Nội Dung Vắn Tắt: Hàm Số Liên Tục, Đạo Hàm Và Vi Phân Của Hàm Số.

2 sin 2 x  sin x  1

g) lim2

h) lim

tg3 x  3tgx

x 2

i) lim

x2 sin x  3sin x  1

x

Có thể bạn quan tâm!

• Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 1
• Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 2
• Nội Dung Vắn Tắt: Các Khái Niệm Về Giới Hạn Hàm Số, Vô Cùng Bé, Vô Cùng Lớn, Dạng Vô Định Và Khử Dạng Vô Định.
• Nội Dung Vắn Tắt: Vi Phân, Đạo Hàm Và Vi Phân Cấp Cao, Định Lý Về Hàm Số Khả
• Nội Dung Vắn Tắt: Các Công Thức Khai Triển Hữu Hạn, Các Quy Tắc L’Hospital
• Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc - 7

Xem toàn bộ 146 trang tài liệu này.



x0 1  x sin x  cos x

6

j) tg(a  x)tg(a  x)  tg2 a

3 cos x 

6



cos(a  2x)  2 cos(a  x)  cos a

lim

x0 x 2

k) lim

x0 x2

l) lim cot g(a  2x)  2 cot g(a  x)  cot ga

x0 x 2

5. Tìm giới hạn

7x 

3x  2x

8x  7x

1  5x

arctg4 

a) lim

b) lim

c) lim

d) lim

x0

e) lim

2x 1

x 2  4

x0 6x  5x

f) lim 1  cos mx

x0 1  e x

e4x  1

g) lim

x0

h) lim

e2x  1

sin 5x

x2 arctg(x  2)

i) lim tgx  sin x

x0

j) lim

arcsin 2 x

ln(1  3x )

x0

k) lim

tgx

emx  1

x0 ln(1  4x)

ex  e x

l) lim

x0

arctg3 x

xln(1  2x )

x0 nx

x0

sin x

m) lim

ex  cos x

2

2

ex  ex

n) lim 3

o) lim

ex  ex

p) lim

esin 3x  1

x0x

x0 x

 arcsin x

x0 sin x  sin x

x0 ln(1  tg2x)

q) lim ln(1  sin 4x)

r) lim ln(1  a sin x)

s) lim ln(1  3x sin x)

t) lim ln cos ax

x0 sin(esin 5x  1)

x0

sin x

x0

tg2 x

x0 ln cos bx

6. Tìm giới hạn

arccos(1  x)

cos 4x  cos 2x

ln cos x

b x  ba

x

a) lim

x0

b) lim

x0

arcsin 2 3x

c) lim

x0 x 2

d) lim

xa

x  a

e) lim ln cos ax

f) lim ln x  ln a

g) lim

h) lim

ln cos x

ln 1  x 1  x

x0 ln cos bx

xa x  a

x0x

x0

4 1  x 2  1

 x 2 

1  x  x 2 1

1  sin 3x  1

sin sin tg 2

i) lim

j) lim

k) lim

x0

l)

sin 4x

n 1 x

cos(xe x )  cos(xe x )

x0

ln(1  tg2x)

m 1 x

x0 ln cos 3x

m1 x n1 x  1

lim

x0 x 3

m) lim

x0x

n) lim

x0x

7. Tìm giới hạn

a) limcos x cot g 2 x 

b) lim2  cot gx 



x0 sin 2 x 



x0 sin 2x 

8. Tìm giới hạn

1



a) lim x cot gx

b) lim

xarc cot gx

c) lim x e x 1

d) lim x arctgx

x0

e) 2 

x

1 

x

x2 

lim x

x

1  cos 

x



f) lim x[ln(x  a)  ln x]

x

1 3 

11

g) lim sin2x.cotgx h)

lim x 2 cos cos

i) lim x 2 a x a x 2

(a > 0)

x

x

x 

x 

x

x

9. Tìm giới hạn

x  1

a) lim (sin

x

-sin

) b)

lim (sin(ln( x  1))  sin(ln x))

x

10. Tìm giới hạn

x1



 x 2  1 x 1

a) lim x 2  1 

2  x x

b) lim3  x 

x3



 3x 2  x  1 1x

c) lim  2x 2  x  1

x

x0

x

2

 x 

x4

x x2 1

x  2 x





d) lim 

e) lim 

x2

x  1 

x 2x  1

11. Tìm giới hạn

x  2 x3

x  1 x 2

a bx c

2x  3 x1

x  1 2x

a) lim 

b)

lim 

c)

lim 1 

d) lim

e)

