Để sử dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes ta cần chỉ ra một
nhóm đầy đủ các biến cố
A1, A2 ,..., An
(nghĩa là hai biến cố bất kỳ
Ai , Aj ; i j
đôi một
xung khắc và biến cố tổng là biến cố chắc chắn
A1 A2 ... An ).
Biến cố A cần tính xác suất có quan hệ với hệ đầy đủ biến cố
A1, A2 ,..., An
Có thể bạn quan tâm!
-
Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 1 -
Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 2 -
Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 3 -
Các Phân Phối Xác Suất Của Biến Ngẫu Nhiên -
Các Đặc Trưng Số Của Biến Ngẫu Nhiên -
Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 7
Xem toàn bộ 168 trang tài liệu này.
như
sau: Biến cố A xảy ra khi có ít nhất một biến cố
Ai ,i 1, n
xảy ra. Ngược lại, nếu có
một biến cố
Ai ,i 1, n xảy ra thì A chưa chắc đã xảy ra.
- Công thức xác suất đầy đủ:
n
- Công thức Bayes:
P AP Ai P A/ Ai
i1
P A / AP Ai P A / Ai
i P A
Khi tính xác suất bằng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes thì việc
khó nhất là chỉ ra được một hệ đầy đủ các biến cố
A. Ta xét ví dụ sau:
A1, A2 ,..., An
có quan hệ phù hợp với
Ví dụ. Một nhà máy có 2 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Sản phẩm của phân xưởng I chiếm 60% sản lượng của nhà máy. Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 40% sản lượng của nhà máy. Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II lần lượt là: 0,03; 0,02.
a) Tìm tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy,
b) Lấy ngẫu nhiên từ kho của nhà máy ra 1 sản phẩm thì được phế phẩm, tính xác suất để phế phẩm đó là của phân xưởng 2.
Giải
Bài toán này đề cập đến 2 phần: phân xưởng của nhà máy và phế phẩm.
Việc tìm tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy tương ứng với việc tính xác
suất của biến cố:
A = “lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được phế phẩm”
Dễ dàng kiểm tra được rằng hệ A1,A2
là hệ đầy đủ biến cố, trong đó:
Ta có:
A1 = “sản phẩm của phân xưởng I ” A2 = “sản phẩm của phân xưởng II ”
P A1 0, 6; P A2 0, 4
P A / A1 0, 03; P A/ A2 0, 02
a) Theo công thức xác suất đầy đủ ta có
2
P AP Ai P A / Ai 0, 6.0, 03 0, 4.0, 02 0, 026
i1
Vậy tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy là: 0,026.
b) Theo công thức Bayes ta có
P A/ AP A2 P A / A2 0, 4.0, 02 0,3077 .
2 P A
0, 026
CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 1
1.1. Ta có thể có 2 không gian mẫu cho cùng một phép thử.
a) Đúng b) Sai
1.2. Các biến cố A và A B là xung khắc.
a) Đúng b) Sai
1.3. Hai biến cố
A, B xung khắc thì
P A BP AP B
a) Đúng b) Sai
1.4. Hai biến cố xung khắc là hai biến cố độc lập.
a) Đúng b) Sai
1.5. Các biến cố đối của hai biến cố độc lập cũng độc lập.
a) Đúng b) Sai
1.6. Hai biến cố
A, B xung khắc thì
P ABP APB
a) Đúng b) Sai
1.7. Hệ hai biến cố A, A
độc lập.
a) Đúng b) Sai
1.8. Cho
a,b, c, dtrong đó các biến cố sơ cấp là đồng khả năng. Các biến cố
A a,b; B a, clà phụ thuộc vì chúng cùng xảy ra khi biến cố sơ cấp a xảy ra.
a) Đúng b) Sai
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
A. Giải tích tổ hợp
1.1. Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn , mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi.
1.2. Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ . Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
1.3. Cho hai đường thẳng song song (d1) , (d2) . Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt , trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2).
1.4. Từ một tập thể gồm 12 học sinh ưu tú , người ta cần cử một đoàn đi dự trại hè quốc tế trong đó có một trưởng đoàn , 1 phó đoàn và 3 đoàn viên . Hỏi có bao nhiêu cách cử ?
1.5. Xét dãy gồm 7 chữ số, mỗi chữ số được chọn từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoả mãn các điều kiện sau :
- Chữ số vị trí số 3 là số chẵn
- Chữ số cuối cùng không chia hết cho 5
- Các chữ số ở vị trí 4, 5, 6 đôi một khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
1.6. Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần . Hỏi có bao nhiêu số như vậy.
1.7. Với 6 chữ số phân biệt 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt trong đó mỗi số đều phải có mặt số 6.
1.8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho tất cả các chữ số đều khác không và có mặt đồng thời các chữ số 2, 4, 5.
1.9. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên , trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần , các chữ số khác có mặt đúng 1 lần .
1.10. Có 9 viên bi xanh , 5 viên bi đỏ , 5 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau
a) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ ?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ?
1.11. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng . Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó . Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 màu.
1.12. Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 .Từ 8 chữ số số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và mỗi số đều không chia hết cho 10.
1.13. Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.
1.14. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác không).
1.15. Một lớp học có 20 học sinh , trong đó có hai cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự Hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
1.16. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam . Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách.
1.17. Một lớp học có 60 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một Ban cán sự gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó đời sống?
1.18. Có 8 người lên một đoàn tàu gồm 5 toa. Hỏi có bao nhiêu cách lên tàu một cách tùy ý.
B. Phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố
1.19. Biến cố A = “có ít nhất một trong 4 sản phẩm là phế phẩm” B = “số phế phẩm không ít hơn 2”.
Hãy mô tả các biến cố:
a) A ; b) B ; c) AB ; d) BA
1.20. Cho 3 sản phẩm. Biến cố A = “có ít nhất 1 phế phẩm” ; B = “cả 3 đều tốt”. Hãy mô tả các biến cố sau:
a) A+B; b) AB
1.21. Gọi Ai , i =1, 2, 3 là các sự kiện chỉ việc bắn trúng của xạ thủ thứ i (mỗi người bắn 1 phát). Hãy biểu diễn các sự kiện:
a) Có đúng 1 người bắn trúng,
b) Có ít nhất 1 người bắn trúng.
1.22. Gieo 1 con xúc sắc tương đối đồng chất và gọi Ai là sự kiện xuất hiện mặt i chấm (i = 1, 2, ...,6). Các sự kiện sau có ý nghĩa gì:
a) A1 +A2 + A3 b) A1+ A3 +A5
1.23. Hai người cùng bắn, mỗi người bắn một viên đạn vào tấm bia. Gọi Ni là biến cố người thứ i bắn trúng bia, i = 1,2. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua N1, N2.
a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng bia,
b) Có đúng một người bắn trúng,
c) Cả hai người đều bắn trúng,
d) Không có ai bắn trúng,
e) Có ít nhất một người bắn trúng,
f) Có không quá một người bắn trúng.
1.24. Người ta chọn ngẫu nhiên 3 linh kiện từ một lô hàng. Gọi Lk là biến cố linh kiện
__
thứ k đạt tiêu chuẩn loại A, k = 1,3 . Hãy biểu diễn các biến cố sau qua L1, L2,
L3
a) Cả ba linh kiện đều đạt loại A,
b) Chỉ có một linh kiện đạt loại A,
c) Có đúng hai linh kiện đạt loại A,
d) Không có kinh kiện nào đạt loại A.
e) Có nhiều nhất một linh kiện đạt loại A,
f) Có không quá hai linh kiện đạt loại A,
g) Có ít nhất một linh kiện không đạt loại A,
h) Có ít nhất một linh kiện đạt loại A.
C. Tính xác suất
1.25. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc. Tính xác suất để:
a) Tổng số nốt xuất hiện trên 2 con là 7,
b) Tổng số nốt xuất hiện trên 2 con là 8.
1.26. Một khách sạn có 6 phòng đơn, có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý chọn ngẫu nhiên ra 6 người. Tính xác suất để:
a) Cả 6 đều là nam
b) Có 4 nam và 2 nữ
c) Có ít nhất một nữ
1.27. Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. Chọn
ngẫu nhiên ra 6 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen và 1 quả cầu đỏ.
