Lý thuyết xác suất và thống kê toán

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học là một ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng của đời sống con người. Các kiến thức và phương pháp của Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học đã hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác nhau như Vật lý, hóa học, sinh học, nông học, kinh tế học,…

Ngày nay, lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học đã được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trường Đại học và Cao đẳng trong và ngoài nước. Do đối tượng sinh viên rất đa dạng, với trình độ toán cơ bản khác nhau, chúng tôi đã cố gắng tìm những cách tiếp cận đơn giản và hợp lý để biên soạn Tập bài giảng “Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học” dành cho sinh viên khối ngành kinh tế - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định.

Tập bài giảng gồm 5 chương, 2 chương đầu dành cho phần xác suất và 3 chương sau dành cho thống kê toán học.

Chương 1: Khái niệm cơ bản về xác suất Chương 2: Biến ngẫu nhiên

Chương 3: Lý thuyết ước lượng Chương 4: Lý thuyết kiểm định Chương 5: Phân tích hồi quy

Tập bài giảng được trình bày một cách thích hợp đối với sinh viên khối ngành kinh tế, sau mỗi phần lý thuyết đều có các ví dụ để minh họa trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán giúp người học tiếp thu kiến thức dễ dàng. Cuối mỗi chương chúng tôi biên soạn phần hướng dẫn tự học nhằm giúp sinh viên chuẩn bị tốt phần tự học ở nhà phù hợp với hình thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ. Đặc biệt, sinh viên cần chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn, mở rộng tổng quát hơn các kết quả và hướng ứng dụng vào thực tế. Tiếp theo, chúng tôi biên soạn các câu hỏi ôn tập bao trùm toàn bộ nội dung vừa được học giúp sinh viên kiểm tra kiến thức vừa học, có những câu hỏi yêu cầu sinh viên phải vận dụng kiến thức tổng hợp và sáng tạo để giải quyết. Phần bài tập tổng hợp chủ yếu để giúp sinh viên kiểm tra kiến thức, khả năng tổng hợp và vận dụng kiến thức.

Mặc dù, đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Tập bài giảng không thể tránh khỏi những thiếu sót, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp và bạn đọc để Tập bài giảng được hoàn thiện hơn.

Các tác giả

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 168 trang tài liệu này.

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

Chương 1: Khái niệm cơ bản về xác suất 6

1.1. Giải tích tổ hợp 6

1.1.1. Quy tắc đếm 6

1.1.2. Hoán vị 7

1.1.3. Chỉnh hợp 7

1.1.4. Chỉnh hợp lặp 7

1.1.5. Tổ hợp 8

1.2. Phép thử và biến cố 8

1.2.1. Khái niệm 8

1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố 9

1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố 12

1.2. Xác suất 12

1.3.1. Khái niệm xác suất 12

1.3.2. Các định nghĩa xác suất 12

1.3.3. Tính chất của xác suất 14

1.3.4. Các công thức tính xác suất 14

Hướng dẫn tự học chương 1 22

Câu hỏi ôn tập chương 1 27

Bài tập chương 1 28

Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 1 33

Chương 2: Biến ngẫu nhiên 34

2.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên 34

2.1.1. Định nghĩa 34

2.1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên 34

2.2. Các phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 34

2.2.1. Bảng phân phối xác suất 34

2.2.2. Hàm phân phối xác suất 37

2.2.3. Hàm mật độ xác suất 39

2.3. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 42

2.3.1. Kỳ vọng 42

2.3.2. Phương sai 43

2.3.3. Mode 45

2.3.4. Median 46

2.4. Các phân phối xác suất thường dùng 46

2.4.1. Phân phối nhị thức 46

2.4.2. Phân phối Poisson 48

2.4.3. Phân phối chuẩn 49

2.4.4. Phân phối khi bình phương 56

2.4.5. Phân phối Student 56

2.4.6. Phân phối Fisher – Sendecor 57

Hướng dẫn tự học chương 2 59

Câu hỏi ôn tập chương 2 62

Bài tập chương 2 63

Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 2 67

Chương 3: Lý thuyết ước lượng 711

3.1. Lý thuyết mẫu 71

3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên 71

3.1.2. Các phương pháp lấy mẫu 72

3.1.3. Bảng phân phối thực nghiệm 73

3.1.4. Các đặc trưng mẫu 74

3.1.5. Cách tính các đặc trưng mẫu 76

3.2. Ước lượng điểm 80

3.2.1. Khái niệm ước lượng điểm 80

3.2.2. Các tính chất của ước lượng điểm 811

3.3. Ước lượng khoảng 82

3.3.1. Khái niệm ước lượng khoảng 82

3.3.2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 83

3.3.3. Khoảng tin cậy cho phương sai 90

3.3.4. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 94

Hướng dẫn tự học chương 3 99

Câu hỏi ôn tập chương 3 100

Bài tập chương 3 101

Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 3 104

Chương 4: Kiểm định giả thuyết thống kê 105

4.1. Giả thuyết thống kê 105

4.2. Quy tắc kiểm định 105

4.2.1. Tiêu chuẩn kiểm định 105

4.2.2. Quy tắc kiểm định 106

4.3. Các dạng miền tới hạn 106

4.3.1. Kiểm định đối xứng 106

4.3.2. Kiểm định trái 107

4.3.3. Kiểm định phải 107

4.4. Kiểm định về kỳ vọng 107

4.4.1. Bài toán 1: Phương sai VX = σ2 đã biết 108

4.4.2. Bài toán 2: Phương sai VX = σ2 chưa biết 110

4.5. Kiểm định phương sai 113

4.5.1. Bài toán 1: Kỳ vọng EX đã biết 113

4.5.2. Bài toán 1: Kỳ vọng EX chưa biết 114

4.6. Kiểm định về tỷ lệ 115

4.6.1. Kiểm định hai phía 115

4.6.2. Kiểm định phía trái 116

4.6.3. Kiểm định phía phải 116

4.7. Kiểm định về sự bằng nhau của hai kỳ vọng 118

4.7.1 Bài toán 1: Trường hợp biết

VX 2

và VY 2

............................. 118

4.7.2. Bài toán 2: Trường hợp chưa biết

VX 2

và VY 2119

4.8. Kiểm định sự bằng nhau của 2 tỷ lệ 121

4.8.1. Kiểm định hai phía 121

4.8.2. Kiểm định phía trái 122

4.8.3. Kiểm định phía phải 122

Hướng dẫn tự học chương 4 1244

Câu hỏi ôn tập chương 4 1255

Bài tập chương 4 1266

Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 4 1300

Chương 5: Phân tích hồi quy 1311

5.1. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 1311

5.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên 2 chiều 1311

5.1.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc 1311

5.1.3. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục 1333

5.2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2 chiều 1355

5.2.1. Các số đặc trưng của các biến thành phần 1355

5.2.2. Hệ số tương quan 1355

5.2.3. Hệ số tương quan mẫu 1377

5.2.4. Tiêu chuẩn độc lập của hai biến ngẫu nhiên 1388

5.2.5. Kiểm định giả thuyết về hệ số tương quan ................................. 13939 5.3. Hồi quy 1400

5.3.1. Mô hình tuyến tính 1400

5.3.2. Công thức ước lượng hệ số của đường hồi quy tuyến tính 1411

Hướng dẫn tự học chương 5 1455

Câu hỏi ôn tập chương 5 1466

Bài tập chương 5 1477

Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 5 1511

Phụ lục: Các bảng số 1555

Tài liệu tham khảo......................................................................................... 1622

CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

Chúng ta sống và làm việc trong một môi trường có nhiều biến động. Người sản xuất và kinh doanh cần dự báo được chính xác ngày mai thị trường sẽ ra sao, thị hiếu, nhu cầu của khách hàng thế nào. Lý thuyết xác suất là công cụ quan trọng để mô tả, nghiên cứu thị trường. Chương này sẽ giới thiệu các khái niệm và một số công thức tính xác suất cơ bản nhất.

1.1. Giải tích tổ hợp

Từ lâu, trong đời sống con người đã gặp và giải quyết các bài toán tổ hợp. Những kiến thức về tổ hợp có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn, đặc biệt là các ứng dụng trong máy tính, vi mạch, quy hoạch toán học, toán kinh tế,…

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản nhất của giải tích tổ hợp có ứng dụng trong lý thuyết xác suất.

