Các Phân Phối Xác Suất Của Biến Ngẫu Nhiên

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 1

A. Giải tích tổ hợp

1.1. 1260

1.2. 840 1.3. 5950	1.4. 15840
1.5. 2880000	1.6. 1800 1.7. 1630	1.8. 1800
1.9. 544320	1.10. a) 10010 b) 4665	1.11. 645
1.12. 1260	1.13. 42000 1.14. 64800	1.15. 324
1.16. 90	1.17. 205320 1.18. 390625
C. Tính xác suất 1.25. a) 1/6	b) 5/36
1.26. a) 1/210	b) 3/7 c) 37/42
1.27. 20/77

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 168 trang tài liệu này.

C + C C

50 49 1

1.28.95 95 5

100

1.29. 1-

1.30. a)

1 4

C C

2 8

C 2

1 4 2 3

C C + C C

b) 2 8 2 8

C 2

c)8

1.31. a)4

b) 1-2

1.32. a)

280  0,259;b)

1081

850668  0,4; c)

2118760

8954400  0,42; d)

21187600

801  0,741.

1081

1.33. a) 0,398 b) 0,496

1.34. a) 0,4 b) 0,9

1.35. a) 0,398 b) 0,496

1.36. a) 0,36 b) 0,91

1.37. 0,4875

1.38. a) 0,3675 b) 0,72775

1.39. a) 0,016 b) 0,25

1.40. a) 0,022 b) » 0,11364

CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN

2.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên

2.1.1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) là một đại lượng phụ thuộc vào kết cục của một phép thử (tức là giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được).

Các biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu là X , Y , Z … hoặc X1 , X2 … còn các giá trị có thể của nó được ký hiệu là x , y , z hoặc x1 , x2 …

Chú ý rằng sở dĩ biến X nào đó gọi là ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử ta chưa có thể nói một cách chắc chắn nó sẽ nhận giá trị bằng bao nhiêu, mà chỉ có thể dự đoán điều đó với một xác suất nhất định. Nói cách khác việc X nhận một giá trị nào đó (X = x1) hoặc (X = x2) , . . . , (X = xn) về thực chất là các biến cố ngẫu nhiên. Hơn nữa vì trong kết quả của phép thử biến X nhất định sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể của nó, do đó các biến cố (X = x1) , (X = x2) , . . . , (X = xn) tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

Ví dụ 2.1. Gieo một con súc sắc. Gọi X là “Số chấm xuất hiện”. X là biến ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận 1 trong 6 giá trị có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2.1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên

- Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập giá trị của nó là 1 tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử.

- Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp đầy một khoảng trên trục số.

Ví dụ 2.2. Biến cố X trong ví dụ 2.1 là biến ngẫu nhiên rời rạc.

Ví dụ 2.3. Tuổi thọ hoặc chiều cao của con người là biến ngẫu nhiên liên tục.

2.2. Các phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

2.2.1. Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của các

biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị có thể có là x1, x2, …, xn với các xác suất tương ứng là p1, p2, . . . , pn. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X có dạng:

x1	x2	. . .	xi	. . .	xn
p(x)	p1	p2	. . .	pi	. . .	pn

Chú ý: Để tạo nên một quy luật phân phối xác suất thì các xác suất pi phải thoả mãn điều kiện:

0 pi  1 , i



p  1

i1

Ví dụ 2.4. Một xạ thủ có 3 viên đạn được yêu cầu bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng thì dừng bắn. Tìm bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn, biết rằng xác suất bắn trúng của mỗi lần bắn là 0,6.

Giải:

Đặt: Ai = “Bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứ i”, i = 1..3

Các biến cố Ai, A i là độc lập và P(Ai) = 0,6; P( A i) = 0,4 Gọi X là “số viên đạn bắn ra”  X = {1, 2, 3}

Ta có: P{X = 1} = P(A1) = 0,6

P{X = 2} = P( A 1A2) = 0,4 . 0,6 = 0,24

P{X = 1} = P( A 1 A 2) = 0,4.0,4 = 0,16

Suy ra: bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:

1	2	3
p(x)	0,6	0,24	0,16

a. Các phép toán đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

- Phép cộng: Giả sử X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau :

x1	x2 …	xm
P	p1	p2 …	pm

y1	y2 …	yn
P	p’1	p’2 …	p’n

Khi đó X + Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là

X + Y

z1	z2 …	zs
P	p”1	p”2 …	p”s

Trong đó zk là các giá trị khác nhau của các tổng xi + yj và p’’k =



i j

xi  y j zk

p .p'

- Phép nhân: Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như trên. Khi đó X.Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là:

Trong đó z

là các giá trị khác nhau của các tích x y và

p'' 

p p'

k i j

X Y	z1	z2 …	zs
P	p”1	p”2 …	P”s

xi y j zk

Ví dụ 2.5. Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất lần lượt là:

X	0	1	2
P	0,2	0,3	0,5

Y	-1	1	2
P	0,4	0,3	0,3

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng X+Y, XY.

Giải:

Trường hợp X+Y

Ta có hai bảng sau đây.

Ở bảng thứ nhất (xem Bảng 1)

- dòng 1 ghi các giá trị của X,

- cột 1 ghi các giá trị của Y,

- các ô giữa ghi giá trị tương ứng của X+Y. Kết quả ở mỗi ô là tổng các giá trị thuộc dòng 1 lần lượt với các giá trị thuộc cột 1.

Ở bảng thứ hai (xem Bảng 2)

- dòng 1 ghi xác suất ứng với mỗi giá trị của X,

- cột 1 ghi xác suất ứng với mỗi giá trị của Y,

- các ô giữa ghi xác suất ứng với mỗi giá trị của X+Y.

Kết quả ở mỗi ô là tích các giá trị thuộc dòng 1 lần lượt với các giá trị thuộc

cột 1.

X Y	0	1	2
-1	-1	0	1
1	1	2	3
2	2	3	4

X Y	0,2	0,3	0,5
0,4	0,008	0,12	0,20
0,3	0,06	0,09	0,15
0,3	0,06	0,09	0,15

Bảng 1 Bảng 2

Từ Bảng 1 và Bảng 2 suy ra

X+Y = 1,

0, 1,

2, 3,

4,

P (X+Y = -1) = 0,08

P (X+Y = 0) = 0,12

P (X+Y = 1) = 0,20 + 0,06 = 0,26

P (X+Y = 2) = 0,09 + 0,06 = 0,15

P (X+Y = 3) = 0,15 + 0,09 = 0,24

P (X+Y = 4) = 0,15

Vậy bảng phân phối xác suất của X+Y là:

X+Y

-1	0	1	2	3	4
P	0,08	0,12	0,26	0,15	0,24	0,15

Trường hợp XY

Ta chỉ cần lập lại bảng giá trị của tích XY tương tự như Bảng 1, nhưng kết quả ở mỗi ô giữa trong bảng mới sẽ là tích các giá trị thuộc dòng 1 lần lượt với các giá trị thuộc cột 1. (xem Bảng 3)

0	1	2
-1	0	-1	-2
1	0	1	2
2	0	2	4

Bảng 3

Từ Bảng 3 và Bảng 2 suy ra

XY = 2,

1,

0, 1, 2,

4,

P (XY = -2) = 0,20 ,

P (XY = -1) = 0,12 ,

P (XY = 0) = 0,08 + 0,06 + 0,06 = 0,20 , P (XY = 1) = 0,09 ,

P (XY = 2) = 0,15 + 0,09 = 0,24 ,

P (XY = 4) = 0,15.

Vậy, bảng phân phối xác suất của XY là:

-2	-1	0	1	2	3
P	0,20	0,12	0,20	0,09	0,24	0,15

2.2.2. Hàm phân phối xác suất

Khái niệm hàm phân phối xác suất áp dụng được đối với cả biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.

Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, x là một số thực nào đó. Xét biến cố “Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x”, ký hiệu (X < x) . Hiển nhiên x thay đổi thì xác suất P(X < x) cũng thay đổi theo. Như vậy, xác suất này là một hàm số của x.

Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), là xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ.

F(x) = P(X < x)

Tính chất: Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau (1) 0 ≤ F(x) ≤ 1

(2) F(x) không giảm, tức là nếu x1 < x2 thì F(x1) ≤ F(x2) (3) F(-∞) = 0 ; F(+∞) = 1

(4) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)

(5) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì P(X = x0) = 0 và F(x) là một hàm liên tục

Ngược lại, nếu F(x) là hàm số xác định trên ¡ và có các tính chất (1) – (3) thì F(x) là hàm phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó.

Chú ý: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

x1	x2 …	xn
P	p1	p2 …	pn

Với x1 < x2 < … < xn, thì hàm phân phối xác suất của X là:

0



p1

,neáu

x  x1 x  x  x2

F(x) =

pi =

........................... .............

...............

xi x

p  p  ....  p ,neuá x

 x  x

1 2 n 1

 1

,neáu

n 1 n

x  xn

Ý nghĩa: Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất ở về phía bên trái số thực x nào đó.

Ví dụ 2.6. Một sinh viên thi ba môn Toán, Lý, Hóa với xác suất đỗ các môn lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Hãy tìm hàm phân phối xác suất của số môn anh ta đỗ trong ba môn đó. (sinh viên có điểm thi môn học lớn hơn bằng 5 gọi là thi đỗ môn đó)

Giải:

Gọi X là “số môn đỗ của sinh viên đó” 

X 0,1, 2,3

Ta tính P(X = k), k = 0,3 .

Gọi T, L, H lần lượt là các biến cố sinh viên đó đậu Toán, Lý, Hóa. Khi đó P(X = 0) = P( T L H ) = 0,024,

P(X = 1) = P(T L H + T L H + T L H) = 0,188, P(X = 2) = P(TL H + T L H + T LH) = 0,452,

P(X = 3) = P(TLH) = 0,336.

Vậy, bảng phân phối xác suất của X là:

0	1	2	3
P	0,024	0,188	0,452	0,336

Từ đó, ta có hàm phân phối xác suất của X là :

ïïì0 nếu

ï ï

x £ 0

F(x)= íï

0,024 nếu 0 < x £ 1

ï 0,664 nếu 1< x £ 2

ï 1 nếu x > 2

Đồ thị của hàm phân phối như sau:

00,664

Hình 2.1: Đồ thị hàm phân phối xác suất

Chú ý: Khi lập hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc cần lưu ý tới dấu “≤”, tức là a < x ≤ b.

2.2.3. Hàm mật độ xác suất

Định nghĩa: Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x) khả

vi thì đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó được gọi là hàm mật độ xác suất của X, ký hiệu là f(x).

f(x) = F’(x)

Chú ý: khái niệm hàm mật độ chỉ áp dụng được đối với biến ngẫu nhiên liên tục mà không áp dụng được đối với biến ngẫu nhiên rời rạc.

Tính chất: Hàm mật độ xác suất có các tính chất sau (1) f(x)  0,  x  R ;



(2) f (x)dx  1 ;



(3) F(x) = f (t)dt .



(4) P(a < X < b) = P(a  X < b) = P(a < X  b) =

= P(a  X  b) = f (x)dx

(với a,b  R , a < b)

Ngược lại, một hàm số f(x) có các tính chất (1) – (2) phải là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó.

Ví dụ 2.7. Cho hàm

ìïï

f (x)= ïï

kx2 (1-

x) nếu 0 £

x £ 1

ïï 0 nếu x Ï

îï

[0;1]

Giải

Tìm k để

f (x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X?

Dễ thấy

f (x)³

0, " x ,

f (x) là hàm mật độ khi và chỉ khi

+ ¥ + ¥

ò f (x)dx = 1 Û

ò kx2 (1-

x)dx = 1 Û

k = 12

- ¥ - ¥

Ví dụ 2.8. Cho a,b¡ , a < b, và X là điểm ngẫu nhiên chọn trong đoạn [a,b]. Giả thiết rằng xác suất X rơi vào các khoảng bằng nhau trong [a, b] là giống nhau. Xác định hàm mật độ của X.

Giải:

Vì xác suất P(a< X ≤ b) = 1, ta có

P(α< X ≤ β) =



b a

[α,β]  [a,b]

Vậy hàm phân phối của X là

0

b a

F (x) x a



1

Suy ra: hàm mật độ f(x) của X:

, x a

, a x b

,b x



1 , a x b



f xF 'xb a

0, x a x b

Đồ thị của hàm phân phối và hàm mật độ như sau: