2 sin 2 x sin x 1
g) lim2
h) lim
tg3 x 3tgx
x 2
i) lim
x2 sin x 3sin x 1
x
Có thể bạn quan tâm!
-
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 1 -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 2 -
Nội Dung Vắn Tắt: Các Khái Niệm Về Giới Hạn Hàm Số, Vô Cùng Bé, Vô Cùng Lớn, Dạng Vô Định Và Khử Dạng Vô Định. -
Nội Dung Vắn Tắt: Vi Phân, Đạo Hàm Và Vi Phân Cấp Cao, Định Lý Về Hàm Số Khả -
Nội Dung Vắn Tắt: Các Công Thức Khai Triển Hữu Hạn, Các Quy Tắc L’Hospital -
Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 7
Xem toàn bộ 146 trang tài liệu này.
x0 1 x sin x cos x
6
j) tg(a x)tg(a x) tg2 a
3 cos x
6
cos(a 2x) 2 cos(a x) cos a
lim
x0 x 2
k) lim
x0 x2
l) lim cot g(a 2x) 2 cot g(a x) cot ga
x0 x 2
5. Tìm giới hạn
7x
3x 2x
8x 7x
1 5x
arctg4
a) lim
b) lim
c) lim
d) lim
x0
e) lim
2x 1
x 2 4
x0 6x 5x
f) lim 1 cos mx
x0 1 e x
e4x 1
g) lim
x0
h) lim
e2x 1
sin 5x
x2 arctg(x 2)
i) lim tgx sin x
x0
j) lim
arcsin 2 x
ln(1 3x )
x0
k) lim
tgx
emx 1
x0 ln(1 4x)
ex e x
l) lim
x0
arctg3 x
xln(1 2x )
x0 nx
x0
sin x
m) lim
ex cos x
2
2
ex ex
n) lim 3
o) lim
ex ex
p) lim
esin 3x 1
x0x
x0 x
arcsin x
x0 sin x sin x
x0 ln(1 tg2x)
q) lim ln(1 sin 4x)
r) lim ln(1 a sin x)
s) lim ln(1 3x sin x)
t) lim ln cos ax
x0 sin(esin 5x 1)
x0
sin x
x0
tg2 x
x0 ln cos bx
6. Tìm giới hạn
arccos(1 x)
cos 4x cos 2x
ln cos x
b x ba
x
a) lim
x0
b) lim
x0
arcsin 2 3x
c) lim
x0 x 2
d) lim
xa
x a
e) lim ln cos ax
f) lim ln x ln a
g) lim
h) lim
ln cos x
ln 1 x 1 x
x0 ln cos bx
xa x a
x0x
x0
4 1 x 2 1
x 2
1 x x 2 1
1 sin 3x 1
sin sin tg 2
i) lim
j) lim
k) lim
x0
l)
sin 4x
n 1 x
cos(xe x ) cos(xe x )
x0
ln(1 tg2x)
m 1 x
x0 ln cos 3x
m1 x n1 x 1
lim
x0 x 3
m) lim
x0x
n) lim
x0x
7. Tìm giới hạn
a) limcos x cot g 2 x
b) lim2 cot gx
x0 sin 2 x
x0 sin 2x
8. Tìm giới hạn
1
a) lim x cot gx
b) lim
xarc cot gx
c) lim x e x 1
d) lim x arctgx
x0
e) 2
x
1
x
x2
lim x
x
1 cos
x
f) lim x[ln(x a) ln x]
x
1 3
11
g) lim sin2x.cotgx h)
lim x 2 cos cos
i) lim x 2 a x a x 2
(a > 0)
x
x
x
x
x
x
9. Tìm giới hạn
x 1
a) lim (sin
x
-sin
) b)
lim (sin(ln( x 1)) sin(ln x))
x
10. Tìm giới hạn
x1
x 2 1 x 1
a) lim x 2 1
2 x x
b) lim3 x
x3
3x 2 x 1 1x
c) lim 2x 2 x 1
x
x0
x
2
x
x4
x x2 1
x 2 x
d) lim
e) lim
x2
x 1
x 2x 1
11. Tìm giới hạn
x 2 x3
x 1 x 2
a bx c
2x 3 x1
x 1 2x
a) lim
b)
lim
c)
lim 1
d) lim
e)
lim
xx 1
xx 3
xx
x0 2x 1
xx 3
7 x3
1 x
x 1 1
f) lim 2x 1
g) lim 1 3x 1x
h) lim 3x 1
i) limx x 2
x 2x 5
x 1 x3
x2 3x
2
x 2 1 x
x 3x 9
1
x22
1
j) lim
k) lim
l) lim(1 3x) x
m) lim(1 2x) x
xx 2
xx 2 2
x0
x0
12. Tìm giới hạn
tgx
a) lim cos
xarctgx
b) lim(cos x)cot g x
2
c) lim (sin x) tgx
d) x
x0
1
x0
x
2
2a
a
lim2
xa
2
1
tg x
e) lim(2 x) 2
tg (2x )
f) lim (2 x)
g) lim1 sin xcot gx h)
lim 1 tgx
sin x
x1
x1
x1
x0 1 sin x
1
i) lim(2 cos x) arcsin 2 x
j) lim 1 tgx
1
sin 3 x
k) lim sin 1
cos
1 x
x0
x0 1 sin x
xx x
l) lim [(x 2) ln(x 2) 2(x 1) ln(x 1) x ln x]
