số được biểu diễn bằng phép nhân như sau:

Y (e j) X (e j)H (e j)

(3.54)

H (e j)

Y (e )

j

X (e j)

(3.55)

Ở đây

H (e j)

được gọi là đáp ứng tần số và nó chính là biến đổi Fourier của

đáp ứng xung h(n) hay còn được xác định bằng tỷ số giữa biến đổi Fourier của tín hiệu ra trên biến đổi Fourier của tính hiệu vào.

số .

Đáp ứng tần số

H (e j)

hoàn toàn đặc trưng cho một hệ thống trong miền tần

* Các cách thể hiện của

H (e j)

Biểu diễn theo phần thực phần ảo:

R I

H (e j) H () j H ()



Biểu diễn theo Modul và Argument

(3.56)

H( e j) 

H( e j) e

jargH ( e j) 

(3.57)

H (e j) 

H (e j) e j()

(3.58)

H (e j) : Đáp ứng tần số của biên độ (đáp ứng biên độ)

arg H (e j) () : Đáp ứng tần số của pha (đáp ứng pha)

Biểu diễn theo độ lớn và pha

H (e j) A(e j)e j()

(3.59)

Ví dụ 1:

Cho phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:

y(n) 1 x(n) 1 x(n 1) 1 x(n  2)

4 2 4

a. Tìm

H (e j) , A(e j),() , H (e j) ,() .

b. Vẽ đồ thị của A(e j),() ,

Giải:

H (e j) ,()

trong ,.

a. Tìm h(n),

H (e j)

Đáp ứng xung của hệ thống là đầu ra của hệ thống khi đầu vào là dãy xung đơn

vị trễ nên:

h(n) 1 (n) 1 (n 1) 1 (n  2) 4 2 4





H (e j) h(n)ejn

n

H (e j) 1 1 ej1 e2 j

4 2 4



1 eje jej1 ej

4 2

1 ej1  cos2

H(e j)11 cosejA(e j)e j ( )

2

A(e j) 1 1 cos2

() 

Vì 1 1 cos >0 với mọi nên:

2

H (e j)

1 1 cos, () () 

2

b. Vẽ đồ thị của

A(e j),() , H (e j) ,()

A(ej) H (ej)

1







()









Ví dụ 2:

Hình 3.7. đồ thị của

A(e j),() ,

H (e j) ,() .

Cho hệ thống đặc trưng bởi phương trình sai phân:

y(n) = x(n) +x(n-1)+y(n-2)

Xác định H( e j), H (e j) , () .

Giải:

Biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình trên ta nhận được:

Y( e j)=X( e j)+ ejX( e j)+ ej2 Y( e j) Rút gọn: Y( e j)(1- ej 2)= X( e j)(1+ ej)

Suy ra: H( e j) =

Rút gọn : H( e j) =

Y (e j)

X (e j) =

1

(1 ej)

(1 ej) (1 ej 2)

Hàm truyền đạt phức: H( e j) =

1

(1  cos j sin )

Đặc tính biên độ tần số:

H (e j) =

H (e j) =1

(1  cos )2 sin 2

1

sin(0,5)

Rút gọn:

Đặc tính tần số: arg[H( e j)] = arctg[sin ] = 

Vậy hàm truyền đạt phức là: H( e j) =

3.5. Biến đổi Fourier rời rạc

(1  cos ) 2

e j 0,5

sin(0,5)

IDZ

Miền Z

ZT

DFT

Miền n

Miền k

FT

IDFT IDFT

IFT

Miền 

k

Hình 3.8. Sơ đồ chuyển đổi giữa các miền và sự liên hệ giữa chúng với nhau. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc

trong miền tần số rời rạc

hoặc để ngắn gọn ta gọi là miền k. Thực chất của cách

biểu diễn này là ta lấy từng điểm rời rạc trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z. Để