Ảnh Hưởng Của Nhiễu Trắng Đối Với Sự Hình Thành Các Trạng Thái Đan Rối

Khi không có tham số a0, kết quả thu được giống với kết quả trong trong

[20]. Hình 3.2 cho thấy các trạng thái

00

11N

00

Có thể bạn quan tâm!

Xác Suất Để Hệ Tồn Tại Trong Các Trạng Thái Kiểu Bell
Sự Tiến Triển Của Entropy Đan Rối (Đơn Vị Ebit) Của Trạng Thái Cắt Đối Với Các
Trung Bình Của Phương Trình Vi Phân Ngẫu Nhiên Với Nhiễu Trắng
Ảnh Hưởng Của Nhiễu Trắng Đối Với Sự Hình Thành Các Trạng Thái Đan Rối Trong Bộ Nối Phi Tuyến Tương Tác Phi Tuyến Được Bơm Một Mode
Xác Suất Để Hệ Tồn Tại Ở Các Trạng Thái Kiểu Bell
Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr - 16

Xem toàn bộ 144 trang tài liệu này.

và

21N

là sự chồng chập của

a b

| |

và |1, có thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Trong khi đó, các

a b

trạng thái

00

31N

00

và

41N

trong hình 3.4, là sự chồng chập của

| |1và

a b

|1 | , không thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Kết quả là, các trạng thái

a b

| |1

và |

không thể trở thành trạng thái đan rối cực đại với trạng thái

a b

ban đầu là các trạng thái chân không. Tuy nhiên, việc tạo ra các trạng thái đan

rối cực đại cho

01

31N

01

và

41N

sẽ có khả năng bằng cách giả sử rằng hệ ban đầu

ở trạng thái Fock n-photon 01 , được chỉ ra ở Hình 3.3. Tuy nhiên, khi tham số

a0  0 , các hình từ 3.2 đến 3.4 chỉ ra rằng các trạng thái đan rối cực đại

00

11N

đến

00

41N

01

và

11N

đến

01

41N

không được tạo ra, cụ thể là các xác suất đối với sự tồn

tại của các trạng thái

00

11N

đến

00

41N

01

và

11N

đến

01

41N

tương ứng chỉ có thể

đạt 0,793, 0,929, 0,798, 0,790 và 0,790, 0,798, 0,943, 0,844. Những điều này có thể giải thích rằng sự hiện diện của tham số a0 làm cho giao thoa lượng tử của hệ bị suy yếu khi so sánh với trường hợp tham số này không có mặt.

Đặc biệt, ta thấy rằng khi tham số a0 xuất hiện, trong Hình 3.4, các xác

suất để hệ tồn tại trong trạng thái

00

31N

là lớn hơn và trong Hình 3.3, các đỉnh

càng cao sẽ giảm mạnh hơn trong khi các đỉnh càng thấp thì càng được tăng cường khi so với trường hợp khi tham số a0 vắng mặt. Điều này có nghĩa là các xác suất tìm thấy hệ trong trạng thái đan rối ổn định hơn. Ngoài ra, ở phía bên

trái của trạng thái đan rối cực đại, nếu tham số a0 tăng thì các xác suất cho

00

11N

và

00

21N

trong Hình 3.2 giảm và các đỉnh của xác suất có xu hướng tách thành

hai đỉnh bắt đầu từ đỉnh cực đại, trong khi phía bên phải của trạng thái này, các

xác suất cho

00

11N

00

và

21N

tăng hoặc giảm không theo quy luật như bên trái

của nó. Thêm vào đó, các giá trị tối đa của các xác suất cho

00

11N

đến

00

41N

dịch chuyển về phía thời gian bằng không so với trường hợp không có mặt của tham số liên quan đến thành phần nhiễu.

Ở trên chúng tôi đã xét các trường hợp cả hai mode ban đầu ở trạng thái

chân không

| | và trạng thái Fock n-photon

| |1. Chúng tôi xem xét các

a b

trường hợp khác cho sự tiến triển của hệ khi các mode ban đầu ở trạng thái

a b

|1 |

và |1, có nghĩa là

0

pq0

| | , trong đó

p, q  0,1. Khi đó,

a b

dễ dàng tìm được sự tiến triển của các trạng thái ban đầu của hệ được xem xét ở đây có dạng sau:

10t 

11t 

cut cut

c000

c010

c000

c011

c001

(3.10)

Từ đó cũng dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa các entropy đan rối như sau:

E11tE00t, E10tE01t, (3.11)

1N 1N 1N 1N

và các biên độ xác suất phức:

b10b01, b10b01,

1 2 2 1

3 4 4 3

(3.12)

b11b00, b11b00, b11b00, b11b00.

1 2 2 1 3 4 4 3

Cần lưu ý rằng khi a0 = 0, hệ được xem xét đối với các trạng thái ban đầu

00 hoặc 11 tiến triển với chu kỳ tương tự thành các trạng thái đan rối cực đại

00

11N

00

21N

hoặc

11

11N

11

21N

, tương ứng với độ chính xác cao nhưng không

tiến triển thành các trạng thái

01

31N

01

41N

hoặc

10

31N

10

41N

. Điều này trái

0 1

ngược với sự tiến triển của hệ đối với các trạng thái ban đầu

hoặc

10.

a b

1 0

1 1

a b

và

Khi tham số a0 có mặt, các trạng thái của hệ được xem xét hầu như là các trạng thái đan rối nhưng không tạo ra các trạng thái đan rối cực đại cho tất cả các trạng thái ban đầu. Để cho ngắn gọn, chúng tôi không trình bày ở đây các đồ thị

về sự tiến triển của hệ cho các trạng thái đầu

a b a b

vì chúng đã được

0 0

a b

và

a b

trình bày ở các hình từ 3.1 đến 3.4 cho các trạng thái ban đầu 0 1 .

3.2.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode

Trong phần này, chúng tôi sẽ nghiên cứu thăng giáng lượng tử của bộ nối phi tuyến gồm hai dao động tử phi tuyến Kerr. Các dao động tử này liên kết với nhau bởi tương tác tuyến tính và cả hai mode được kích thích bởi các trường điện từ ngoài, được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên, cụ thể là nhiễu trắng. Chúng tôi sẽ tập trung khảo sát sự ảnh hưởng của nhiễu trắng vào khả năng tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Các trạng thái này có thể được tạo ra với độ chính xác cao.

3.2.2.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode

Ở phần trên chúng tôi đã nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với khả năng tạo ra các trạng thái đan rối cực đại của bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode bởi trường ngoài. Trong phần này chúng tôi tiếp tục mở rộng khảo sát cho trường hợp bộ nối như trên nhưng được bơm cả hai mode bởi trường ngoài. Mô hình này tương tự mô hình đã xem xét ở mục 2.1.1.2, chỉ khác là trường ngoài được mô hình hóa bởi nhiễu trắng.

Giả sử các tham số liên kết , lúc đó hệ phương trình chuyển động của các biên độ xác suất (2.20) được viết lại như sau:

i d ckl (t) *ckl (t) *ckl (t),

dt 00 10 01

i d ckl (t) *ckl (t) *ckl (t) ckl (t),

dt 01 10

11 00

i d ckl (t) ckl (t) ckl (t) *ckl (t),

(3.13)

dt 10

01 00 11

i d ckl (t) ckl (t) ckl (t).

dt 11

01 10

Bằng cách sử dụng phương trình (3.4) cho các phương trình chuyển động (3.13) trong đó các ma trận hằng M1, M2 và M3 có dạng:

M1 





0



* * 



0 0 

* * 

0 * ,

0 0 0



1 0 0

M 2  1 1 0

0



0

0,

0 1



0 0

M 3 0 0

1 0



1 1 

0 1 

, (3.14)

0 0 0 





0 0 

 0 1 1 0

 0 0

0 0

ta tìm được hệ các phương trình vi phân trung bình ngẫu nhiên của các biến:

i d ckl (t) a ckl t * a0 ckl t *ckl (t),

dt 00

0 00

0 01

2 

0 10

i d ckl (t) 

a0 ckl t 3a0 ckl t * a

ckl (t) *ckl (t),

dt 01

0 00

2 

2 01

0 0 10

0 11

(3.15)

i d ckl (t) 

ckl (t) 

a ckl (t) 3a0ckl t *a0ckl (t),

dt 10

0 00

0 0 01

2 10

0 11

2 

i d ckl (t) 

ckl (t) 

a0 ckl (t) a ckl (t).

dt 11

0 01

0 10

2 

0 11

Bằng cách giả thiết rằng cả hai mode ban đầu ở trạng thái chân không 00và chỉ xét trường hợp hệ số liên kết là thực, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (3.15) dưới dạng sau:

1 i3a0 20 t ia

 2

t 

t 

1 i7a0 20 t 

t 

i3a

 2

t 



1

c 00(t) e 4

0 0sin 1 cos1

e 4

cos20 0sin 2 ,

00 2

4 

 4  2

 4 

4 

a

i3a0 20 t

t 

a  4

i7a0 20 t







t 

c 00(t) i0e 4

sin 10 0e 4

sin 2,

01 

 4 2

4 

(3.16)

a

i3a0 20 t

t a  4

i7a0 20 t

t 

c 00(t) i0e 4

sin 10 0e 4

sin 2,

10 

 4 2

4 

1 i3a0 20 t ia

 2

t 

t 

1 i7a0 20 t 





t 

i3a

 2

t 



1

c 00(t) e 4

0 0sin 1 cos1

e 4

cos20 0sin 2 ,

11 2

4 

 4  2

 4 

4 



trong đó  5a2  4a  42 và 

13a2  44a  682 . Từ phương trình

1 0 0 0 0

(3.16), dễ dàng chỉ ra rằng khi

2 0 0 0 0

a0  0 , kết quả của chúng tôi giống với kết quả

tìm được trong [20]. Mặt khác, khi thời gian t = 0, một mode ở trạng thái chân

a b

không và mode kia ở trạng thái Fock, cụ thể là trạng thái 1 0 , ta thu được các

nghiệm cho

kl mn

với

m, n  0,1 có dạng:

