Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Tín Hiệu Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N.

chuyển tín hiệu và hệ thống rời rạc sang miền tần số rời rạc chúng ta dùng một công cụ toán học gọi là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform: DTF).

3.5.1 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N.

3.5.1.1. Các định nghĩa

sau:

Giả sử chúng ta có dãy tuần hoàn có chu kỳ N là

x%nx%nlN 

x%n. Chúng ta có thể viết như

Có thể bạn quan tâm!

• Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số
•    E J ( N  1)   E J ( N  3)    D 
• Phổ Tần Số Của Hàm Tương Quan Và Hàm Tự Tương Quan
• Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Không Tuần Hoàn Có Chiều Dài Hữu Hạn
• Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Dãy Có Chiều Dài Hữu Hạn
• Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp Ứng Xung Chiều Dài Hữu Hạn (Fir)

Xem toàn bộ 272 trang tài liệu này.

(3.60)

Ở đây l là số nguyên

Hình 3.9. cho một ví dụ về dãy tuần hoàn có chu kỳ N=6

x(n)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

Hình 3.9. Dãy tuần hoàn có chu kỳ N=6

Ta đã biết rằng biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z hay nói cách khác biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được thực hiện trên vòng tròn đơn vị.

Nhưng đối với một dãy tuần hoàn bất kỳ với chu kỳ N là

x%n, ta thấy không cần thiết

phải thực hiện biến đổi Fourier liên tục mà chỉ cần lợi dụng tính chất tuần hoàn của

x%n

với chu kỳ N và tính tuần hoàn của biến

e jchu kỳ 2π , nghĩa là chỉ cần lấy các

điểm đặc biệt 2trên đường tròn đơn vị tương ứng với chu kỳ N của tín hiệu tuần

N

hoàn

x%n.

Ví dụ 1:

Chia 8 phần: 2k 2k k, k  0  7

k N 8 4

Im[Z]

Re[Z]

R=1

Hình 3.10. Vòng tròn đơn vị được chia thành 8 điểm.

Khi biến đổi DFT đối với tín hiệu tuần hoàn, đúng ra là ta phải xét từ −∞ đến ∞ nhưng trên thực tế, khi biến đổi thường nghiên cứu trong một chu kỳ từ 0 đến N - 1 để xét cho dễ, các chu kỳ khác coi bằng 0 vì theo tính chất tuần hoàn.

Ta thấy rằng một dãy tuần hoàn có chu kỳ N có thể được biểu diễn bởi một chuỗi Fourier, tức là tổng của các dãy sin và cosin hoặc bởi tổng các hàm mũ phức có

2

tần số cơ bản .

N

Chúng ta có thể biểu diễn dãy tuần hoàn có chu kỳ N

x%ndưới dạng sau đây:



x%n1N1 °Xke N k 0

Và biểu diễn °X k như sau:

j 2nk N

(3.61)

N 1

°Xkx%ne

k 0

j 2nk N

(3.62)

a. Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc

Biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hoàn nghĩa như sau:

x%n

có chu kỳ N được định

N 1

°Xkx%ne

k 0

j 2nk N

(3.63)

Nếu chúng ta đặt:

WN e

j 2

N

Ta có:

N

Wkn e



j 2 kn N

j 2 kn

(3.64)

N

W kn e N

Vậy ta có thể viết lại biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc như sau:

°Xkx%nW

N 1

kn

N

(3.65)

k 0

Ta ký hiệu biến đổi Fourier rời rạc là DFT (Discrete Fourier Transform) và có ký hiệu toán tử như sau:

DFT x%(n)°Xk

Hoặc

x%(n) DFT°Xk

Ví dụ 2:

Xác định °X k của dãy tuần hoàn

x%nn với chu kỳ N = 4.

Giải :

Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận có :

°Xkx%nWne

N 1 3

kn

N

j 2kn

4

ne

j kn

2

3

k 0

k 0

k 0

3

Tạik = 0 : °X0ne

k 0

j n0

2  0 1 2  3  6  6e j 0

3

Tạik = 1 : °X1ne

k 0

j n

2

 0 e

j 

2  2e

j 3e

j 3

2

j  2  3 j 2  2 j  3ej 0,78

3

Tạik = 2 : °X2nejn  0 ej 2ej 2 3ej 3

k 0

1 2  3 2  2ej

3

Tạik = 3 : °X3ne

k 0

j 3n

2

 0 e

j 32

 2e

j 3 3e

j 9

2

j  2  3 j 2  2 j

 3e j 0,78

Trên hình 3.11. là đồ thị của dãy dãy biên độ tần số °X k , pha tần số:

x%nn

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

xn

có chu kỳ N = 4, và đồ thị của các

-8 -7 -6 -5 -4 -3

n

-2 -1 0 1 2 3 5 6 7 8 9

6 6

3 2 3 3

Xk

6 6

2 3 3 2 3 3 2 3

n

-8 -7

-6 -5

-4 -3

-2 -1

0 1 2

3,14

3,14

3,14

3,14

0,78 0,78 0,78 0,78

-8 -6 -5 -4 -2 -1

-0,78 -0,78

-0,78

2 3 5

7 8 9

-0,78



3 5 6

7 8 9

n

Hình 3.11. Đồ thị của dãy

x%nn , °X k , pha tần số.

b. Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngược

Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT được định nghĩa như sau:



x%n1N1 °Xke N k 0

j 2nk N

(3.66)

Hoặc:

x%n1N1 °XkWkn

N

(3.67)

N k 0

Chúng ta ký hiệu biến đổi Fourier rời rạc ngược là IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform) và ta có ký hiệu toán tử như sau:

IDFT °Xkx%n

°XkIDFTx%(n)

Lưu ý: Cách tính IDFT hoàn toàn giống DFT chỉ khác dấu (-) , (+) và hệ số 1/N trước dấu . Vì vậy ta chỉ cần xét DFT rồi suy ra biến đổi IDFT. Về mặt thuật toán là như nhau.

Chú ý rằng trong những trường hợp cần nhấn mạnh chu kỳ của dãy tuần hoàn ta dùng ký hiệu sau:

N

N

x%nvà°Xk

Tức là dãy tuần hoàn có chu kỳ N

c. Biểu diễn DFT dưới dạng ma trận

Xuất phát từ biểu thức (3.65):

°Xkx%nW

N 1

kn

N

k 0

Ta khai triển:

N N N N

°X0x%0W0x%1W0x%2W0 ............... x%N1W0

N N N N

°X1x%0W0x%1W1x%2W2 ............... x%N1WN1

N N N N

°X2x%0W0x%1W2x%2W4 ............... x%N1W2N1

.

.

.

N N N N

°XN1x%0W0x%1WN1 x%2W2(N1)  ............... x%N1WN1N1

Vậy ta có thể viết dưới dạng ma trận như sau :

°Xk WNx%n

(3.68)

Ở đây :

°X0

x%0



°X



1



%

x 1



°°X2x%2

Xkx%n

. . 



. . 



°XN1x%N1



W0 W0 W0 ... W0 

N N N N 

N N N N

W0 W1 W2 ... WN 1

W0 W2 W4 ... W2N 1



W .

N N N N 



N 

.

.



W0

WN 1

W2N 1... WN 1N 1

N N N N 

3.5.1.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn có chu kỳ N

a. Tính chất tuyến tính:

DFT của tổ hợp tuyến tính các dãy hữu hạn bằng tổ hợp tuyến tính các DFT thành phần.

Nếu ta có hai dãy

x°nvà

x°nlà hai dãy tuần hoàn có cùng chu kỳ N và nếu

1

2

3

1

x°nlà tổ hợp tuyến tính của

x°nvà

x°n:

2

3 1 2

x°nax°nbx°n

Ở đây a, b là các hằng số.

Nếu :

Ta có :

b. Tính chất trễ

DFT x%1(n)±X1k

DFT x%2 (n)±X2k

DFT x%3(n)±X3ka±X1kb±X2k

(3.69)

Nếu

x%nlà dãy tuần hoàn có chu kỳ N và:

Thì nếu

DFT x%n°Xk

x%nn0là dãy trễ của dãy

x%ncũng là tuần hoàn có chu kỳ N thì:

DFT x%nn0

 Wkn0°Xk

(3.70)

N

Tương tự đối với biến đổi Fourier rời rạc ngược ta cũng có:

N

c. Tính đối xứng

IDFT °Xkk0

 Wkn0x%n

(3.71)

Nếu

Thì :

x%n

là dãy phức và :

N

DFT[x%(n) ] °X (k)

DFT x%*(n)°X *(k)

DFT x%*(n)°X *(k)

2

DFT Re x%( n )1°X ( k ) °X *( k )

2 j

DFT Im x%( n )1 °X ( k )°X *( k )

(3.72)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

Ở đây dãy * là liên hợp phức.

Trong thực tế thường chúng ta hay xử lý những tín hiệu thực, vậy bây giờ ta xét

tính đối xứng của DFT đối với dãy

x%nthực.

Nếu

x%nthực thì:

Re°X k Re°X k 

Im°X k Im°X k 

(3.76)

(3.77)

°X (k) 

°X (k)

(3.78)

arg é°X (k)ù= -

arg é°X (- k)ù

(3.79)

êë úû

d.Tích chập tuần hoàn

ëê úû

Ta có tích chập tuyến tính:

x3 nx1 n* x2 n



x1mx2nm

m

Tích chập tuần hoàn (lấy cùng một chu kỳ) được biểu diễn như sau:

x%3 nx%1 n*%

x%2 nx%1 mx%2 nm

N 1

N m0

(3.80)

Bây giờ chúng ta xét trong miền k

2

Nếu:

DFT[x°(n) ] °X1 kDFT[x°(n) ] °X2 kDFT[x°(n) ] °X3 k

1

3

3 1 2

Thì:±Xk±Xkg±Xk

Ví dụ 1:

(3.81)

Cho hai dãy

x1 (n) rect3 (n), x2 (n) rect4 (n)

~ ~ % ~

6

6 6

6

Hãy tính chập tuần hoàn

Giải:

x3 (n) = x1 (n) (*) x2 (n)

`

~

x1 (n)6

n

0 1 2 3 4 5 6 7

`

~

0 1 2 3 4 5 6 7

x2 (n)6

6

Ta có:

Hình 3.12. Đồ thị của

x%1 (n) và

n

6

x%2 (n)

6

6 6 6

x%3 (n) x%1 (n) (%)x%2 (n)

5

x%1 (m)6x%2 (n m)6

m0