1.28. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lô hàng được
chập nhận nếu chọn ngẫu nhiên ra 50 sản phẩm để kiểm tra thì số phế phẩm không quá 1. Tìm xác suất để lô hàng được chấp nhận.
1.29. Giả sử trong 20 vé số có 4 vé trúng thưởng. Một người mua 3 vé. Tính xác suất để người đó trúng thưởng.
1.30. Trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm. Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ 10 sản phẩm đó có:
a) Một sản phẩm là phế phẩm,
b) Ít nhất một sản phẩm là phế phẩm,
c) Không có sản phẩm nào là phế phẩm.
1.31. Một công ty cần tuyển 2 nhân viên, có 6 người nộp đơn trong đó có 2 nam và 4 nữ. Biết rằng khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau.
a) Tính xác suất để cả 2 người được chọn đều là nữ,
b) Tính xác suất để ít nhất 1 nữ được chọn .
1.32. Một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 8 phế phẩm. Minh lấy ra 3 sản phẩm, sau đó Huy lấy ra 2 sản phẩm. Tính các xác suất sau:
a) Huy lấy trúng 1 phế phẩm khi Minh đã lấy đi 1 phế phẩm,
b) Hai bạn lấy được toàn sản phẩm tốt,
c) Hai bạn lấy ra đúng 1 phế phẩm,
d) Hai bạn lấy ra ít nhất 1 phế phẩm.
1.33. Ba xạ thủ, mỗi người bắn 1 viên đạn một cách độc lập, với xác suất bắn trúng của từng người tương ứng là 70% , 80% và 90%. Tính xác suất để:
a) Có 2 người bắn trúng,
b) Có ít nhất một người bắn trượt.
1.34. Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng. Xác suất để công ty A
thua lỗ là 0,2; xác suất để công ty B thua lỗ là 0,4; cả hai công ty cùng thua lỗ là 0,1. Tính xác suất để:
a) Chỉ có một công ty thua lỗ,
b) Có ít nhất một công ty không thua lỗ.
1.35. Một phòng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng, với xác suất cần cấp cứu
trong vòng 1 giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Tìm các xác suất trong vòng 1 giờ:
a) Có 2 bệnh nhân cần cấp cứu,
b) Có ít nhất 1 bệnh nhân không cần cấp cứu.
1.36. Ba xạ thủ A, B và C độc lập với nhau cùng nổ súng vào 1 mục tiêu. Xác suất bắn trúng của xạ thủ A , B , C lần lượt là 40% , 50% và 70%.
a) Tính xác suất để có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu,
b) Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu.
1.37. Hai xạ thủ cùng bắn vào một chiếc máy bay một cách độc lập, xác suất bắn trúng đích của 2 xạ thủ lần lượt là 75% và 65%. Máy bay rơi, nếu đồng thời bị cả 2 xạ thủ bắn trúng. Tính xác suất để máy bay bị rơi.
1.38. Một máy bay có 3 bộ phận A , B , C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ bị rơi khi có hoặc 1 viên đạn trúng vào A, hoặc cả 2 viên đạn trúng vào B, hoặc cả 3 viên đạn trúng vào C. Giả sử xác suất bắn trúng các bộ phận A , B , C lần lượt là 15% , 30% và 55%. Tính xác suất để máy bay bị rơi nếu:
a) Máy bay bị trúng 2 viên đạn,
b) Máy bay bị trúng 3 viên đạn.
1.39. Một xí nghiệp có 2 phân xưởng với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 1% và 2%. Biết rằng phân xưởng thứ nhất sản xuất 40% số lượng sản phẩm, còn phân xưởng thứ 2 sản xuất 60% số lượng sản phẩm.
a) Tìm xác suất để từ kho xí nghiệp chọn ngẫu nhiên được 1 phế phẩm,
b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm, tìm xác suất để nó là của phân xưởng I.
1.40. Một phân xưởng có 3 máy: máy I sản xuất 25% , máy II sản xuất 30% , máy III sản xuất 45% khối lượng sản phẩm. Tỷ lệ tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm của phân xưởng, tính xác suất để:
a) Sản phẩm đó là phế phẩm,
b) Phế phẩm được lấy ra do máy thứ nhất sản xuất ra.