Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 3

Chú ý: Nếu A, B là 2 biến cố xung khắc thì P(A + B ) = P(A) + P(B)

Ví dụ 1.23. Có hai hộp phấn. Hộp thứ nhất có 6 viên phấn trắng, 4 viên phấn màu. Hộp thứ hai có 7 viên phấn trắng, 3 viên phấn màu. Từ hộp thứ nhất lấy ra 2 viên phấn, từ hộp thứ hai lấy ra 1 viên. Tìm xác suất lấy được

a) 2 viên phấn trắng.

b) ít nhất 1 viên phấn màu.

Giải:

Gọi Ak là biến cố lấy được k viên phấn trắng từ hộp thứ nhất, k = Bi là biến cố lấy được i viên phấn trắng từ hộp thứ hai, i = 0,1.

0,2

a) Gọi A là biến cố trong 3 viên phấn lấy từ hai hộp có 2 viên màu trắng.

Có thể bạn quan tâm!

• Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 1
• Lý thuyết xác suất và thống kê toán - 2
• Các Biến Cố A Và A  B Là Xung Khắc.
• Các Phân Phối Xác Suất Của Biến Ngẫu Nhiên
• Các Đặc Trưng Số Của Biến Ngẫu Nhiên

Xem toàn bộ 168 trang tài liệu này.

Ta có: A = A1B1 + A2B0.

Rò ràng các biến cố tham gia vào tổng là A1B1 và A2B0 xung khắc, còn các biến cố tham gia vào tích là A1 và B1, A2 và B0 độc lập. Do đó

P(A) = P(A1) P(B1) + P(A2) P(B0).

Các xác suất ở vế phải được tính bằng định nghĩa.

Chẳng hạn, đối với A1 : phép thử là việc lấy 2 trong 10 viên phấn của hộp thứ nhất ; A1 xảy ra khi lấy 1 viên phấn trắng từ 6 viên và 1 viên phấn màu từ 4 viên ở hộp đó. Suy ra

P(A1) =

1 1

.

C C

6 4

C

2

10

Tương tự, ta tính được các xác suất còn lại. Vậy

P(A) =

1 1

C C

6 4

C

2

10

1 2 1

C

.

C

C

.

+

7 6 3

C

C

C

1 2 1

10 10 10

= 71

150

 0,4733.

b) Gọi B là biến cố lấy được ít nhất một viên phấn màu từ cả hai hộp. Ta có hai cách tính xác suất của B.

Cách 1:Ta nhận thấy B là biến cố cả 3 viên phấn lấy từ hai hộp đều màu trắng. Do đó:

B = A2 B1 nên P B= P(A2) P(B1) =

2

C6

C

2

10

C7

1

C

.

1

10

= 7 .

30

Suy ra P(B) = 1 – P( B ) =

23 .

30

Cách 2:Ta có B xảy ra khi lấy được 1 viên phấn màu và 2 viên phấn trắng;

hoặc 2 viên phấn màu và 1 viên phấn trắng ; hoặc 3 viên phấn màu (và 0 viên phấn trắng). Do đó

B = A + (A1B0 + A0B1) + A0B0 ,

P(B) = P(A) + P(A1) P(B0) + P(A0) P(B1) + P(A0) P(B0) =

= 71

150

1 1 1 2

.

C C

C

C

+

+

6 4 3 4

C

C

C

2 1 2

10 10 10

1 2 1

C

.

C

C

.

+

=

7 4 3

C

C

C

1 2 1

10 10 10

23 .

30

Ví dụ 1.24. Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12% và mắc cả 2 bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính xác suất để người đó không bị mắc bệnh?

Giải

Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh tim”

B là biến cố “người đó mắc bệnh huyết áp”

 AB là biến cố “người đó mắc cả 2 bệnh”

Theo giả thiết ta có: P(A) = 0,09; P(B) = 0,12; P(AB) = 0,07 Gọi H là biến cố “người đó không mắc bệnh”

H là biến cố “người đó mắc ít nhất một bệnh”

H = A + B

 P( H ) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

 P( H ) = 0,09 + 0,12 – 0,07 = 0,14

Suy ra: P(H) = 1 - P( H ) = 1 – 0,14 = 0,86.

