Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ cái: A, B, C...

Ví dụ 1.7. Tung một đồng tiền xu xuống đất là một phép thử, còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố. Ta có hai biến cố:

N = “xuất hiện mặt ngửa” S = “xuất hiện mặt sấp”

Ví dụ 1.8. Gieo một son súc sắc là một phép thử

- Gọi A là biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu” thì A là biến cố chắc chắn.

- Gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt 7 chấm” thì B là biến cố không.

- Gọi Ak = “Xuất hiện mặt k chấm”. Khi đó: A1, A2, . . . A6 là các biến cố ngẫu nhiên.

1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố.

a. Quan hệ kéo theo

Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B khi và chỉ khi A xảy ra thì B cũng xảy ra

Ký hiệu: A Ð B

Mô tả hình học của quan hệ kéo theo có thể hình dung A là tập con của tập B.

Hình 1.1: Minh họa hình học quan hệ kéo theo

b. Quan hệ tương đương

Hai biến cố A và B gọi là tương đương khi và chỉ khi A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại.

Ký hiệu: A = B

c. Biến cố tổng

Biến cố C gọi là biến cố tổng của hai biến cố A, B nếu C xảy ra khi có ít nhất

A hoặc B xảy ra. Ký hiệu C =

Chú ý:

A+ B .

- Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích thành tổng của các biến cố khác.

- Mọi biến cố ngẫu nhiên A đều có thể biểu diễn thành tổng của các biến cố sơ cấp. Các biến cố sơ cấp trong tổng này được gọi là các biến cố thuận lợi cho biến cố A.

- Biến cố chắc chắn  là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể có, nghĩa là mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố . Do đó  còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp.

Ví dụ 1.9. Gieo đồng thời 2 con súc sắc. C = “tổng số chấm xuất hiện là 2”, A = “con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm”, B = “con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt 1 chấm”. Khi đó C = A + B.

Mô tả hình học của biến cố tổng có thể hình dung C là hợp của hai tập hợp A

và B.

A B

A+B

Hình 1.2: Minh họa hình học biến cố tổng

d. Biến cố hiệu

Biến cố C gọi là hiệu của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A

xảy ra còn B không xảy ra. Ký hiệu C = A B

Chú ý: Hai biến cố

A B và

B A nói chung thường khác nhau.

Mô tả hình học của biến cố hiệu có thể hình dung C là hiệu của hai tập hợp A

và B.

A B

Hình 1.3: Minh họa hình học biến cố hiệu

e. Biến cố tích

Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A, B đồng thời xảy ra. Ký hiệu C = AB

Ví dụ 1.10. Hai xạ thủ cùng bắn vào mục tiêu, mỗi người bắn một viên đạn.

Gọi C = “mục tiêu bị trúng 2 viên đạn”, A = “xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu”, B = “xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu”. Vậy C = AB.

và B.

Mô tả hình học của biến cố tích có thể hình dung C là giao của hai tập hợp A

A B

Hình 1.4: Minh họa hình học giao của hai biến cố

f. Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra,tức là:

A.B = 

Nhóm n biến cố A1, A2, . . . An được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong n biến cố này đều xung khắc với nhau.

Ví dụ 1.11. Gieo một con súc sắc. Gọi Ai (i = 1..6) là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt i chấm“. Nhóm 6 biến cố A1, A2, . . . A6 là xung khắc từng đôi.

g. Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia và ngược lại.

Ví dụ 1.12. Một cơ quan có 3 ô tô, gọi Ai là biến cố “Ô tô thứ i bị hỏng” (i = 1..2). Rò ràng, ô tô này bị hỏng không ảnh hưởng gì tới ô tô khác và ngược lại

Vậy: A1, A2, A3 là các biến cố độc lập.

h. Biến cố đối

Biến cố Ađược gọi là biến cố đối của biến cố A nếu nó xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra và ngược lại.

Ví dụ 1.13. Khi gieo một con xúc xắc. Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn“, B là biến cố “xuất hiện mặt lẻ”.

Rò ràng A và B là hai biến cố đối lập nhau.

Chú ý:

A + A = 

Nếu A và B là hai biến cố đối lập thì A và B xung khắc nhau.

i. Quy tắc đối ngẫu De Morgan:

A  B  C  A.B.C

A.B.C  A  B  C

1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố

Nhóm các biến cố A1 , A2 , . . . , An (n  2) của một phép thử gọi là nhóm đầy đủ nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:

i. Chúng xung khắc với nhau từng đôi một, tức là: Ai . Aj = 

ii. Tổng A1 + A2 + . . . + An là một biến cố chắc chắn. Ví dụ 1.14. Gieo một con xúc xắc.

a) Ai = “Xuất hiện mặt i chấm” , i = 1,6

{A1 , A2, A3 , A4 , A5 , A6 } là một hệ đầy đủ.

b) A = “Xuất hiện mặt 1 chấm” A , A là một hệ đầy đủ.

c) A = “Xuất hiện mặt chẵn” ; B = “Xuất hiện mặt lẻ”

{A, B} là một hệ đầy đủ.

1.2. Xác suất

1.3.1. Khái niệm xác suất

Như ta đã thấy, việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử là điều không thể đoán trước được. Tuy nhiên bằng trực quan ta có thể nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau.

Chẳng hạn: biến cố “Xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu sẽ có khả năng xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố “ Xuất hiện mặt có 2 chấm” khi tung một con xúc xắc.

Hơn nữa, khi ta lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện như nhau, người ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó, ta thấy khả năng định lượng (đo lường), khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó.

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.

1.3.2. Các định nghĩa xác suất

a. Định nghĩa cổ điển về xác suất

Xác suất của biến cố A là 1 số không âm, kí hiệu P(A), biểu thị khả năng xảy ra của biến cố A và được xác định như sau:

P(A)= m

Trong đó m : là số trường hợp thuận lợi cho A

n : Số trường hợp của phép thử

Ví dụ 1.15. Một lô sản phẩm có 10 sàn phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó 3 sản phẩm. Tìm xác suất để:

Giải:

a) Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.

b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm.

Tổng số kết quả cùng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là:

n = C3

a) Gọi A là biến cố “lấy được 3 chính phẩm”.

= 120

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A xảy ra là m = C3 =56

Do đó: P(A) = 56/120 = 7/15

C C

b) Gọi B là biến cố “trong ba sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm”

8 2

Số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là: m =

Do đó: P(B) = 56/120 = 7/15

b. Định nghĩa thống kê về xác suất

2 1 = 56

Nếu số các kết quả có thể là vô hạn hoặc hữu hạn nhưng không đồng khả năng, cách tính xác suất cổ điển như trên không còn dùng được nữa.

Giả sử số phép thử có thể được lặp đi lặp lại rất nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau.

Nếu trong n lần thực hiện phép thử đó, biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số:

fn(A) = k

được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử đó.

Bằng thực nghiệm, người ta chứng tỏ được khi số phép thử n tăng ra vô hạn thì tần suất fn(A) luôn dần tới 1 giới hạn nhất định.

Ta gọi giới hạn đó là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê.

P(A) =

limfn(A)

n

Ví dụ 1.16. Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng tiền xu, người ta tiến hành tung một đồng tiền xu nhiều lần và thu được kết quả sau đây:

Người làm

thí nghiệm

Số lần tung (n)	Sốlần được mặt sấp (k)	Tần suất fn(A) = k n
Buffon	4040	2048	0.5069
Pearson	12000	6019	0.5016
Pearson	24000	12012	0.5005