a

i3a0 20 t

t 

a  4

i7a0 20 t

t 

c 10(t) c00(t) i0e 4

sin 10 0e 4

sin 2,

00 10

1

 4 2

4 

1 i3a0 20 t ia

 2

t 

t 

1 i7a0 20 t 

t 

i3a

 2

t 

c 10(t) e 4

0 0sin 1 cos1

e 4

cos20 0sin 2 ,





1

01 2

4 

 4  2

 4 

4 

(3.17)



1 i3a0 20 t ia

 2

t 

t 

1 i7a0 20 t 





t 

i3a

 2

t 

c 10(t) e 4

0 0sin 1 cos1e 4

cos20 0sin 2 ,



1

10 2

4 4 2

 4  4 

a

i3a0 20 t

t 

a  4

i7a0 20 t

t 







c 10(t) c00(t) i0e 4

sin 10 0e 4

sin 2.

11 01

1

 4 2

4 

Có thể sử dụng các biên độ xác suất trong các phương trình (3.16) và (3.17) để xem xét việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại trong bộ nối phi tuyến Kerr ở phần tiếp theo.

3.2.2.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối tương tác tuyến tính được bơm hai mode

Tương tự như trường hợp bộ nối được bơm một mode, công thức entropy von Neumann (2.26) được áp dụng cho các biên độ xác suất phức tìm được ở (3.16) và (3.17) để xem xét sự tiến triển của entropy đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode, khi các trường ngoài và trường liên kết được mô hình hóa bởi nhiễu trắng. Sự tiến triển của các entropy đan rối

00 

E2 N

10 

và

E2 N

của các trạng thái cắt được chỉ ra trong Hình 3.5.

t [10-6s] t [10-6s]

Hình 3.5: Sự tiến triển của các entropy đan rối

00 

E2 N

10 

và

E2 N

(đơn vị ebit) của các

trạng thái cắt với

0 10 rad/s. Đường nét liền ứng với

a0  0 , đường nét gạch ứng

với

a 105rad/s và đường gạch chấm là cho

a  2105 rad/s

Những kết quả này cho thấy rằng khi tham số a0  0 , entropy của đan rối

00 

E2 N

tương tự kết quả thu được trong [20]. Có thể thấy rằng số lượng các đỉnh

của

10 

E2 N

nhiều gấp ba lần của

00 

E2 N

, nghĩa là các dao động theo thời gian của

10 

E2 N

nhanh hơn ba lần so với của

00 

E2 N

. Cực đại đầu tiên của

00 

E2 N

là cao nhất, trong

khi đối với

10 

E2 N

có ba cực đại cao nhất bằng nhau đó là các cực đại thứ 2, 4 và 5.

Mặt khác, thông tin quan trọng nhất là giá trị cực đại của các entropy đan rối

00 

E2 N

10 

và

E2 N

gần như xấp xỉ bằng đơn vị. Vì vậy, hệ được xét sẽ tạo ra các trạng

thái đan rối cực đại thực sự. Khi tham số a0 có mặt ( a0  0 ), giá trị của các

entropy đan rối

00 

E2 N

10 

và

E2 N

giảm rất ít và cực đại cao nhất của các entropy đan rối

thay đổi, cụ thể là cực đại thứ tư của

00 

E2 N

là cao nhất, trong khi đối với

10 

E2 N

các cực

đại cao nhất là cực đại thứ 2, 3 và 5 đối với trường hợp

a 105

và cực đại thứ ba

đối với trường hợp a0

 2105

so với trường hợp khi

a0  0 . Tức là, hệ mà ta xem

xét cũng có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell. Ngoài ra, khi tham số a0 tăng, vị trí của các cực đại cững dịch chuyển về phía thời gian không. Vì vậy, trong một khoảng nhất định, số lượng các cực đại tăng lên. Điều này có nghĩa là các chu

kỳ dao động tăng khi a0 tăng so với trường hợp khi a0  0 . Do đó, tham số a0 là

một tham số quan trọng để điều khiển vị trí của các cực đại cao nhất và số cực đại của hệ.

Mô hình bộ nối ở đây tương tự với mô hình ở mục 2.1.1.2, vì vậy, để xem xét sự tạo thành các trạng thái đan rối cực đại của bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính với nhau và được bơm hai mode bởi trường ngoài, được mô hình hóa bởi nhiễu trắng chúng tôi sử dụng công thức (2.30) cho các biên độ xác suất phức ở (3.16) và (3.17). Các xác suất để tìm thấy hệ trong các trạng thái kiểu Bell được biểu thị trong các hình vẽ từ Hình 3.6 đến Hình 3.8.