Xác Suất Để Hệ Tồn Tại Trong Các Trạng Thái Kiểu Bell

t [10-6s] t [10-6s]

Hình 2.16: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell

B

2062

Có thể bạn quan tâm!

• Bộ Nối Phi Tuyến Tương Tác Tuyến Tính Được Bơm Một Mode
• Độ Tin Cậy Của Trạng Thái Cắt Đối Với Bộ Nối Phi Tuyến Tương Tác Tuyến Tính Được Bơm Một Mode (Đường Nét Liền) Và Hai Mode (Đường Chấm
• Độ Tin Cậy Của Trạng Thái Cắt Trong Bộ Nối Phi Tuyến Tương Tác Phi Tuyến
• Sự Tiến Triển Của Entropy Đan Rối (Đơn Vị Ebit) Của Trạng Thái Cắt Đối Với Các
• Trung Bình Của Phương Trình Vi Phân Ngẫu Nhiên Với Nhiễu Trắng
• Ảnh Hưởng Của Nhiễu Trắng Đối Với Sự Hình Thành Các Trạng Thái Đan Rối Trong Bộ Nối Phi Tuyến Tương Tác Tuyến Tính Được Bơm Hai Mode

Xem toàn bộ 144 trang tài liệu này.

(đường nét liền),

B

12

62

(đường nét gạch) và

02

B

62

(đường gạch chấm) với  5104 rad/s (Hình bên

trái) và  5104 rad/s,  2.5105 rad/s (Hình bên phải)

Các giá trị cực đại cao nhất của các xác suất tương ứng với các trạng thái

B

2012

(Hình 2.11 trái),

B

2022

(Hình 2.12 trái),

B

2052

(Hình 2.15 trái) và

12

B

62

(Hình 2.16 trái) với  5104 rad/s xấp xỉ bằng đơn vị, tức là các trạng thái

kiểu Bell được tạo ra đối với hệ được xem xét. Trong khi các trạng thái kiểu Bell hầu như không được tạo ra với các trạng thái còn lại đối với các hình vẽ bên trái

từ 2.11 đến 2.16. Đối với trường hợp  5104 rad/s và  2.5105 rad/s, các giá

trị cực đại xác suất của các trạng thái

B

2012

B

và

0212

(Hình 2.11 phải),

B

và

2022

B

0222

(Hình 2.12 phải) xấp xỉ bằng 1, tức là các trạng thái kiểu Bell được tạo ra

với độ chính xác cao. Ngược lại các trạng thái kiểu Bell hầu như không được tạo ra đối với các trạng thái khác của các hình vẽ bên phải từ 2.11 đến 2.16. Như vậy, hệ có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell với độ tin cậy cao đối với các giá trị thích hợp của các tham số  và  .

2.2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm hai mode

2.2.2.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm hai mode

Tiếp theo, chúng tôi mở rộng mô hình bộ nối phi tuyến bao gồm hai dao động tử phi tuyến tương tác phi tuyến với nhau đã trình bày ở trên cho trường hợp, khi cả hai dao động tử phi tuyến được bơm bởi hai trường kết hợp ngoài. Lúc đó, trong biểu diễn tương tác Hamiltonian của hệ có dạng như sau:

HˆHˆa HˆbHˆ(NL) Hˆa Hˆb, (2.57)

NL NL

int

ext

ext

giống (2.31), ngoại trừ số hạng [109]:

ext

Hˆbbˆ*bˆ

(2.58)

mô tả liên kết giữa mode b với trường ngoài, trong đó là hệ số của liên kết giữa chúng. Khi sử dụng phương trình Schroedinger trong hình thức luận tương

tác, ta thu được hệ các phương trình chuyển động cho các biên độ xác suất

như sau:

ckl (t)

i d c

(t) 1 k(k  1) 1 l(l  1)c

(t)

dt kl

2a

2b kl



*

(l  2)(l  1)k(k  1)ck  2,l  2 (t)

(k  2)(k  1)l(l 1)ck  2,l 2 (t)

(2.59)

*

*

k  1ck 1,l (t) 

l  1ck ,l 1 (t) 

k ck 1,l (t)

lck ,l 1 (t).