Ví dụ 1.25. Ba khẩu súng độc lập bắn vào một mục tiêu. Xác suất để khẩu thứ nhất bắn trúng bằng 0,7; để khẩu thứ hai bắn trúng bằng 0,8; để khẩu thứ ba bắn trúng bằng 0,5. Mỗi khẩu bắn một viên. Tính xác suất để:

a) Có 1 khẩu bắn trúng

b) Có 2 khẩu bắn trúng

c) Cả 3 khẩu bắn trật

d) Ít nhất một khẩu trúng

e) Khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng có 2 viên trúng

Giải:

Gọi Ai = “khẩu thứ i bắn trúng mục tiêu”, i =1..2

 Các biến cố A1, A2, A3 độc lập và P(A1) = 0,7; P(A2) = 0,8 P(A3) = 0,5

 P( A 1) = 0,3; P( A 2) = 0,2; P( A 1) = 0,5

a) P{có 1 khẩu bắn trúng} = P(A1 A 2 A 3 + A2 A 1 A 3 + A3 A 1 A 2)

= P(A1 A 2 A 3) + P(A2 A 1 A 3) + P(A3 A 1 A 2)

= P(A1)P( A 2)P( A 3) + P(A2)P( A 1)P( A 3) + P(A3)P( A 1)P( A 2)

= 0,7.0,2.0,5 + 0,8.0,3.0,5 + 0,5.0,3.0,2 = 0,22

b) P{có 2 khẩu bắn trúng} = P(A1A2 A 3 + A2A3 A 1 + A1A3 A 2)

= P(A1A2 A 3) + P(A2A3 A 1) + P(A1A3 A 2)

= P(A1)P(A2)P( A 3) + P(A2)P(A3)P( A 1) + P(A1)P(A3)P( A 2)

= 0,7.0,8.0,5 + 0,8.0,5.0,3 + 0,7.0,5.0,2 = 0,47

c) P{cả 3 khẩu bắn trượt} = P( A 1 A 2 A 3) = P( A 1)P( A 2)P( A 3)

= 0,3.0,2.0,5 = 0,03

d) P{ít nhất 1 khẩu bắn trúng} = 1 - P{cả 3 khẩu bắn trượt} = 1 – 0,03 = 0,97

e) Gọi B là biến cố “có 2 khẩu bắn trúng”. Xác suất cần tìm là P(A1/B) .

 P(B) = P(A1A2 A 3 + A2A3 A 1 + A1A3 A 2) = 0,47

 A1B = “có 2 khẩu bắn trúng trong đó có khẩu thứ nhất bắn trúng”

 P(A1B) = P(A1A2 A 3 + A1A3 A 2)

= P(A1A2 A 3) + P(A1A3 A 2)

= P(A1)P(A2)P( A 3) + P(A1)P(A3)P( A 2)

= 0,7.0,8.0,5 + 0,7.0,5.0,2 = 0,35

Suy ra: P(A1/B) = P(A1B)/P(B) = 0,47/0,35 = 0,755

d. Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử A1 , A2 , . . . , An là một hệ đầy đủ các biến cố và H là một biến cố bất kỳ.

Bài toán đặt ra là: biết xác suất P(Ai) và P(H/Ai) (i=1..n), tính xác suất P(H). Ta có: H = H.(A1 + A2 + . . . + An) = H.A1 + H.A2 + … + H.An

P(H) = P(H.A1 + H.A2 + … + H.An)

Vì các biến cố A1, … , An xung khắc từng đôi nên các biến cố H.A1, . . . , H.An cũng xung khắc từng đôi. Suy ra:

Mặt khác ta có:

P(H) =

n

P(H.Ai)

i1

Suy ra:

P(H.Ai) = P(Ai).P(H/Ai)  i =1,…, n

n

P(H) = P(Ai).P(H Ai)

i1

(1.1)

Công thức (1.1) được gọi là công thức xác suất đầy đủ hay công thức xác suất toàn phần.

Chú ý: Khi sử dụng công thức xác suất đầy đủ, cần lưu ý:

1) Nhận ra được mô hình bài toán: thường những bài toán có 2 công việc (phép thử), kết quả xảy ra của công việc sau luôn luôn phụ thuộc vào kết quả xảy ra của công việc trước.

2) Xác định được hệ đầy đủ và biến cố H: biến cố H thường liên quan trực tiếp đến kết quả của công việc 2, còn hệ đầy đủ được xác định nhờ vào các kết quả của công việc 1.

- Có nhiều cách xác định hệ đầy đủ, thường là các biến cố sơ cấp của phép thử thứ nhất hay là các kết quả nhỏ nhất có thể xảy ra ở công việc 1.

- Khi biến cố H đã xảy ra thì sẽ xảy ra một biến cố Ai nào đó, ngược lại xảy ra Ai thì chưa chắc H đã xảy ra.

Ví dụ 1.26. Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm ba phân xưởng. Phân xưởng 1 sản xuất 50%, phân xưởng 2 sản xuất 20% và phân xưởng 3 sản xuất 30% số bóng đèn. Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng 1, 2 và 3 tương ứng là 2%, 3% và 4%. Hãy tính tỷ lệ phế phẩm chung của nhà máy.

Giải:

Đặt: Ai = “bóng đèn chọn ra thuộc phân xưởng i”, i=1,2,3.

{A1, A2, A3} là hệ đầy đủ

P(A1) = 0,5; P(A2) = 0,2; P(A3) = 0,3

Gọi H là biến cố “bóng đèn chọn ra là phế phẩm”

 P(H/A1) = 0,02; P(H/A2) = 0,03; P(H/A3) = 0,04

Theo công thức xác suất đẩy đủ, ta có

P(H) = P(A1).P(H/A1) + P(A2).P(H/A2) + P(A3).P(H/A3)

= 0,5. 0,02 + 0,2. 0,03 + 0,3. 0,04= 0,028 = 2,8%

e. Công thức xác suất Bayes

Giả sử A1,…, An là nhóm đầy đủ các biến cố và H là biến cố bất kỳ. Biết xác suất P(Ai) và P(H/Ai) i=1,…,n.

Giả thiết phép thử được thực hiện và sự kiện H xảy ra. Hãy tính xác suất P(Ai/H) i=1,…,n.

Từ công thức nhân xác suất:

P(Ak.H) = P(Ak).P(H/Ak) = P(H).P(Ak/H) k=1,…,n

suy ra

P(Ak/H) =

P(Ak ).P(H / Ak ) P(H)

k=1,…,n

Thế P(H) theo công thức xác suất đẩy đủ, ta được:

P(Ak/H) =

P(Ak ).P(H / Ak )

n

P(Ai).P(H / Ai)

i1

k=1,…,n (1.2)

Công thức (1.2) được gọi là công thức xác suất Bayes

Xác suất P(Ak/H) gọi là xác suất hậu nghiệm, còn xác suất P(Ak) gọi là xác suất tiên nghiệm.

Ví dụ 1.26. Có 3 hộp bi giống nhau: hộp thứ nhất có 20 bi trắng, hộp thứ 2 có 10 bi trắng và 10 bi đen, hộp thứ 3 có 20 bi đen. Chọn ngẫu nhiên ra một hộp, sau đó từ hộp được chọn ra chọn ngầu nhiên ra 1 viên bi thì viên bi trắng. Tính xác suất để viên bi đó là của hộp thứ 2.

Giải:

Đặt: Ai = “Chọn được hộp bi thứ i”, i=1..3

 {A1, A2, A3} là hệ đầy đủ P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3

Gọi H là biến cố “Chọn được 1 bi trắng”

 biến cố H đã xảy ra và P(H/A1) = 1; P(H/A2) = 0,5; P(H/A3) = 0 Áp dụng CTXS Bayes, ta có:

P(A2/H) =

P(A2 ).P(H / A2 )

1 .0, 5

=3 = 1 .

3

P(Ai).P(H / Ai)

i1

1 .1+ 1 .0, 5 + 1 .0 3

3 3 3

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG 1

Trong chương 1 trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và các kết quả chính về lý thuyết xác suất:

- Các khái niệm về : quy tắc cộng, quy tắc nhân và giải tích tổ hợp: hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp;

- Các khái niệm phép thử, biến cố;

- Quan hệ giữa các biến cố;

- Các định nghĩa xác suất: định nghĩa cổ điển, định nghĩa theo thống kê,

- Các tính chất của xác suất;

- Các công thức tính xác suất: công thức cộng, công thức nhân, xác suất của biến cố đối, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes, công thức Bernoulli.

Để học tốt chương 1, sinh viên cần:

1. Nắm vững các kiến thức về đại số tập hợp như: hợp, giao, phần bù, tập con của các tập hợp… Khi đó, sinh viên sẽ dễ dàng trong việc tiếp thu, biểu diễn hoặc mô tả các biến cố.

2. Để tính xác suất theo công thức cổ điển, cần tính được số các trường hợp thuận lợi đối với biến cố và số các trường hợp có thể do đó, sinh viên cần nắm vững các quy tắc đếm và giải tích tổ hợp. Đặc biệt, sinh viên cần phân biệt được hai khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, trả lời được câu hỏi: khi nào dùng tổ hợp? khi nào dùng chỉnh hợp?

3. Một trong những khó khăn lớn nhất của bài toán tính xác suất đó là xác định được biến cố và sử dụng đúng công thức thích hợp, phối hợp giữa các công thức. Nếu xác định nhầm biến cố hoặc quan hệ giữa các biến cố hoặc công thức tính xác suất không thích hợp sẽ dẫn đến kết quả của bài toán tính xác suất sai. Vì vậy, để tránh nhầm lẫn, sinh viên cần thực hiện quy trình giải bài toán xác suất như sau và thực hành giải nhiều bài tập sẽ thực hiện tốt kỹ năng này.

Bước 1: Xác định biến cố cần tính xác suất ( Cần đọc kỹ các giả thiết của bài toán, xác định được yêu cầu của bài toán )

Bước 2: Sau khi xác định được biến cố cần tính xác suất (Bước 1), cần biểu diễn được quan hệ của biến cố đó với các biến cố đã cho (nếu có).

Bước 3: Xác định công thức tính xác suất thích hợp:

a) Sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất:

Trong đó:

P(A)= m

n

m - là số trường hợp thuận lợi cho A

n - Số trường hợp của phép thử

Để tìm

P A

chỉ cần tìm được 2 con số

m, n ở tử và mẫu với sự trợ giúp của giải

tích tổ hợp. Một trong các sai lầm thường gặp đó là các bạn sinh viên bỏ qua, không quan tâm đến phép thử của bài toán là thế nào. Khi tìm số trường hợp thuận lợi của biến cố, nếu ta đưa vào nhiều loại phép thử quả sẽ làm bài toán rắc rối và phức tạp hơn. Vì vậy, chúng ta cần trả lời được câu hỏi đầu tiên đó là: phép thử là thế nào? Phép thử được thực hiện một lần hay nhiều lần?

Tiếp theo, cần xác định được:

Số cách có thể của phép thử là bao nhiêu?

Số khả năng thuận lợi cho biến cố là bao nhiêu?

Ví dụ. Lấy ngẫu nhiên ra 8 con bài từ bộ tú lơ khơ 52 con. Tính xác suất để lấy được 5 con màu đỏ.

Giải

Ở đây, phép thử là: lấy cùng lúc ra 8 con bài (phép thử được thực hiện 1 lần)

Số các có thể của phép thử là

m C8

 752538150

52

Tiếp theo, ta xác định biến cố cần tính xác suất và số khả năng thuận lợi cho biến cố đó:

- Gọi A = “lấy được 5 con màu đỏ trong 8 con bài lấy ra”

= “lấy được 5 con bài màu đỏ và 3 con màu đen”

Để A xảy ra cần thực hiện 2 bước: Lấy ra 5 con màu đỏ trong số 26 con màu đỏ và lấy ra 3 con màu đen trong 26 con màu đen.

Theo quy tắc nhân, số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

n C C

5 3

26 26

 171028000

Áp dụng định nghĩa cổ điển về xác suất ta có:

P(A)=

m = 171028000 = 0, 227268

n 752538150

b) Sử dụng phối hợp giữa công thức cộng và công thức nhân

Để có kỹ năng tốt ở dạng này, sinh viên cần nắm vững các kiến thức sau:

- Quan hệ giữa các biến cố: quan hệ kéo theo, tương đương, biến cố tổng, biến cố tích, biến cố đối, biến cố xung khắc, hai biến cố độc lập.

- Xác suất điều kiện

- Công thức cộng xác suất:

P A BP AP BP AB

Nếu A, B xung khắc thì

P A BP AP B

Đặc biệt:

P A 1P A

Mở rộng cho 3 biến cố:

P A B C P AP BP C P ABP ACP BC P ABC 

- Công thức nhân xác suất:

P ABP APB/ AP BPA/ B

Nếu A, B độc lập thì

P ABP APB

Mở rộng cho 3 biến cố:

P ABCP APB/ APC/ AB

- Khi dùng công thức cộng và công thức nhân để tìm xác suất, sinh viên cần lưu ý có 2 loại biến cố: biến cố bài toán đã cho và biến cố cần tìm xác suất.

- Trước hết, ta cần xác định đâu là biến cố bài toán đã cho và đâu là biến cố cần tìm xác suất.

- Tiếp theo, ta cần biểu diễn được biến cố cần tìm xác suất thông qua các biến cố mà bài toán đã cho (chủ yếu là biến cố tổng, tích và biến cố đối).

- Cuối cùng, ta chỉ cần áp dụng các công thức đã có.

Ví dụ. Một cơ quan có 3 chiếc xe ô tô. Khả năng bị sự cố của các xe lần lượt là: 5%, 20%, 10%. Tính xác suất để có đúng 2 xe bị sự cố.

Giải

Các biến cố bài toán đã cho là:

Ai = “xe ô tô thứ i bị sự cố”; i = 1,2,3.

Ba biến cố này độc lập nhau và Biến cố cần tính xác suất là:

PA1 0, 05; P A2 0, 2; P A3 0,1

A = “có đúng 2 xe bị sự cố”

Quan hệ giữa biến cố A và các biến cố

A A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3

Áp dụng công thức:

Ai ;i  1, 2,3 bài toán đã cho là:

PAP A1A2A3A1A2A3A1A2A3

P AP A1A2A3P A1A2A3P A1A2A3

P AP A1PA2PA3P A1PA2PA3P A1PA2PA3

P A1 0, 05.0, 2.0,1 0, 05.1 0, 2.0,1 0, 05.0, 2.1 0.1

P A 0, 032 .

c) Sử dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes