Cách 3: Viết lại phương trình: toán tương đương với:
(x m)2 m2 m 2. Yêu cầu của bài
m2m 2 0
m 2
m 1
m2 m 2
m
1
Có thể bạn quan tâm!
-
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 1 -
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 2 -
X Y X Z Y Z 12 Yz Y Z 3 Y Z 2 Y Z 3 Y Z 3 ( 2) Cộng (1) (2) Ta Được Điều Phải Chứng Minh -
A 3 B C B C B A B A -
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 6 -
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 7
Xem toàn bộ 58 trang tài liệu này.
m2 m 2
m 1
m 2
m 1
m 1 0 3 m 2
m 3
2
x x2
x
1x
Ví dụ 2: Giải phương trình: 1
3
Điều kiện: 0 x 1
(1)
2
x x2
x
1x
2 2
Cách 1: (1)
1
3
4(x x2 ) 6 x x2 0
x x2
4 x x2 6 0
x x2
0
x 0
3
x x2
x 1
2
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
x 1, x 0
Cách 2: Đặt
t
x
x x2
, 1 t
1x
t2 1
2
t2 1
2
t 1
Phương trình trở thành: 1
3
t t 2
x
1 x
x 0
1 x 1
x
1x
Cách 3: Đặt a ; b ; a 0,b 0
1 2 ab a b
3 2ab 3(a b)
Ta có: 3
(a b)2 2ab 1
a2b2 1
a b 1
ab 0
a b 2
ab 3
(không tồn tại a, b)
2
a 0
b 1 x 0
x
Cách 4: Đặt
sin,
a 1
b 0
0
1 sin2
2
x 1
1 sin2
Phương trình trở thành: 12 sin
3
sin
(sincos)2 3(sincos) 2 0
sincos 1
0
x 0
sincos 2
2
x 1
Qua ví dụ trên ta có nhiều cách để giải phương trình vô tỉ
Ví dụ 3:( Câu II.2-A2010) Giải bất phương trình
x x
1 2(x2 x 1)
1
(1)
Cách 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Nhận xét:
1
2x2x 1
x
2(x2 x 1)
1
1x22(do x 1 0,x (0;1)
x
2(x 1)2 3
2
2
3
2
1 0 x
Do đó có điều kiện
0
hay 0 x 1
(2)
x
x
2(x2 x 1)
Từ đó (1) x 1
2(x2 x 1)
x2x 1
x 1
x
x
x
1x22(do x 1 0,x (0;1)
x
x2 2x
x 2
1 0
x
x
x 12 0
x 1
x 0
x
1
2
5 x 3 5
2
Nhận xét x
nhất của (1)
3 5 thỏa mãn điều kiện (2) nên đây là nghiệm duy
2
Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Trong lời giải cách 1 ta có thể đặt
x
t để giải bây giờ ta xét 1 cách
đặt ẩn phụ khác. Tương tự như cách 1 ta có
2(x2 x 1)
x
(1) x 1
Chia 2 vế của bất phương trình cho𝑥 có
2(x 11
x
1
x
x
(1) ) 1
Đặt
y
1 ,có x 1 y2 2
x
x
x
2( y2 1)
Ta có bất phương trình y 1
y 1 0
2( y2 1) y2 2 y 1
( y 1)2 0
y 1
y 1
Với y 1từ đó giải ra được
x 3 5
2
Cách 3: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Ta có điều kiện
x (0;1)
và (1)
x 1
2(x2 x 1)
x
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky có
x
2
11.(1x)1212x21x2
Hay
2(x2 x 1)
x
x 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 x
x
1 1
hay
x 1 0 hay
x
x 3 5
2
Cáh 4: Sử dụng đại lượng liên hợp
Lập luận được
2(x2 x 1)
(1) 1
x 0;1
x
x
2x2x 1
x
2 x x 1 0
x
2(x2 3x 1)
2x2x 1 2 x
x 1 0
x
Nhận xét:
x2 3x 1 (x 1)2 x x 1x 1do đó
x
2x2x 1 2 x
(1) x 1(1
2x
x 1
3
) 0
x
x 1
x
0
2x2x 1 (2 2x)
2x2x 1 2 x
2(x2 3x 1)
x 1
2x2
x 1 2
x
2x2
x 1 2 2x 0
x
x 12
2x 1
x
2x2x 1 2
x
2x2x 1 2 2x
0
Nhận thấy các nhân tử dưới mẫu và
2x 1luôn dương với mọi
x
x
x
x 0;1nên ta có (1)(x 1)2 0x 1 0
Bài tập:
x (x
1 x2 )
x 3 5
2
1.
x x 1
1
x2 x3
Đáp số : x
5 1
2
3 x4 x2
2. x2 2x 1
Đáp số : x = 1 5
2
x 1
2(x2 5x 8)
3. x 3
Đáp số: x = 5
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:
x 9
y 9
4 (1)
7 y
7 x
4 (2)
Giải:Điều kiện:
Cách 1:
9 x 7
9 y 7
Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra:
x 9
7 y
y 9
7 x
x 9
7 y
y 9
7 x
Xét hàm số:
(*)
2 7 t
f (t)
t 9
7 t
( 9 t 7)
2 t 9
f ' (t)
1 1
0 ,
t (9;7)
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 9; 7
Từ (*) ta có
f x f yx y
Thế vào (1) ta thu được phương trình:
x 9
7 x
4
x 9 7 x 2 x 9 7 x 16
x2 2x 63 0
x 7 y 7
x 9 y 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm:
x 9;x 7
y 7
9 y
Cách 2:
Hệ phương trình
x 9
y 9
7 y 4
7 x
4
(
(
x 9
y 9
7 y )2 16
7 x )2 16
x 9 7 y
y 9 7 x
2 2
x 9 7 y 2
x 9 7 y 2
x 9 7 y
x y 2
y 9 7 x
x y 2
x 9 7 y 16
y 9 7 x 16
0
0
7x xy 63 9y 7 y xy 63 9x
đã cho tương đương với phương trình sau:
16x 16y x y
Thế vào (1) ta thu được phương trình:
x 9
7 x
x 9 7 x
4 x 9 7 x 2
x2 2x 63
0
16
x2 2x 63 0 x 7
x 9
y 7
y 9
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
x 9;x 7
y 7
Cách 3:
9 y
Giải hệ phương trình chúng ta xét trong các trường hợp sau: TH1: Nếu x>y thì ta có:
Suy ra:
và
x 9
y 9
7 y
7 x
x 9
7 y
y 9
7 x
y 9
Mà
x 9
4 nên 4 4 (vô lý)
7 y
7 x
4
x 9
y 9
7 y
7 x
TH2: Nếu x y thì ta có: và
x 9
Suy ra:
Mà
7 y
7 y
x 9
y 9
y 9
7 x
7 x
4 nên 4 4 (vô lý)
4
TH3: Nếu x y thế vào (1) ta thu được phương trình:
x 9
7 x
4
x 9 7 x
x 9 7 x 2
x2 2x 63
0
16
x2 2x 63 0 x 7
x 9
y 7
y 9
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
x 9;x 7
y 7
x 9
7 y
y 9
7 x
Cách 4:
9 y
Đặt u
0,v
0, z
0,t 0
u v 4 (1)
u2 v2 16 (3)
z t 4 (2)
Ta thu được hệ phương trình:
z2v2 16 (4)
Từ (1) và (2) suy ra u v z t
Từ (3) và (4) suy ra
(5)
u2 t2 z2 v2 u2 v2 z2 t2
(u v)(u v) (z t)(z t)
(6)