1 2

0 2

và

Sử dụng hình thức luận kéo lượng tử phi tuyến tương tự như trường hợp bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode, khi đó hàm sóng của

a b a b

20

21

12

02

a b

a b

a

0

b

a

1

b

a

2

b

a

2

b

hệ là sự chồng chập của bốn trạng thái viết lại dưới dạng [19, 20, 85]:

20, 21,

được

(t)

cut

 2

 2

1

 0

, (2.60)

trong đó m, n  0,1,2

là ký hiệu của các mode ban đầu ở trạng thái

mn. Thay (2.60)

a b

vào (2.59), ta được các phương trình chuyển động cho các biên độ xác suất phức:

i d cmnt  2cmnt *cmnt ,

dt 20 02 21

i d cmnt cmnt ,

dt 21 20

(2.61)

i d cmnt cmnt ,

dt 12 02

i d cmnt  2*cmnt *cmnt ,

dt 02

20 12

Ta giả thiết rằng , , là các số thực, giải hệ phương trình (2.61) với

cut

2 0



a b

trạng thái ban đầu là dạng như sau:

(t 

và tìm được các biên độ xác suất có

20

 1 2 2  42 

1





c20

(t)

16i2 

4 1 4 2

sin 1t

8i 1

cos 1t



2 2  42 







4 1 4 2

2

sin 2t

8i 2

cos

2t  ,



c20(t) 12 2  42  4 4cost  8isin t 

21 162

1 2 2 1 2

2 2  42  4 4cost  8isin t , (2.62)

1 2 1 2 1



c20(t) 

 41 42sin t  41 42sin t 

12 4i2 1 2

1

2

 8icos1t  cos2t ,

c20(t)  4 4cost  4 4cost 

02 42

1 2 1

1 2 2

trong đó

 8i1sin 1t 2sin 2t ,

2  22  42 2  22  42 ,

42  42  162  83 3 ,

1 2 1 2

1

1

1 2i

2 2i

22  22  82  2,

22  22  82  2.

(2.63)

a b

Khi giải hệ phương trình (2.61) với các trạng thái ban đầu lần lượt là 2 1 ,

1 2

a b

và

a b

0 2, ta tìm được các biên độ xác suất tương ứng có dạng sau:

21

i

2 

2 

c20

(t) 

1 sin 1t 2 sin 2t ,

1 2 

c21(t) i 2 2  42 sin t 2 2  42 sin 

t ,

21 1

1 2 2

(2.64)





c21(t) 2isin 1t  sin 2t ,

12 

1 2 

c21(t) 2cost  cos

t ,

02 

12 1 1 

1

4 4 4

2

2 3 3 2 2 1 1 

c (t) 



16

 8

 sin t sin t

20 2

41 2

1 2 1

2 1 1 2 

1 

1 2 

1822sin ti cost222sin ti cost,



2

42 1



1 1 2 2

12

 1422 2 4 

4 

32 

4 

4 

32 

3 2 

2



c21 (t)

161

2 42 2 4 1 4 2

32 1

4 1 64 1 8 2 8 2 4 1 2

2  42 2 

2

22 

2 









14 4

22 1 1

16 1

cos 1t

cos 2t

2i sin 1t

sin 2t

(2.65)

42 44  44  3232  44  644  832  83 2 2

2



1 1 2

1 1

22

1 2 2

1 cos 1t

2 cos

2t  ,



c12(t)  1 2i cost 2sin t2i cost 2sin t

12 22 1 2 1

1 2 1 2 2

4 4 164  82 3 3 2 2 sin t sin t,

1 2 1 2 1 2 1 1 2

c12(t)  12  4cost 42 2  42 cost

02 162

2 1 2 2

 2i2  4sin t 42 2  42 sin t,

2 1 2 2

và

02

1 2 2  42 2 2  42 

c20

(t) 





8i

 sin 1t 

1 

2 2  42 2 2  42  22 

sin

2

2t  ,





c02(t) i2 2  42 2  2i2  8i2 cost i sin t 

(2.66)

21 16

1 1 1

2

i2 2  42 42 2  82 cost ,

02

2 2  42 

2 2  42 



c12

(t)

cos t

21

cos

2

2t ,

c02(t) 1 2 2  42 cost 2 2  42 cost .

02 21 2

Đối với trường hợp một dao động tử phi tuyến được bơm bởi trường ngoài (β=0), các kết quả thu được giống với kết quả trong [23]. Hơn nữa đối với trường hợp , kết quả của chúng tôi cũng giống như kết quả [109].

Để đánh giá độ chính xác của kết quả giải tích, ta sẽ tính số độ tin cậy của

2 j

a b

các trạng thái với trạng thái ban đầu là ( j  0,1). Kết quả số của sự tiến

triển theo thời gian của độ tin cậy đã được chỉ ra ở Hình 2.17. Có thể thấy rằng độ tin cậy của trạng thái này xấp xỉ bằng đơn vị, nghĩa là kết quả giải tích thu được là chính xác. Độ lệch của độ tin cậy so với đơn vị luôn nhỏ hơn 1,2.10-3.

a b

Tương tự đối với trạng thái đầu 2 1 , độ tin cậy nhỏ hơn một ít so với trường

a b

hợp của trạng thái đầu là 2 0 .

t [10-6s]

2 0

a b

Hình 2.17: Sự tiến triển theo thời gian của 1-F tương ứng với trạng thái đầu là

2 1

a b

(đường nét liền) và (đường nét gạch). Trong trường hợp hệ số phi tuyến

a b  2107 rad/s, các cường độ liên kết  5104 rad/s,  1,25104 rad/s

2.2.2.2. Sự tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm hai mode

Trong phần này chúng tôi cũng sử dụng entropy von Neumann để tính độ

cut

đan rối của các trạng thái . Từ biểu thức (2.60) ta có thể xác định ma trận

mật độ sau khi cắt như sau [109]:

ˆab 

cutcut



cmn2 0 2

2 0 cmncmn* 0 2

1 2 cmncmn* 0 2

2 1 cmncmn* 0 2 0 2

02 a bb a

02 21

a bb a

02 12

a bb a

02 20

a bb a

cmncmn* 2 1

2 0 cmn2 2 1

1 2 cmncmn* 2 1

2 1 cmncmn* 2 1 0 2

(2.67)

21 02

a bb a

21 a bb a

21 12

a bb a

21 20

a bb a

cmncmn* 1 2

2 0 cmncmn* 1 2

1 2 cmn2 1 2

2 1 cmncmn* 1 2 0 2

12 02

a bb a

12 21

a bb a

12 a bb a

12 20

a bb a

cmncmn* 2 0

2 0 cmncmn* 2 0

1 2 cmncmn* 2 0

2 1 cmn2 2 0

0 2 .

20 02

a bb a

20 21

a bb a

20 12

a bb a

20 a bb a

Từ đó, vết thành phần của trạng thái đối với mode b được viết dưới dạng:

ˆbTraab a0 ab 0aa1ab 1aa2 ab 2a

cmn2 0 0 cmncmn* 0 1 cmncmn* 1

0 cmn2 1

1 cmn2 cmn2 2

(2.68)

2 .

20 bb

20 21 bb

21 20 bb

21 bb

02 12

bb

Khi đó, độ đan rối của các trạng thái được tính bằng biểu thức sau đây:

Emn(t) Trlog 

Tr

log log

log , (2.69)

3 a 2 a

b 2 b

1 2 1 2 2 2

trong đó,

ˆb

có các trị riêng λ1, λ2 lần lượt là:

cmn2 cmn2 ,

1 02 12

(2.70)

cmn2 cmn2 .

