Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách

Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình tích

Cách 3:

3cos 4x  8cos6 x  2cos2 x  3  0

31 cos 4x 2cos2x4cos4x 1 0

6cos22x  2cos2x2cos2x 12cos2x 1 0

cos 2x 3cos 2x  cos2x(2cos2x 1) 0



cos 2x  0



Có thể bạn quan tâm!

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 1
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 2
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 3
 X  Y  X  Z  Y  Z   12 Yz  Y  Z   3  Y  Z  2  Y  Z   3  Y  Z  3 ( 2) Cộng (1) (2) Ta Được Điều Phải Chứng Minh
A  3 B  C  B  C    B  A    B  A 
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua giải một số bài tập Đại số - Giải tích bằng nhiều cách - 6

Xem toàn bộ 58 trang tài liệu này.

3(2cos2 x 1)  2cos4 x  cos2 x  0

Phương trình cos2 x = 0

x = 𝜋 + 𝑘 𝜋

(1)

4 2

Phương trình (1) 2cos4 x  5cos2 x  3  0

Suy ra

cos2 x 1suy ra x k

Vậy x = 𝜋 + 𝑘 𝜋

4 2

Bài tập

Giải phương trình:

1. 2sin x1 cos 2x sin 2x 1cosx (ĐH D-2008)

Đáp số : x 2k 2; x k

3 4

2. cos3x  cos2x cosx 1 0 (ĐH D-2006)

Đáp số:

x 2

k 2; x k

Ví dụ 2(ĐH-A2005): Giải phương trình

cos2 3x.cos2x  cos2 x  0

(1)

Cách 1 :

Phương trình (1) 1 cos6x .cos2x 1  cos 2x  0

2 2

 cos6x.cos2x 1  0

1 cos8x  cos 4x1  0 2

 2cos2 4x 1 cos 4x  2  0

 2cos2 4x  cos 4x  3  0

 cos4 x = 1



Suy ra x =

k , k z

Cách 2: (1)

 cos6x.cos2x 1  0

 ( 4cos3 2x  3cos2 x).cos2x 1  0

 4 cos4 2x  3cos2 2x 1  0



Ta tìm được nghiệm x =

k , k z

Cách 3: (1)

 cos6x.cos2x 1  0

 cos6x.cos2x 1

cos 2x 1  cos 6x 1

cos 2x  1  cos 6x  1



Khi

cos2x 1thì

cos6x =

4cos3 2x  3cos 2x  1

Khi cos2x 1thì cos6 x = 4cos3 2x  3cos 2x 1



Vậy hệ trên tương đương sin 2x  0cho ta nghiệm x =

Ví dụ 3: (ĐHCĐ-2000) Giải phương trình

1 3tan x  2sin 2x

Cách 1:Điều kiện: cos x ≠ 0

k , k z

1 + 3tan x = 2sin2 x

1  3 sin x  4sin xcosx

cosx

 cos x

 3sin x

 4sin xcos2 x

Nhận xét : đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 nên ta chia 2 vế của phương trình cho 𝑐𝑜𝑠3𝑥 ta được

cos3 x

 3 tan x

cos2 x

 4 tan x  1 tan2x  3tan 1  tan2x 4 tan x

 3 tan3 x  tan2 x  tan x 1  0

tan x 13tan2x  2 tan x 1 0

 tan x 1



x =

k, k Z

Vì 3tan2x  2tan x 1  0

vô nghiệm

Chú ý ta có thể chia từ đầu 2 vế của phương trình cho cos2 x

Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tanx và sin2 x ta nghĩ đến mối

liên hệ giữa chúng

sin 2x 

2sin x cos x

sin2 x  cos2 x

 2 tan x

1 tan2 x

Cách 2: Đặt t  tan x

Suy ra sin2 x =

2t 1 t 2

phương trình trở thành

1  3t 

4t 1 t2

 3t3 t2 t 1  0

 ( t 1)( 3t2  2t 1)  0

t 1suy ra tan x 1. Vậy x =

k, k Z

Bài tập

1. 4sin3 xcos3x  4cos3 xsin3x  3 3 cos 4x  3

Đáp số: x = k ; x = k 

k  Z

24 2 8 2

2. cos3 x  4sin3 x  3cosxsin2 x  sin x  0

Đáp số: x = k

; x = k

k  Z

3. cos3 x sinx  3sin2 xcosx  0

Đáp số: x = 

k

; x =1

k

; x =2

k

k  Z

Trong đó tan1  1tan2  1

Ví dụ 4: giải phương trình

2sin2 x  tan2 x  2

Điều kiện cos x ≠ 0

2 tan2 x

Cách 1:Phương trình 

1  tan2 x

 tan2

x  2

 2tan2 x  tan2 x  tan4 x  2  2tan2 x

 tan4 x  tan2 x  2  0



tan2 x  1 𝜋



tan2 x 1

x = k

tan x = ± 1 = tan(± )

k  Z

Cách 2:

