Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Không Tuần Hoàn Có Chiều Dài Hữu Hạn

~

x1(m)6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n

`

~

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

Có thể bạn quan tâm!

•    E J ( N  1)   E J ( N  3)    D 
• Phổ Tần Số Của Hàm Tương Quan Và Hàm Tự Tương Quan
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Tín Hiệu Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N.
• Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Có Chiều Dài Hữu Hạn
• Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp Ứng Xung Chiều Dài Hữu Hạn (Fir)
• Đáp Ứng Xung H ( N ) Của Bộ Lọc Chắn Dải Lý Tưởng.

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

x 2 (m)6

` `

~ ~

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

x1(0)6 . x2 (0)6

`

~

x2 (1 m)6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

` `

x1(1)6 .x2 (1)6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

~ ~

`

~

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

x2 (2 m)6

` `

x1(2)6 . x2 (2)6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

~ ~

`

~

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

x2 (5 m)6

` `

~ ~

x1(5)6 . x2 (5)6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n

Hình 3.13. Đồ thị thực hiện quá trình tính tích chập.

Vậy

~

x3( 0 )  1

~

x3(1)  2

~

x3( 2 )  3

~

x3( 3 )  3

~

x3( 4 )  2

~

x3( 5 )  1

~

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

x3 (n)6

e. Tích của hai dãy

Hình 3.14. Đồ thị của

~

x3 (n)6

Nếu chúng ta coi tích của hai dãy tuần hoàn

x°nvà

x°ncó cùng chu kỳ N là

1

2

3

một dãy

x°ntuần hoàn cũng có chu kỳ N như sau :

Và nếu chúng ta có:

Thì:

x%3 nx%1 ngx%2 n

1

2

3

DFT[x°(n) ] °X1 kDFT[x°(n) ] °X2 kDFT[x°(n) ] °X3 k

(3.82)

1 2

N 1

°X3 k°X1 k%°X2 k1°Xl°Xkl 

(3.83)

N N l 0

Như vậy ta thấy rằng trong miền n là tích đại số bình thường thì trong miền k

(miền tần số rời rạc) sẽ là tích chập, điều đáng chú ý là tích chập trong miền k cũng là

tích chập rời rạc nó chỉ khác hệ số tỷ lệ 1 .

N

Mặt khác chúng ta nhớ lại rằng nếu chúng ta biểu diễn tín hiệu trong miền tần số liên tục , trong miền n là tích chập bình thường, thì trong miền là tích chập, nhưng tích chập này là tích chập liên tục được định nghĩa bởi một tích phân.

f. Tương quan tuần hoàn

Nếu chúng ta coi tích của hai dãy tuần hoàn

x°n

và x°ncó cùng chu kỳ N thì

1

2

hàm tương quan chéo của hai dãy này sẽ được tính toán trên một chu kỳ và được cho bởi công thức sau :

N 1

r%nx°mx±mn

(3.84)

x%1x%2

1 2

m0

Vậy ta thấy rằng hàm tương quan chéo của hai dãy cùng có chu kỳ N là một hàm tuần hoàn cũng có chu kỳ N.

Bây giờ a xét trong miền k

Nên ta có:

Thì ta có:

Nếu là thực thì

DFT[x°(n) ] °X1 kDFT[x°(n) ] °X2 k

1

2

x1 x2 x1 x2

DFT[r%%%(n) ] R°%%k 

x1 x2

R°%%k °X 1 k g°X 2 k 

2 2

x±nx°n, ta có:

(3.85)

°Xk °*

2 X 2 k

R°k°Xkg°X

k 

(3.86)

2

x%1x%2 1 2

1

Quan hệ này cũng đúng đối với các dãy chéo của chúng được định nghĩa như sau :

x°nvà

x°n

là phức, nếu tương quan

N 1 *

r%nx°mx±mn

(3.87)

Ví dụ 2:

x%1x%2

1 2

m0

1 8

2 8

vẽ:

Cho hai dãy tuần hoàn

x°nvà

x°n

có chu kỳ tuần hoàn N=8 như hình

`

~

`

~

0 1 2 3 4 5 6 7 8

n

x1 (n)8

2 8

x2 (n)8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

n

1 8

Hình 3.15. Đồ thị của

x°nvà

x°n

x1x2

Tính hàm tương quan chéo

Giải:

r%%%n

của hai dãy này trên một chu kỳ.

Theo công thức (3.84) ta có:

81

r%nx°mx±mn

x%1x%2

1 2

m0

Vậy ta tính r% ntrong một chu kỳ tức là tính từ r%

0đến r%

7.

x%1x%2

x%1x%2

x%1x%2

x1(m)

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

m

8

x2 m 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

m

8

x2 m1

m

`

x2 m 4

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

m

x2 m 7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

m

8

Hình 3.16. Đồ thị mô tả quá trình dịch chuỗi

x%2 m

r%

r%

r%

Sau khi tính toán ta có kết quả sau:

x1 x2

r%%% 0 2,5

x%1x%21 2,5

x%1x%22 2,5

x%1x%23 2, 25

r% 4 1,75

r% 5 1, 25

r% 6 0,75

r% 7 1,5

x%1x%2

x%1x%2

x%1x%2

x%1x%2

r

x1 x2

n

3

n

Hình 3.17. Hàm tương quan chéo

r%%%n.

x1x2

3.5.2. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn

3.5.2.1. Các định nghĩa

Biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N có ưu điểm nổi bật là DFT và IDFT đều thực hiện cùng một thuật toán, nhưng trên thực tế các tín hiêu không phải lúc nào cũng tuần hoàn.

Xét một dãy không tuần hoàn

1

-1 0 1 2 3 4

L-1 L

n

x(n)L

x(n)L

có độ dài hữu hạn L như sau:

Hình 3.18. Dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn.

Ta có thể coi dãy

N, như sau:

x(n)L là một chu kì của dãy tuần hoàn

1

-1 0 1 2 3 4

N-1 N

n

xP (n)

xP (n) với chu kì bằng

Hình 3.19. Dãy tuần hoàn với chu kỳ N có chiều dài hữu hạn.

Khi đó:

x (n) x(n aN)

, với a là hằng số.

P L

Nếu N < L thì dãy

x(n)L

sẽ bị biến dạng do sự chồng thời gian. Để không xảy

ra hiện tượng chồng thời gian và dãy x(n)L không bị biến dạng thì dãy tuần hoàn phải có chu kì thoả mãn điều kiện: N ≥ L

xP (n)

Với N ≥ L, ta có thể sử dụng định nghĩa của biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy

tuần hoàn có chu kỳ N để làm định nghĩa cho của biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy có chiều dài hữu hạn L nhưng không được tuần hoàn hóa mà chỉ lấy từ 0 đến (N-1).

Biến đổi thuận:

- Ký hiệu: :

X (k) DFT[x(n) ]

N N

Hoặc

DFT

x(n)NX (k)

N

N 1

- Biểu thức:

Biến đổi ngược:

X(k) =x( n ) .ejk1n

N L

n0

(3.88)

- Ký hiệu: :

x(n) IDFT[ X (k) ] hoặc X (k) IDFTx(n)

N N N N

- Biểu thức:

x(n)

 1X (k) .e jk1n

N

(3.89)

N 1

L

N k 0

Trong đó:

2

Biểu diễn :

1 N

W

kn

N

ejk1n

được gọi là hệ số pha.

Dạng phần thực và phần ảo: X(k)N = XR(k)N + jXI(k)N (3.90)

Phần thực: Phần ảo:

X R (k)N

X I (k)N

N 1



= x( n )N .cos( k1n ) (3.91)

n0



N 1

= - x( n )N .sin( k1n ) (3.92)

j(k )

n0

Dạng độ lớn và pha:

X (k)N A(k)N .e

(3.93)

Hàm độ lớn có thể nhận giá trị dương hoặc âm và:

A(k)N

X (k)N

Dạng mô đun và argument: X(k) X(k) .e j( k )

(3.94)

N N

X 2 (k) X 2 (k)

R N I N

Mô đun: X(k)N 

(3.95)

X(k)N là dãy biên độ tần số, hay phổ biên độ rời rạc.

Argument:

(k)  arctg XI (k)N 

(3.96)

X (k) 

(k)

là dãy pha tần số, hay phổ pha rời rạc.

R N 

Nhận xét:

X(k)N

là dãy chẵn và đối xứng qua trục tung, còn

(k) là dãy lẻ và

đối xứng qua gốc toạ độ.

Ví dụ 1:

Tìm biến đổi Fourier rời rạc của dãy có chiều dài hữu hạn sau:

Giải:

x(n) (n)

0

Ta có: ( n ) 1



Áp dụng định nghĩa:

n=0 n 0



N1 

x(n) .e

jk1n

0 k N 1

X(k)N =

L

n0

Vậy :

X(k)N

0

1

=

0

0 k N 1

k cßn l¹i

k cßn l¹i

Ví dụ 2:

Tìm

DFT rectL(n)N, với N ≥ L.

Giải:

Ta có hàm phổ rời rạc:

N 1

jkn

L1

jkn

1ejk1L

DFT rectL(n)NrectL(n)N.e

n0

1 e

n0

1 

1e

jk1

jk 2L

jk L jk L jk L

N )

DFT rect

(n)

 1e

N e

N (e N e N )

N

N

L N 1e

jk 2



jk

e N (e

jk e

jk 

Hay:

DFT rect

(n)

sin(kL / N ).ej k( L 1)

N

L N

Xét trường hợp đặc biệt N = L:

sin(k/ N )

Với 0 k  (N 1) thì sin(k) 0 , còn sin(k/ N) 0 với mọi k.

Tại k = 0, ta có:

lim

sin(k)

N

.ej k( L1)

lim

.cos(k) N

Do đó :

k0 sin(k/ N)

k0 (/ N).cos(k/ N)