   E J ( N  1)   E J ( N  3)    D 

Vậy :

FT[2n u(n)] 



1

1 21.ej

1

1 0,5ej

c. (n) 1

Có thể bạn quan tâm!

• Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng Dùng Biến Đổi Z
• Biến Đổi Z Của Các Dãy Nhân Quả Thường Gặp
• Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số
• Phổ Tần Số Của Hàm Tương Quan Và Hàm Tự Tương Quan
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Tín Hiệu Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N.
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Không Tuần Hoàn Có Chiều Dài Hữu Hạn

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

n

Hàm (n) thoả mãn (3.16) nên tồn tại biến đổi Fourier :



FT[(n)] 



(n).ej.n n

1.ej0 1

d. 

n

(n k) 1

Hàm (n - k) thoả mãn (3.16) nên nó có biến đổi Fourier :



FT[(n k)] 



(n k).ejn n

N 1

ejk

e. rect N (n)

n

1

n0

N 

Hàm rect N(n) thoả mãn (3.16) nên tồn tại biến đổi Fourier :



jn

N 1 

jn

1 ejN

FT[rectN (n)] 

rectN(n).e

n

e

n0



1 e

j

Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi (3.16) của nó hội tụ.

3.1.3. Biến đổi Fourier ngược

IFT: Inverse Fourier Transform

Biến đổi Fourier ngược của phổ tín hiệu

X e jđược định nghĩa như sau:

1 

Ký hiệu:

x(n) 

2



X (e j).e jn d

(3.18)

IFT [ X (e j)] 

x(n)

(3.19)

Hay :

X (e j)

IFTx(n)

(3.20)

Ở đây biến đổi Fourier ngược giúp ta xác định được

Ví dụ:

x ntừ

X (e j)

Hãy tìm tín hiệu số

Giải :

x ncó hàm phổ là

X (e j) cos().ej 2.





1 j 2

Theo có :

x(n)  cos()e e j n d

2

x(n) 

1 (e jej)

ej 2e jn d

1 e j ( n1)e j ( n3)d





22 4



x(n) 1 1



e j (n1)

1 e j (n3)

x(n) 

4j(n 1)

1 e j (n1)



|



ej (n1)

j(n 3)

e j (n3)

| 



ej (n3)



x(n) 

4

1

j(n 1)

[e j (n1)

.

ej (n1)]

j(n 3)

1



[e j(n3)

.

ej (n3)]

x(n) 

2(n 1)j2

1 sin[(n 1)] 1 sin[(n 3)]

2(n 3)j2

2 (n 1)2 (n 3)

sin[(n k)]1

khi n k

sin[(n k)]

(n k)

0



Vì :

(n k)

khi n k

(n k)

Nên :

x(n) 

1 (n 1) 

2

1 (n 3)

2

3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier

3.2.1. Tính chất tuyến tính

Biến đổi Fourier của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các biến đổi Fourier của thành phần.

Giả sử có hai tín hiệu

x1(n) ,

x2(n) và biến đổi Fourier của chúng là:

Chúng ta coi

x2(n) như sau:

FT x (n)X (e j)

1 1

j

FT x2(n)X 2(e )

x(n) được tạo bởi tổ hợp tuyến tính của hai dãy

x(n) ax1 (n) bx2 (n)

x1 (n) và (3.21)

Với a, b là các hằng số.

Biến đổi Fourier của

x(n) được cho bởi:

FT x(n)X (e j)



ax1(n) bx2

(n)ejn

n

a x (n)e b x (n)e



jn jn

1 2

j j

nn

Ví dụ:

aX1 (e ) bX2 (e )

(3.22)

Hãy xác định biến đổi Fourier của tín hiệu số

x(n) 1 (n 1) 1 (n 3) 2 2

Giải :





Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có :

X (e j) 

1 (n 1)e

jn 

1 (n 3)e

jn

1 e

j

1 e

j 3

X (e j) 

n2

(e jej)

2

ej 2

n2 2 2

 cos()ej 2

3.2.2. Tính chất trễ

Khi dịch trễ dãy

x n

đi k mẫu thì phổ biên độ tần sốX(ej) không thay đổi,

chỉ có phổ pha tần số () bị dịch đi lượng k.

Nếu :

FT[x(n)] X (e j) 

X (e j) .e j()

(3.23)

Thì :

FT x(n k)ejkX (e j) 

X (e j) .e j[()k]

(3.24)

Nếu k > 0 là

Ví dụ: Hãy tìm : Giải :

x nbị trễ k mẫu, nếu k < 0 là

N

X (e j) FT[2n rect (n)]

x nđược dịch sớm k mẫu.