2sin2 x  tan2 x  2

 2sin2

sin2 x



x 2

cos2 x

 2sin2 xcos2 x  sin2 x  2cos2 x

 2cos4 x  cos2 x 1  0

 cos2 x 1  cos2 x = 0 x = ± 𝜋 + 𝑘𝜋 k  Z

Chú ý đối với phương trình

cos2 x 1

ta không nên giải trực tiếp vì khi

đó có tới 4 nghiệm khi kết hợp và so sánh với điều kiện phức tạp nên ta hạ bậc là cách tối ưu nhất

Bài tập

1. tan2 x  tan x tan3x  2 Đáp số: x = 

k k  Z

2. 2 tan x  cot 2x  2sin 2x 

sin 2x

4 2

Đáp số: x = 

k

k  Z

ví dụ 5: Giải phương trình

2sin x1 cos 2x sin 2x 1 2cosx

Cách 1: 2sin x1 cos 2x sin 2x 1 2cosx

 2sin x2cos2 x  2sin xcosx 1 2cosx

2cosx 12sin xcosx 1 0

2cos x 1  0



2sin x cos x 1  0

cos x 1 

 2 x =

k

k  Z



sin 2x  1 4

Cách 2:

2sin x1 cos 2x sin 2x 1 2cosx

 2sin xcos2x 1 sin 2x 2cosx  sin x 0

2sin xcosx  sin xcosx  sin x (cosx  sin x)2 2cosx  sin x 0

cosx  sin x2sin xcosx  2sin2 x cosx  2 0

cosx  sin x2sin xcosx  2cos2 x cosx  sin x 0

 2cosxsin x cosxsin x cosx 0

sin x cosx2cosx 1 0

sin x  cos x  0x = 

k

k  Z



2cos x 1  0 4

Bản chất của 2 cách trên là phân tích phương trình thành tích

Bài tập

2cosx 12sin x cosx sin 2x  sin x



Đáp số: x = k 2; x k

3 4

k  Z k  Z

1. 1 sin2 xcosx 1 cos2 xsin x 1 sin 2x

x 

Đáp số: kx k 2x k 2kZ

4 2

2. 2sin x1 cos 2x sin 2x 1cosx

Đáp số: x = 2k 2, x kk  Z

3 4

Kết luận chương 2:

Trong chương này tôi đã đề xuất một số bài toán được giải bằng nhiều cách với các chủ đề như: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình,chứng minh bất đẳng thức, cực trị, nguyên hàm tích phân, phương trình lượng giác. Với các bài toán được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau thấy được ưu hay nhược điểm của từng cách từ đó giúp học sinh nắm bắt được cách giải, phát triển được tư duy sáng tạo để tạo ra các cách giải thông minh, ngắn gọn hơn.

KẾT LUẬN

Qua quá trình thực hiện đề tài, tôi đã thu được một số kết quả sau:

- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, phát triển tư duy sáng tạo

- Bước đầu đề xuất giải pháp để nâng cao hiệu quả rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học

. Điều tra 14 giáo viên dạy ở trường THPT A Hải Hậu, về thực trạng sử dụng bài toán nhiều cách giải , kết quả cho thấy hầu hết đều thấy được tầm quan trọng của việc sử dụng bài toán nhiều cách giải trong việc phát triển tư duy và nâng cao hiệu quả dạy học

. - Nêu ra một số bài toán nhiều cách giải hình thức tự luận dùng cho học sinh THPT với các thể loại phong phú: phương trình, hệ phương trình,bất phương trình, bất đẳng thức, tích phân, lượng giác... Ở mỗi bài toán đều có từ hai cách giải trở lên và đã được hướng dẫn cách giải chi tiết, đồng thời trong mỗi bài toán đều có nhận xét riêng, điều này giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ hơn ý nghĩa của từng phương pháp giải

- Đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đề ra. Hơn nữa, đề tài và phương pháp nghiên cứu của luận văn còn có thể áp dụng cho nhiều nội dung khác nhau của môn Toán. Do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn nên kết quả của luận văn mới chỉ dừng lại ở những kết luận ban đầu, nhiều vấn đề của luận văn vẫn chưa được phát triển sâu và không thể tránh được những sai sót. Vì vậy, tác giả rất mong được sự quan tâm của các thầy cô để bổ sung tốt hơn cho các bài toán nêu trong đề tài góp phần nâng cao hiệu quả dạy học

Đề xuất:

Mỗi giáo viên chủ động ý thức nâng cao trình độ, tiếp cận với sự phát triển của giáo dục.

- Thường xuyên lồng ghép bài toán nhiều cách giải trong quá trình dạy học sinh giải toán .

- Cố gắng tự mình thiết kế hệ thống bài toán có chất lượng tốt trong đó có bài toán nhiều cách giải để kích thích sự phát triển tư duy và óc thông minh, sáng tạo của HS.

- Sử dụng nhuần nhuyễn các phương pháp giải bài tập và tự mình khám phá ra các cách giải mới