1.1.1. Quy tắc đếm

a. Quy tắc cộng

Công việc A có thể thực hiện bằng m phương án khác nhau hoặc

A1 , hoặc

A2 ,…

, hoặc Am . Mỗi phương án

Ai có ni

cách thực hiện. Số cách để thực hiện công việc A

là å

i= 1

ni .

Ví dụ 1.1: Một nhóm có 15 sinh viên gồm 5 nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó ra một sinh viên làm nhóm trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải:

Công việc của ta là chọn 1 sinh viên làm nhóm trưởng, công việc này có 2 phương án thực hiện:

- Phương án 1: Nhóm trưởng là sinh viên nam – có 5 cách chọn.

- Phương án 2: Nhóm trưởng là sinh viên nữ – có 10 cách chọn.

Vậy số cách để chọn một sinh viên là nhóm trưởng là: n = 5 + 10 = 15 (cách)

b. Quy tắc nhân

Công việc A được chia thành m công đoạn

A1, A2 ,..., Am . Ứng với mỗi cách thực

hiện công đoạn

việc A là Ò ni .

i= 1

Ai có

ni+ 1

cách thực hiện công đoạn

Ai+ 1 . Số cách để thực hiện công

Ví dụ 1.2: Một doanh nhân dự định đi từ Kiên Giang tới Hà Nội, qua Thành phố Hồ Chí Minh. Hỏi ông ta có bao nhiêu cách đi, biết rằng từ Kiên Giang tới Thành phố Hồ

Chí Minh có thể dùng một trong ba phương tiện: ô tô, tàu thủy, máy bay; từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội có thể dùng một trong bốn phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, máy bay.

Giải

Công việc A: đi từ Kiên Giang tới Hà Nội được chia thành 2 công đoạn

- Công đoạn 1: đi từ Kiên Giang Thành phố Hồ Chí Minh, có 3 cách thực hiện.

- Công đoạn 2: đi từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội , có 4 cách thực hiện.

Vậy số cách đi từ Kiên Giang tới Hà Nội là: 3.4 = 12 (cách).

1.1.2. Hoán vị

Định nghĩa: Cho một tập có n phần tử. Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp đó theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Số các hoán vị của n phần tử, kí hiệu là

Pn :

Pn = n!= 1.2.3....(n - 1)n

Ví dụ 1.3. Sắp chỗ ngổi cho 3 học sinh A, B, C trên một bàn, ta có số cách sắp xếp là

3!= 6 cách như sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

1.1.3. Chỉnh hợp

Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập có n phần tử, hai cách lấy gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy ra của các phần tử khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là: Ak, xác định bởi công thức :

Quy ước: 0! = 1

k n!

n (n k )!

Ví dụ 1.4: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 5 người đi làm nhiệm vụ, người nào được chọn trước sẽ làm nhóm trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Giải:

Số cách chọn là

1.1.4. Chỉnh hợp lặp

A2 = 20

cách

Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử và mỗi phần tử có thể lặp lại lấy từ n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp lặp chập k

~ k

của n phần tử, kí hiệu là An:

~ k

An= nk

Ví dụ 1.5: Với các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số?

Giải:

Số các số có 3 chữ số là chỉnh hợp lặp chập 3 của 4.

A4 =

Ta có: °3 43 = 64

1.1.5. Tổ hợp

Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập có n phần tử, hai cách lấy gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là: C k , xác định bởi công thức :

Tính chất:

a k

kn

n k!

n! k!(n  k)!

0= Cn= 1

k= Cn k

Ck 1+ Ck

= Ck

n 1 n 1 n

Ví dụ 1.6. Có bao nhiêu cách lập hội đồng gồm 3 người trong tổng số 8 người? Giải

Hội đồng là nhóm 3 người lấy ngẫu nhiên từ 8 người, do đó số cách lập hội

đồng là

C3 =

3!(8-

3)!

= 56 (cách)

1.2. Phép thử và biến cố

1.2.1. Khái niệm

Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với các điều kiện cơ bản, và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó được thực hiện. Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tượng, ta cần thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy.

Chẳng hạn khi muốn nghiên cứu chất lượng của một lô sản phẩm, ta phải lấy ngẫu nhiên một hoặc một số sản phẩm của lô sản phẩm đó để kiểm tra. Việc thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử, còn hiện tượng đó có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố (sự kiện).

Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:

- Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn được ký hiệu là: 

- Biến cố không: là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không được ký hiệu là: .

- Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử.