Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 6

3. Chủ đề nguyên hàm, tích phân

Ví dụ 1: ( ĐH – A2013 )

Tính tích phân:

2 x2 1

x

I 2 1

ln xdx

Cách 1:

2 x2 1

2 2 1

I x2 ln xdx ln xdx (x2 )ln xdx

1 1 1

Ta xét:

2 12

1 1 2 2 1

1 1 1

I2 (x2 ) ln xdx ln xd ( x ) x ln x 1 x2 dx

1 ln x 2 1 2 1 ln 2 1

x 1 x 1 2 2

2

I1 ln xdx  2ln 2 1

1

Vậy I I I

 2ln 2 11 ln 2 1 1 (5ln 2  3)

1 2

Cách 2:

2 2 2

2 x2 1 2 1 21

I x2 ln xdx (1 x2 ) ln xdx ln xd (x x )

1 1 1



1 2 2 1 1

 ln x(x  )  (x 

x 1 1

) dx

x x

 ln x(x 1 ) 2  (x 1 ) 2

x 1 x 1

1 (5ln 2  3)

2

Vậy I 1 (5ln 2  3)

2

Cách 3:

2 x2 1 21

I x2 ln xdx (1x2 )ln xdx

1 1

Đặt t  ln x x et và dx etdt ; x 1t  0; x  2 t  ln 2

2 1 2 2

t t t t t

I (1 

1

2t )t.e dt (e e ) t dt td (e e )

e

1 1

t(et et )

ln 2

1

2

(etet )dt

1

t(et et ) ln 2  (et et ) 2

1 1

 ln 2(eln 2 e ln 2 )  (eln 2 e ln 2)

 ln 2(2 1 )  (2 1) 1 (5ln 2  3)

2 2 2

Vậy

I 1 (5 ln 2  3)

2

Ví dụ 2: Tính tích phân

x

3 3

x2 dx

0 1

Cách 1 : Dùng đổi biến bằng biện pháp lượng giác hóa

Đặt

x  tan t dx 1

 tan2t dt

Đổi cận

x  0 t  0; x=

t 

3

3



3 3 3 3

I= tan3 t dt tan t tant 1 1dt tan t(tan t 2 1)dt tan tdt

0 0 0 0



3 3

d (cost) 3

tant d tant 

0 0

cost

 ln 2 2

Cách 2: Dùng tích phân từng phần

x2 u3

Đặt 

I 1x2ln x213-

x ln x2 1dx

dv xdx2 0 

x2 1 0

 3ln 2 1

2

3

ln(x211)d x21 3ln 2 J

0

Với J=

3

ln(x2 1)d x21

0

Đặt

ln(x21) u







du 



d (x2  1)

x2  1

dv d (x2 1)

2

1

v x2 1

3

0

3

I = 3ln2 -

[x21ln x21

d x21]

0

= 3ln2 -

1 8ln 2  33  ln 2

2 2

Cách 3: Chia tử số cho mẫu số để tách thành 2 tích phân

3 x 3 3 x

1 3 d (x2 1) 3

I= (x x2  )dx xdx 

x2 1dx 

2

 ln 2

0 1 0 0

2 0 x

1 2

x2

2

3

0

Như vậy dễ dàng nhận thấy cách 3 đơn giải hơn nhiều

Bài tập :

Tính tích phân

0 x2dx 𝜋

1

I = (x2  1)3 dx

Đáp án I = 32

Ví dụ 3: Tính tích phân

1

I = x3(3  2x4)3dx

0

Cách 1: Nếu suy nghĩ theo cách thông thường thì ta có khai triển thành tổng các tích phân như sau

1 1

I = x327  54x4 36x8 8x12 dx 27x3 54x7 36x11  8x15 )dx

0 0

= 27 x4 54 x8 36 x12 

8 x16 1  5

4 8 12 16 0 2

Cách 2: Biến đổi

Đặt t = 3  2x4 dt 8x3dx

Đổi cận

x  0 t  3,

x 1t 1

I = 

1 1

3

t dt 

8 3

1 t4

8 4

3 5

1 2

Cách 3: Sử dụng vi phân

Để ý thấy 1 d (3  2x4 ) x3dx ta có lời giải sau

8



1 1 3

1 (3  2x4 )4 1 5



I = 

3  2x4 

8 3

d 3  2x4 

8 4 3 2

Bài toán này có vẻ khá dễ dàng với 1 số bạn nhưng để ý rằng nếu bậc của 3  2x4 cao hơn bậc 3 như thế cách 1 sẽ quá khó khăn để thực hiện

được nhưng nếu sử dụng cách thứ 2 hoặc 3 thì dễ dàng thực hiện được. Ở đây dùng phương pháp 3 dễ mà hiệu quả nhất

Ví dụ 4: Tính tích phân

I = 1 x2  2

x4  2x3  5x2  4x  4 dx

1

2

Cách 1: Ta phân tích mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân

x4  2x3  5x2  4x  4 = ( x4  2x3 x2 )  4(x2 x)  4

= (x2 x  2)2

Dùng phương pháp tách tích phân

x2  2

x4  2x3  5x2  4x  4

x2  2

(x2 x  2)2

Ax B Cx D x2 x  2 (x2 x  2)2

Sau đó sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được ABCD. Tuy nhiên ta thấy mặc dù vẫn có thể đi đên lời giải nhưng thực hiện theo phương pháp này khá dài và phức tạp

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho x2

2

1

I = 4

1x2 

1 



x2

 2(x 

dx

2)  5

2 x2 x

Đặt t = x +

2 dt 12 dx

x x2 

Đổi cận



x 1 t 9 , x  1t  3 2 2

3 dt

9

2 d (t  1) 1

9

3

I = t2 2t  1 (t  1)2

9 3

2



t  1

2 44

3

Cách 3: Nếu học sinh khá hơn thuần thục kĩ năng đưa biểu thức vào viphân có thể thực hiện như sau

1

I 

2

1 2

x2

42

dx =

1

1



x  1

2

13

44

1x

2 

2  2(x 

x 

)  5

x

x 2

Ví dụ 5: Tính tích phân

x x2 1

2

I dx

2

Cách 1: Biến đổi

x21

Đặt

tx2 t2 1xdx tdt

3

2

Đổi cận x  2 t  ; x t 1

2 dx

3 tdt

3 dt

x x2 1

1 1

I 

2

t t21(t21)

Đặt t  tanu dt =

du

cos2 u

Đổi cận t 1u , t 

4

u 

3

3

I 

du 



		du			
3		cos2 u			3
	tan2 u 		1		
4					4

Có thể bạn quan tâm!

• Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 1
• Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 2
• Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 3
•  X  Y  X  Z  Y  Z   12 Yz  Y  Z   3  Y  Z  2  Y  Z   3  Y  Z  3 ( 2) Cộng (1) (2) Ta Được Điều Phải Chứng Minh
• A  3 B  C  B  C    B  A    B  A 
• Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 7

Xem toàn bộ 58 trang tài liệu này.

12

Cách 2: Đổi biến

Đặt

1 t dx dt x x2

Đổi cận

x  2 suy ra

1

t 1

2

; x suy ra t 1

2

2

1

x x2 1

2

I dx

2



2

dt

1 1 t2

2

1 t2

2

dt

1

2

Đặt t  sin u suy ra dt  cosudu

Đổi cận t 

1 u ;t 1 u π 2 4 2 6



4 cosudu 4 π

I 

du 12

1  sin2 u



6 6

Cách 3: Đặt x 

1

cost

suy ra

dx  sin tdt

cos2 t

Đổi cận x 2 suy ra

t ; x  2

4

suy ra

t 

3



sin tdt 





3

cos t

1  cos2t

2

sin t



I 

3 sin tdt

3

dt 12



4 cos2 t 4 4

Cả ba cách trên về bản chất đều là phương pháp đổi biến

Bài tập

Bài 1: (đại học-cao đẳng 2003-khối A)

x x2  4

5

2 3 dx 1 5

Tính tích phân I =

Kết quả I = 4 ln 3

1

2 dx 𝜋

x x2

6

I Kết quả I =

1

4



I sin xcosxdx

sin x cosx

Kết quả I

1 –cosx  sin x1 ln c

4 2

sin x 1

4 

sin x  1



4 





2

4.Chủ đề lượng giác

Ví dụ 1: Giải phương trình

3cos 4x  8cos6 x  2cos2 x  3  0

Nhận xét: Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau

cos 4x  2cos22x 1  22cos2x 11= 8 cos4x  8cos2x 1

Cách 1: Phương trình

4cos6 x 12cos4 x 11cos2 x  3  0

Đặt t = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ; 0≤ t ≤1

Khi đó ta có

4t3 12t2 11t  3  0

t  0,5

t  1



Từ đó ta giải ra nghiệm của phương trình là

x = k k, k Z

4 2

Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2 x bằng công thức hạ bậc và từ cung 4 x ta chuyển về cung 2 x bằng công thức nhân đôi

Cách 2:

3cos22x 1

1 cos 2x)3 21  cos 2x 3  0

8( 2 2 



cos 2x2cos22x  3cos 2x  2 0

cos 2x  0 x k 



4 2

k Z

cos 2x  1

x k