lim 

xx  1 

xx  3 

xx 

x0 2x  1 

xx  3 

7 x3

1 x

x 1 1

f) lim 2x  1 

g) lim 1  3x 1x

h) lim 3x  1 

i) limx x 2



x 2x  5 

x  1 x3

x2  3x 

2

 x 2  1 x

x 3x  9 

1

x22 

1

j) lim 

k) lim 

l) lim(1  3x) x

m) lim(1  2x) x

xx  2 

xx 2  2 

x0

x0



12. Tìm giới hạn

tgx 

a) lim cos

xarctgx

b) lim(cos x)cot g x

2

c) lim (sin x) tgx

d) x

x0

1

x0

x

2



2a

a

lim2 

xa 

 2 



1

tg x



e) lim(2 x) 2

tg (2x )

f) lim (2  x)

g) lim1  sin xcot gx h)

lim 1  tgx

sin x



x1

x1

x1

x0 1  sin x 

1

i) lim(2  cos x) arcsin 2 x

j) lim 1  tgx

1

sin 3 x



k) lim sin 1

 cos

1 x



x0

x0 1  sin x 



xx x 



l) lim [(x  2) ln(x  2)  2(x  1) ln(x  1)  x ln x]

x

13. Khi x → 0, cặp VCB sau có tương đương không?

a) α(x) =

, β(x) = esinx - cosx b) α(x) = ln(cosx), β(x) = - tg x

x  x

x

2

2

3 x

c) α(x) = arctg(sin2x), β(x) = etgx - cos2x d) α(x) =

, β(x) = cosx - 1

A. Tổng quan

Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm

1. Nội dung vắn tắt: Hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân của hàm số.

2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức về hàm số liên tục: các định nghĩa, các phép toán và tính chất; điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn; đạo hàm, định nghĩa, ý nghĩa hình học và vật lý, đạo hàm một phía, mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục, đạo hàm hàm số ngược, các phép toán và công thức đạo hàm cơ bản.

3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, giới hạn của hàm số.

B. Lý thuyết

I Hàm số liên tục*

1. Các định nghĩa

Định nghĩa 3.1.1: Cho f(x) xác định trên X

i) x0 gọi là điểm tụ của X nếu {xn} X sao cho

lim xn = x0.

n

ii) Giả sử x0 là điểm tụ của X và x0 X, nếu có tục tại x0.

lim f(x) = f(x0), thì ta nói hàm số liên

xx0

Chú ý:Hàm số muốn liên tục tại x0, thì trước hết phải xác định tại x0, đồng thời x0

phải thuộc TXĐ và là điểm tụ của TXĐ.

Định nghĩa 3.1.2: Cho f(x) xác định trên X. f(x) được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.

Định nghĩa 3.1.3: Cho f(x) xác định trên (a,b) hoặc [a,b] hoặc [a,b) hoặc (a,b]. Cho điểm x0 (a,b).

i) f(x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu

lim f(x) = f(x0).

0

xx

ii) f(x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu

lim f(x) = f(x0).

0

xx

Chú ý:Khái niệm liên tục một phía chỉ xét đối với các điểm trong mà không xét đối

với các điểm biên.

Định lý 3.1.1: Cho f(x) xác định trong (a,b). f(x) liên tục tại x0 (a,b) nếu và chỉ nếu

f(x) liên tục trái và liên tục phải tại x0.

Định nghĩa 3.1.4: Hàm số f(x) được gọi là liên tục đều trên TXĐ X nếu mọi điểm

thuộc X đều là điểm tụ của X và nếu:

ε > 0 δ sao cho x1, x2 X, |x1 - x2| < δ => |f(x1) - f(x2)| < ε.

* Vấn đề hàm số liên tục đã được học trong chương trình phổ thông, ở đây chúng ta chỉ nhắc

lại và chính xác hóa khái niệm. Cung cấp thêm khái niệm liên tục một phía và liên tục đều.

Chú ý:Hàm số liên tục đều trên TXĐ X thì liên tục trên X, điều ngược lại chưa chắc đúng.*

Ví dụ†: Hàm số y =

1 liên tục trên X nhưng không liên tục đều trên X.

x

2. Các tính chất của hàm số liên tục

Định lý 3.1.2: Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trong khoảng (α,β) và a < b thuộc (α,β) thoả f(a)f(b) < 0 => tồn tại c thuộc (a,b) sao cho f(x) = 0 (Hình 3.1).

Hệ quả 3.1.3: Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trên đoạn [a,b], khi đó, f(x) nhận tất cả các giá trị từ f(a) tới f(b).