N

Có 2n rect(n) 2n u(n) 2n u(n N)

Nên : Ta có:

X (e j) FT[2n u(n)] FT[2N.2(nN ) u(n N)]



FT[2n u(n)] 2n u(n)ejn (2e j)n

j

n

1 

n

1

n0

1



n0  2e 

 11 0, 5ej

1 2e j

FT[

2N 2

( nN )

u(n N )] 2N

1

1 0, 5ej

ejN

Vậy :

X (e j

) 1 2N

1 0, 5ej

1

1 0, 5ej

ejN

N

X (e j) FT[2n rect

3.2.3. Tính chất đối xứng

(n)] 

1  (0, 5.ej)N

1 0, 5ej

Xét tín hiệu rời rạc

x nlà tín hiệu phức ta có thể viết:

x( n ) Rex( n )j Imx( n )

(3.25)

Vậy dãy x*(n) là liên hợp phức của

x ncó dạng:

Ta có:

x* ( n ) Rex( n )j Imx( n )

FT[x(n)]=X (e j)

FT[x *(n)]=X *(ej)

(3.26)

(3.27)

Trong đó X*(ej) là liên hợp phức của X(e j)

Nếu

x nlà thực thì:

x(n) x *(n) và

FT[x *(n)]=FT[x(n)]

Vậy đối với tín hiệu

x nthực ta có quan hệ sau đây:

X * (ej)=X (e j)

X * (e j)=X (ej)

(3.28)

(3.29)

Từ quan hệ (3.28) và (3.29) ta có thể nói rằng phổ của tín hiệu thực có tính đối xứng Hermit.

Tức là:

Re X(e j)Re X(ej) (3.30)

Im X(e j)Im X(ej) (3.31)

Re X(e j) là hàm chẵn của .

Im X(e j) là hàm lẻ của . Tương tự ta có:

X (e j) 

X (ej)

(3.32)

arg X (e j)arg X (ej) (3.33)

Ví dụ:

3 n

Cho

x(n) 

4



u(n)

Tính

Giải:

X (e j) , Re X (e j) , Im X (e j) , X (e j) và arg X (e j) .

3 n

FT[x(n)]=X (e j)= x(n)ejn 

n

ejn n4 

13 e j

 3 n1

4 



ej

n4

13 ej

13 ej13 e j

4  4

4

13 cosj 3 sin 



 4 4

3  3 2

Vậy ta có:

1 cos

2  4 

13 cos

Re X (e j) 4

3

32

1 cos

2  4 

3 sin 

3

Im X (e j) 4

32

1 cos

2  4 

1 cos

3

32

4

4



X (e j)  1

3 sin arg X (ej)arctg 4

13 cos

4

Đồ thị của

x n, Re X e j, Im X e j,

X e j

và arg X e j

xn

1

0 1 2 3 4 n

Re X e j

5

0

2



2

Im X e j

2





2

0



2





-2

Xej

4



arg X e j



2

0 

2 2



2

Hình 3.3. Đồ thị của

x n, Re X e j, Im X e j,

X e j

và arg X e j

3.2.4. Tính chất biến đảo

Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo hợp phức.

x nvà

x n

là hai hàm liên

Nếu :

FT [ x( n )] X ( e j) 

FT x(n)X (ej)

X( e j) .e j( )

Nếu

x(n)

là thực thì từ tính đối xứng Hermit (3.28) và (3.29) ta có:

FT x(n)X (ej) X * (e j)

(ej) .e j argX (e )

j

X 



(e j) .ej argX (e j )

X 

(3.34)

Như vậy ta thấy rằng phổ biên độ của 2 tín hiệu phổ pha của chúng thì trái dấu.

Ví dụ:

x nvà

x n

như nhau, còn

Hãy tìm



Giải :

X e jFT 2nu n

FT [ 2n u( n )] 

2n u( n )ejn n

j

1 n 1 1



n0 2e 

Theo tính chất biến đảo có :

 11  0,5ej

12e j

FT 2nu(n)

1

1 0,5e j

3.2.5. Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy

Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy bằng tích của hai biến đổi Fourier thành

phần.

Nếu :

FT[x1 (n)] 

X1 (e j) và

FT[x2 (n)] 

X 2 (e j)

Thì :

Ví dụ:

Y (e j) FTx1(n) * x2(n)

X1 (e j).X 2 (e j)

(3.35)

Hãy tìm

Giải :

Ta có:

X e jFT 2n u n*n 1

FT 2n un

1 và

1 0,5ej

1

FT n1ej

ej

Vậy :

X e j

1 0,5ej

ej

1 0,5ej

3.2.6. Biến đổi Fourier của tích hai dãy

Biến đổi Fourier của tích hai dãy bằng tích chập của hai biến đổi Fourier thành

1 1

phần.

Nếu :

FT[x (n)] X (e j) và

FT[x2 (n)] X 2

(e j)

Thì :

FT x1(n).x2(n)

1 

X1 (e

j

).X 2 (e

j ()

)d

(3.36)

Hay :

2

1 2 1 2

FT x (n).x (n)X (e j) * X

(e j)

(3.37)

Quan hệ (3.36) và (3.37) được gọi là tích chập liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2. Nhận xét:

Tích

x (n) x (n).x (n) thường được dùng trong trường hợp chúng ta nghiên

3 1 2

cứu

x1(n) có chiều dài rất dài, để giới hạn chiều dài của

x1(n)

ta nhân nó với

x2(n) có

chiều dài hữu hạn gọi là cửa sổ, như ta có thể dùng cửa sổ chữ nhật

x2(n) rectNn.

Sau này ta sẽ dùng rất nhiều kỹ thuật cửa sổ này để tổng hợp bộ lọc số FIR.

3.2.7. Vi phân trong miền tần số

Nếu Thì:

FT[x(n)]=X (e j)