x
13. Khi x → 0, cặp VCB sau có tương đương không?
a) α(x) =
, β(x) = esinx - cosx b) α(x) = ln(cosx), β(x) = - tg x
x x
x
2
2
3 x
c) α(x) = arctg(sin2x), β(x) = etgx - cos2x d) α(x) =
, β(x) = cosx - 1
A. Tổng quan
Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm
1. Nội dung vắn tắt: Hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân của hàm số.
2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức về hàm số liên tục: các định nghĩa, các phép toán và tính chất; điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn; đạo hàm, định nghĩa, ý nghĩa hình học và vật lý, đạo hàm một phía, mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục, đạo hàm hàm số ngược, các phép toán và công thức đạo hàm cơ bản.
3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, giới hạn của hàm số.
B. Lý thuyết
I Hàm số liên tục*
1. Các định nghĩa
Định nghĩa 3.1.1: Cho f(x) xác định trên X
i) x0 gọi là điểm tụ của X nếu {xn} X sao cho
lim xn = x0.
n
ii) Giả sử x0 là điểm tụ của X và x0 X, nếu có tục tại x0.
lim f(x) = f(x0), thì ta nói hàm số liên
xx0
Chú ý:Hàm số muốn liên tục tại x0, thì trước hết phải xác định tại x0, đồng thời x0
phải thuộc TXĐ và là điểm tụ của TXĐ.
Định nghĩa 3.1.2: Cho f(x) xác định trên X. f(x) được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.
Định nghĩa 3.1.3: Cho f(x) xác định trên (a,b) hoặc [a,b] hoặc [a,b) hoặc (a,b]. Cho điểm x0 (a,b).
i) f(x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu
lim f(x) = f(x0).
0
xx
ii) f(x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu
lim f(x) = f(x0).
0
xx
Chú ý:Khái niệm liên tục một phía chỉ xét đối với các điểm trong mà không xét đối
với các điểm biên.
Định lý 3.1.1: Cho f(x) xác định trong (a,b). f(x) liên tục tại x0 (a,b) nếu và chỉ nếu
f(x) liên tục trái và liên tục phải tại x0.
Định nghĩa 3.1.4: Hàm số f(x) được gọi là liên tục đều trên TXĐ X nếu mọi điểm
thuộc X đều là điểm tụ của X và nếu:
ε > 0 δ sao cho x1, x2 X, |x1 - x2| < δ => |f(x1) - f(x2)| < ε.
* Vấn đề hàm số liên tục đã được học trong chương trình phổ thông, ở đây chúng ta chỉ nhắc
lại và chính xác hóa khái niệm. Cung cấp thêm khái niệm liên tục một phía và liên tục đều.
Chú ý:Hàm số liên tục đều trên TXĐ X thì liên tục trên X, điều ngược lại chưa chắc đúng.*
Ví dụ†: Hàm số y =
1 liên tục trên X nhưng không liên tục đều trên X.
x
2. Các tính chất của hàm số liên tục
Định lý 3.1.2: Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trong khoảng (α,β) và a < b thuộc (α,β) thoả f(a)f(b) < 0 => tồn tại c thuộc (a,b) sao cho f(x) = 0 (Hình 3.1).
Hệ quả 3.1.3: Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trên đoạn [a,b], khi đó, f(x) nhận tất cả các giá trị từ f(a) tới f(b).
Định lý 3.1.4‡:
y
a
O c
b
x
Hình 3.1
i) Nếu f(x) xác định, liên tục trong khoảng (α,β) thì af(x) cũng liên tục trong khoảng (α,β) với a là một hằng số nào đó.
ii) Nếu f, g là các hàm liên tục trong khoảng (α,β) thì f(x) + g(x), f(x).g(x) cũng liên tục trong khoảng (α,β)
iii) Nếu f, g là các hàm liên tục trong khoảng (α,β) đồng thời g(x) khác không trong khoảng đó thì f(x)/g(x) liên tục trong khoảng (α,β).
iv) Nếu f, g là các hàm liên tục thì fog cũng liên tục.
v) Các hàm số sơ cấp liên tục trên TXĐ.
3. Điểm gián đoạn của hàm số
Định nghĩa 3.1.5:
* Nhận xét này có thể yêu cầu sinh viên xem như bài tập, hoặc minh họa một cách vắn tắt
thông qua ví dụ.
† Ví dụ này chỉ mô tả vắn tắt tính đúng đắn.
‡ Nếu có thể, mô tả vắn tắt chứng minh một số ý của định lý này dựa trên tính chất về giới hạn
của hàm số.
i) f(x) gián đoạn tại x0 nếu không liên tục tại đó, khi đó x0 gọi là điểm gián đoạn của f(x).
y
a
b
O x0x
ii) x0 là điểm gián đoạn loại 1 nếu x → x0 về phía nào thì có giới hạn hữu hạn của f(x) trong quá trình đó.
iii) x0 là điểm gián đoạn loại 1 gọi là gián
đoạn bỏ được nếu
lim f(x) =
0
xx
lim f(x)
0
xx
iv) điểm gián đoạn không là gián đoại loại 1 gọi là gián đoạn loại 2.
II Đạo hàm
Hình 3.2
Điểm gián đoạn loại 1
1. Định nghĩa
Định nghĩa 3.2.1: Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b], nói rằng hàm số có đạo
hàm tại điểm x0 [a,b] nếu tồn tại giới hạn
lim f (x) f (x 0 )
hữu hạn. Khi đó, giá trị
xx0
x x 0
của
lim f (x) f (x 0 )
được gọi là đạo hàm của f(x) tại x0, ký hiệu là f’(x0) hàm số f(x).
xx0
x x 0
2. Ý nghĩa hình học, cơ học của đạo hàm*
y f(x0+Δx)
f(x0)
O x0
x0+Δx
x
a) Đạo hàm của hàm số tại một điểm là hệ số góc của đường tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó.
b) Đạo hàm của toạ độ của một chất điểm theo thời gian bằng với tốc độ tức thời của chất điểm đó.
c) Đạo hàm của vận tốc của một chất điểm
theo thời gian bằng với gia tốc tức thời của
chất điểm đó.
Hình 3.3
* Chú trọng vào ý nghĩa số gia của hàm trên số gia của đối
3. Đạo hàm một phía
Định nghĩa 3.2.2: Cho hàm f(x) xác định trong (a,b), x0 [a,b].
i) Giới hạn
lim
xx0
f (x) f (x 0 ) x x 0
, nếu tồn tại hữu hạn, được gọi là đạo hàm phải của f tại
0
x0, ký hiệu f’( x ).
ii) Giới hạn
lim
xx0
f (x) f (x 0 ) , nếu tồn tại hữu hạn, được gọi là đạo hàm trái của f tại x0,
x x 0
0
ký hiệu f’( x ).
Định lý 3.2.1: Cho f(x) xác định trong (a,b). Hàm số có đạo hàm tại x = x0 (a,b) nếu và chỉ nếu tồn tại đạo hàm ở cả hai phía tại x0, và f’( x ) = f’( x ).
0 0
4. Mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục
y
O
x0
Định lý 3.2.2: Hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 (+)Chứng minh: Trước hết, theo định
nghĩa, để tồn tại đạo hàm thì x0 TXĐ, hơn thế, x0 là điểm tụ của TXĐ, đồng thời
để lim f (x) f (x 0 )
tồn tại hữu hạn thì
xx0
x x 0
lim
xx 0
f(x) = f(x0) ■.
Chú ý rằng điều ngược lại nói chung
Hình 3.3: Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm
không đúng, xét hàm số có đồ thị như
trong hình vẽ, liên tục tại x0 nhưng không có đạo hàm.
5. Đạo hàm của hàm số ngược
Định lý 3.2.3: f(x) có đạo hàm tại lân cận x0, có hàm ngược g(y) có đạo hàm tại lân cận y0 = f(x0) => khi đó g’(y0) = 1/f’(x0).