- Khoảng cách từ điểm A2 đến trục Ox bằng khoảng cách từ điểm A3 đến trục Oz (A2Ax = A3Az).
3.2.2.2. Cách vẽ hình chiếu thứ ba từ hai hình chiếu của điểm
Dựa vào 3 tính chất đồ thức của điểm đã nêu ở trên, ta có thể vẽ được hình chiếu thứ ba khi cho trước 2 hình chiếu của điểm.
Ví dụ:
Cho đồ thức với 2 hình chiếu A1, A2 của điểm A và 2 hình chiếu B1, B2 của điểm B. Hãy vẽ các hình chiếu thứ 3 là A3 và B3 của hai điểm đó (hình 3.12).
- Vẽ A3:
+ Từ A2 kẻ đường dóng ngang cắt trục Oy thẳng đứng tại Ay (gọi là Ay thẳng đứng).
+ Từ điểm Ay này, dùng compa quay một phần tư cung tròn tâm O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, cắt trục Oy nằm ngang tại Ay (gọi là Ay nằm ngang).
+ Từ Ay nằm ngang, kẻ đường dóng đứng cắt đường dóng ngang từ A1 tại đâu thì đó chính là A3 (hình 3.12a).
- Vẽ B3:
+ Từ B2 kẻ đường dóng ngang cắt trục Oy thẳng đứng tại By thẳng đứng.
+ Từ điểm By này, dùng compa quay một phần tư cung tròn tâm O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, cắt trục Oy nằm ngang tại By nằm ngang.
+ Từ By nằm ngang, kẻ đường dóng đứng cắt đường dóng ngang từ B1 tại đâu thì đó chính là B3 (hình 3.12b).
A1
A3
x
O Ay
y
A2
Ay
y
Ax
z z
B 2 B y
B x
B y
x O y
B1 B 3
y
a) b)
Hình 3.12. Cách vẽ hình chiếu thứ ba của điểm
a) Vẽ hình chiếu A3 ; b) Vẽ hình chiếu B3
3.2.2.3. Chuyển từ tọa độ Đề các (Descartes) sang đồ thức
Như trong mục 3.2.1 ở trên đã chỉ ra là các trục chiếu x, y, z vuông góc với nhau
từng đôi một
x y z
cho nên ta có thể đặt các hệ trục tọa độ Đề các thẳng góc trùng
vào các trục chiếu đó và các mặt phẳng tọa độ trùng với từng mặt phẳng hình chiếu: (xOy) ≡ P2; (xOz) ≡ P1; (yOz) ≡ P3.
Khi đó như trên hình 3.10 ta có:
XA = OAx - là độ xa cạnh của điểm A;
YA = OAy = A2Ax = A3Az - là độ xa của A;
ZA = OAz = A1Az - là độ cao của A.
Từ các đẳng thức trên ra có thể vẽ được đồ thức của điểm A khi cho các tọa độ XA, YA, ZA của nó.
Ví dụ:
Cho điểm M(2; 4; -2). Hãy vẽ đồ thức của M
XM = 2
Ta có:
Y = 4
M
Z = -2
M
Kết hợp XM, ZM ta vẽ được M1 (hình 3.13). Kết hợp XM, YM ta vẽ được M2.
Kết hợp YM, ZM ta vẽ được M3.
z
2
4
x 0 y
M1
2
M
3
M2
4
y
Hình 3.12. Vẽ đồ thức điểm M từ tọa độ x, y, z
3.2.3. Hình chiếu của đường thẳng
3.2.3.1. Khái niệm
Một đường thẳng xác định bởi hai điểm, vậy hình chiếu của đường thẳng chính là hình chiếu của hai điểm thuộc đường thẳng đó (hình 3.14).
3.2.3.2. Các đường thẳng đặc biệt
a. Đường mặt (f)
Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1: f // P1 (hình 3.15, 3.16).
P1
B1
B 3
A1
P3
AB 2A
A2
O
3
P2
B
z z
B1
B3
A1
A3
B
A2
y
O
2
x x y
Tính chất:
y
Hình 3.14. Hình chiếu của đường thẳng
- Hình chiếu bằng của đường mặt song song với trục x (f2 // x) và ngược lại nếu đồ thức của đường thẳng có hình chiếu bằng song song với trục x thì đường thẳng đó là đường mặt (hình 3.16).
- Độ lớn của hình chiếu đứng của đoạn thẳng AB thuộc đường mặt bằng độ lớn thật của đoạn AB trong không gian: A1B1 = AB.
- Góc của hình chiếu đứng hợp với trục x bằng góc của đường mặt với
mặt phẳng hình chiếu bằng.
B1
f1
f
A1
B
A
A2
B2
f2
B1
f 1
A1
x
f2
A2 B2
Hình 3.15 Hình 3.16
b. Đường bằng (h)
Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2: h // P2 (hình 3.17, 3.18).
Tính chất:
- Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x (h1 // x), và ngược lại đồ thức của đường thẳng có hình chiếu đứng là đường thẳng song song với trục x thì đường thẳng đó là đường bằng (hình 3.18).
A 1
B 1
A
A 2
B
B 2
A 1 B 1
h 1
x
A 2
B 2 h
2
Hình 3.17
Hình 3.18
- Độ lớn của hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB thuộc đường bằng bằng độ lớn thật của đoạn AB trong không gian: A2B2 = AB.
- Góc của hình chiếu bằng hợp với trục x bằng góc của đường bằng với
mặt phẳng hình chiếu đứng.
c. Đường cạnh (s)
Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3: s // P3 (hình 3.19, 3.20).
P1
z
E 1
E
E
3
F1
P3
x
F
E2
s
s3
F3
F2
P2
y
z
E 1
a
E3
F1
s
3
x
F3
b
E2
F2
s
1
s
2
y
Hình 3.19 Tính chất:
Hình 3.20
(hình 3.20).
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh trùng nhau: s1 ≡ s2
- Độ lớn của hình chiếu cạnh của đoạn thẳng EF thuộc đường cạnh bằng
độ lớn thật của đoạn AB trong không gian: E3F3=EF.
- Góc của hình chiếu cạnh s3 với trục z bằng góc nghiêng của đường cạnh với mặt phẳng hình chiếu đứng, và góc của hình chiếu cạnh với trục x bằng góc nghiêng của đường cạnh với mặt phẳng hình chiếu bằng.
d. Đường thẳng chiếu đứng (t)
Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng: t P1 (hình 3.21, 3.22).
t1 A1 B1 x A2 t2 B2 Hình 3.22 |
Có thể bạn quan tâm!
-
Chia Đường Tròn Thành 3 Phần Và 6 Phần Bằng Nhau -
Chia Đường Tròn Thành 5 Phần Và 10 Phần Bằng Nhau -
Hình Chiếu Của Điểm, Đường Thẳng Và Mặt Phẳng -
Đường Thẳng Và Điểm Thuộc Mặt Phẳng -
Cách Vẽ Giao Tuyến Của Mặt Phẳng Với Khối Đa Diện -
Cách Vẽ Giao Của Lăng Trụ Chiếu Đứng Với Mặt Cầu
Xem toàn bộ 116 trang tài liệu này.
P1
Tính chất:
- Hình chiếu đứng suy biến thành 1 điểm (hình 3.22).
- Hình chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với trục x: t2 x
- Độ lớn của hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng độ lớn thực của đoạn AB trong không gian: A2B2
= A3B3 = AB.
e. Đường thẳng chiếu bằng (l)
Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng: l P2 (hình 3.23, 3.24).
l 1 C1 D1 x l 2C 2 D 2 Hình 3.24 |
Tính chất:
- Hình chiếu bằng suy biến thành 1 điểm (hình 3.24).
- Hình chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với trục x.
- Độ lớn của hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng CD thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng độ lớn thực của đoạn CD trong không gian: C1D1=C3D3=CD.
f. Đường thẳng chiếu cạnh (m)
Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh: m P3 (hình 3.25, 3.26).
E 1 F 1 m E F m 3 3 3 1 x m2 E 2 F 2 | |
Hình 3.25 | Hình 3.26 |
Tính chất:
- Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành một điểm
(hình 3.26).
- Các hình chiếu đứng và hình chiếu bằng cùng song song với trục x: m1 // m2 // x.
- Đoạn thẳng EF trên đường thẳng chiếu cạnh thì có hình chiếu đứng và
hình chiếu bằng bằng độ dài thật của EF trong không gian: E1F1 = E2F2 = EF.
3.2.3.3. Điểm thuộc đường thẳng
a. Đường thẳng không phải là đường cạnh
Định lý: điều kiện ắt có và đủ để một điểm thuộc đường thẳng là hình chiếu đứng của điểm phải thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, và hình chiếu bằng của điểm cũng phải thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng
Giả sử điểm A thuộc đường thẳng m, thì:
A1 m1, A2 m2
A1
A2
m1
(hình 3.27).
x
m2
Hình 3.27. Điểm A thuộc đường thẳng m
Ví dụ:
Cho đồ thức đường thẳng a(a1, a2) như hình 3.28. Hãy vẽ điểm M thuộc a sao
2cm
cho M có độ cao là 2cm?
a1 y M1 x a2 M2 Hình 3.28. Tìm điểm M thuộc đường thẳng a có độ cao là 2cm |
b. Điểm thuộc đường cạnh
Định lý của điểm thuộc đường thẳng đã nêu trên là chưa chắc đúng, nếu đường thẳng là đường cạnh (hình 3.29).
z P 1 P 3 I 1 I 3 Q1 Q3 x y P 2 I 2 Q2 y | |
Hình 3.29. Điểm không thuộc đường cạnh | Hình 3.30. Điểm thuộc đường cạnh |
Định lý: điều kiện để một điểm thuộc một đường cạnh là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, và hình chiếu cạnh của điểm thuộc hình chiếu cạnh của đường thẳng (hình 3.30).
* Chú ý:
Để xác định một điểm thuộc đường cạnh ta còn có thể sử dụng tính chất bảo toàn tỉ số đơn trong phép chiếu song song thể hiện bởi cách vẽ như ví dụ sau:
Ví dụ:
Cho đường cạnh AB(A1B1, A2B2) và cho hình chiếu đứng của điểm C (C1) biết C AB. Hãy vẽ hình chiếu bằng C2 (hình 3.31)?
- Phân tích: 3 điểm A, B, C thẳng hàng nên tỷ số đơn bảo tồn.
(A1B1C1) = (A2B2C2) hay
A1C1 A2 C2
A1 B1 A2 B2
- Cách vẽ: để tìm C2 ta kẻ tia A2x bất kỳ và đặt trên đó đoạn A2B’ = A1B1 và A2C’ = A1C1. Cuối cùng ta kẻ C’C2 // B’B2 ta sẽ nhận được điểm C2 A2B2.
x
B'
C'
A 1
C 1
B1 B 2
C2
A2
Hình 3.31. Tìm điểm C thuộc đường cạnh AB
3.2.4. Hình chiếu của mặt phẳng
3.2.4.1. Khái niệm
Một mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không thẳng hàng, vậy hình chiếu của một mặt phẳng là hình chiếu của 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng (hình 3.32).
P1
B1
A1
C1
B
B3
A
A3
P
3
C
C
3
A2
C 2
B 2
P2
z z
B1 B 3
A1 A3
C1 C 3
x x y
A2 C 2
B 2 y
y
Hình 3.32. Hình chiếu của mặt phẳng
3.2.4.2. Các mặt phẳng đặc biệt
a. Mặt phẳng chiếu đứng
Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1: α P1 (hình 3.33).