Định lý 3.1.4‡:

y

a

O c

b

x

Hình 3.1

i) Nếu f(x) xác định, liên tục trong khoảng (α,β) thì af(x) cũng liên tục trong khoảng (α,β) với a là một hằng số nào đó.

ii) Nếu f, g là các hàm liên tục trong khoảng (α,β) thì f(x) + g(x), f(x).g(x) cũng liên tục trong khoảng (α,β)

iii) Nếu f, g là các hàm liên tục trong khoảng (α,β) đồng thời g(x) khác không trong khoảng đó thì f(x)/g(x) liên tục trong khoảng (α,β).

iv) Nếu f, g là các hàm liên tục thì fog cũng liên tục.

v) Các hàm số sơ cấp liên tục trên TXĐ.

3. Điểm gián đoạn của hàm số

Định nghĩa 3.1.5:

* Nhận xét này có thể yêu cầu sinh viên xem như bài tập, hoặc minh họa một cách vắn tắt

thông qua ví dụ.

† Ví dụ này chỉ mô tả vắn tắt tính đúng đắn.

‡ Nếu có thể, mô tả vắn tắt chứng minh một số ý của định lý này dựa trên tính chất về giới hạn

của hàm số.

i) f(x) gián đoạn tại x0 nếu không liên tục tại đó, khi đó x0 gọi là điểm gián đoạn của f(x).

y

a

b

O x0x

ii) x0 là điểm gián đoạn loại 1 nếu x → x0 về phía nào thì có giới hạn hữu hạn của f(x) trong quá trình đó.

iii) x0 là điểm gián đoạn loại 1 gọi là gián

đoạn bỏ được nếu

lim f(x) =

0

xx

lim f(x)

0

xx

iv) điểm gián đoạn không là gián đoại loại 1 gọi là gián đoạn loại 2.

II Đạo hàm

Hình 3.2

Điểm gián đoạn loại 1

1. Định nghĩa

Định nghĩa 3.2.1: Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b], nói rằng hàm số có đạo

hàm tại điểm x0 [a,b] nếu tồn tại giới hạn

lim f (x)  f (x 0 )

hữu hạn. Khi đó, giá trị

xx0

x  x 0

của

lim f (x)  f (x 0 )

được gọi là đạo hàm của f(x) tại x0, ký hiệu là f’(x0) hàm số f(x).

xx0

x  x 0

2. Ý nghĩa hình học, cơ học của đạo hàm*

y f(x0+Δx)

f(x0)

O x0

x0+Δx

x

a) Đạo hàm của hàm số tại một điểm là hệ số góc của đường tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó.

b) Đạo hàm của toạ độ của một chất điểm theo thời gian bằng với tốc độ tức thời của chất điểm đó.

c) Đạo hàm của vận tốc của một chất điểm

theo thời gian bằng với gia tốc tức thời của

chất điểm đó.

Hình 3.3

* Chú trọng vào ý nghĩa số gia của hàm trên số gia của đối

3. Đạo hàm một phía

Định nghĩa 3.2.2: Cho hàm f(x) xác định trong (a,b), x0 [a,b].

i) Giới hạn



lim

xx0

f (x)  f (x 0 ) x  x 0

, nếu tồn tại hữu hạn, được gọi là đạo hàm phải của f tại

0

x0, ký hiệu f’( x ).

ii) Giới hạn



lim

xx0

f (x)  f (x 0 ) , nếu tồn tại hữu hạn, được gọi là đạo hàm trái của f tại x0,

x  x 0

0

ký hiệu f’( x ).

Định lý 3.2.1: Cho f(x) xác định trong (a,b). Hàm số có đạo hàm tại x = x0 (a,b) nếu và chỉ nếu tồn tại đạo hàm ở cả hai phía tại x0, và f’( x ) = f’( x ).

0 0

4. Mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục

y

O

x0

Định lý 3.2.2: Hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 (+)Chứng minh: Trước hết, theo định

nghĩa, để tồn tại đạo hàm thì x0 TXĐ, hơn thế, x0 là điểm tụ của TXĐ, đồng thời

để lim f (x)  f (x 0 )

tồn tại hữu hạn thì

xx0

x  x 0

lim

xx 0

f(x) = f(x0) ■.

Chú ý rằng điều ngược lại nói chung

Hình 3.3: Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

không đúng, xét hàm số có đồ thị như

trong hình vẽ, liên tục tại x0 nhưng không có đạo hàm.

5. Đạo hàm của hàm số ngược

Định lý 3.2.3: f(x) có đạo hàm tại lân cận x0, có hàm ngược g(y) có đạo hàm tại lân cận y0 = f(x0) => khi đó g’(y0) = 1/f’(x0).