2 20 21

2 0

và

a b

Đối với mô hình bộ nối phi tuyến được bơm hai mode ở đây, ta sẽ mong đợi hệ có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell. Để xem xét cụ thể việc tạo ra các trạng thái kiểu Bell của hệ, ta vẽ đồ thị các xác suất đối với các điều kiện đầu

a b

02,

1 2

a b

2 1

,

a b

của các trạng thái của hệ ở Hình 2.18.

t [10-6s] t [10-6s]

t [10-6s] t [10-6s]

0 2

a b

Hình 2.18: Các xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái (đường nét liền),

1 2

2 1

a b

a b

(đường nét gạch),

(đường gạch chấm) và

(đường nét chấm) với

2 0

a b

0

2

a b

 410 4rad/s và các trạng thái đầu tương ứng là

( P02),

( P12),

3

3

3

1

2

a b

2

1

a b

2

0

a b

( P21) và

( P20)

3

2

Từ đồ thị có thể chỉ ra rằng các xác suất của hệ cắt nhau tại những giá trị

2

0

a b

gần bằng 0,5, cụ thể là các cặp trạng thái

và 0

( P02) cũng như

3

a

b

2

0

và

0

2

a b a b

( P20). Điều này chứng tỏ các trạng thái kiểu Bell có thể được

3

hình thành trong trường hợp này. Hơn nữa, chúng ta có thể nhận thấy rằng đối với một số khoảng thời gian các xác suất này trở nên gần bằng 0,5, mặc dù chúng

0

a

2

b

0

a

2

b

b

không cắt nhau. Cho nên, chúng ta có thể mong đợi các trạng thái kiểu Bell cũng sẽ được tạo ra trong trường hợp này. Kết quả là các trạng thái kiểu Bell có thể được hình thành từ các cặp trạng thái của hệ được viết dưới dạng sau:

B



mn

13

1 2

a

2 a b

 0

mn,

mn

B



23

1 2

b

a

2 a b

 0

mn,

B



mn

33

1 2

0

2 a b

12

mn,

mn

B



43

1 2

0

2 a b

12

mn,

(2.71)

B



mn

53

1 0

2

2 a b

 21

mn,

mn

B



63

1 0

2

2 a b

 21

mn.

a

b

a

b

Tiếp theo, ta có thể biểu diễn hàm sóng thu được (2.60) trong cơ sở các trạng thái Bell có dạng như sau:

6



bmnBmn

, (2.72)

i3 i3

B

i 1

ở đây

mni3

là các trạng thái đan rối cực đại.

Từ đó, có thể tìm được các hệ số

mn

b :

i3

bmn

1cmn(t) icmn(t),

bmn

1cmn(t) ic mn(t),

13 2 20 02 23 2 20 02

bmn 1 cmn(t) icmn(t), bmn 1 cmn(t) ic mn(t),

(2.73)

33 2 20 12 43 2 20 12

bmn

1cmn(t) cmn(t),

bmn

1cmn(t) cmn(t).

53 2 20 12 63 2 20 12

Sự tiến triển của các entropy đan rối

E02,

E12,

E21và

20

E

3

theo thời gian

3

3

3

và các giá trị khác nhau của cường độ liên kết β với bốn trạng thái ban đầu

a

tương ứng là 2

0, 21, 1

2và 0

2được biểu diễn ở Hình 2.19. Sự

b a b a

b a

b

đan rối của trạng thái trong hình 2.19 cho thấy rằng các giá trị cực đại của sự đan rối phụ thuộc vào các giá trị của cường độ liên kết giữa hai mode với các trường kết hợp ngoài. Khi β = 0, các đỉnh của entropy đan rối thay đổi theo chu

kỳ. Entropy đan rối

20

E

3

giống với kết quả thu được trong [23]. Tất cả giá trị các

E

3

đỉnh của

12và

02

E

3

đều xấp xỉ bằng 1. Khi β ≠ 0, đỉnh thứ hai của

E20tăng,

3

3

3

trong khi giá trị của một số đỉnh của

E12và

E21giảm và trạng thái của hệ luôn là