Giải tích 1 - Lê Chí Ngọc

3. Các kết quả về giới hạn của dãy.

Định lý 1.2.1: Nếu dãy hội tụ thì giới hạn là duy nhất.

(+)Chứng minh:* Giả sử

lim xn = a và

n

lim xn = b. Khi đó, ε > 0 n1 và n2 sao cho:

n

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 146 trang tài liệu này.

n > n1 => |xn - a| < ε/2 và n > n2 => |xn - b| < ε/2

Đặt n0 = max(n1,n2) => với n > n0, ta có: |a - b| ≤ |a - xn| + |xn - b| < ε/2 + ε/2 = ε Để ý rằng, ta có bất đẳng thức đúng ε > 0, vậy |a - b| = 0 hay a = b ■.

Định lý 1.2.2: Nếu dãy {xn} hội tụ thì giới nội ({xn} (b,c), với (b,c) là một khoảng nào đó).

(+)Chứng minh: Giả sử

lim xn = a. Khi đó n0 sao cho n > n0 => |xn - a| < 1, gọi b, c

n

lần lượt là số bé nhất và lớn nhất của tập hữu hạn {a - 1, x1, x2, ..., xn, a + 1}, thế thì:

{xn} (b,c) ■.

Định lý 1.2.3: Cho dãy số hội tụ {xn}, giả sử m ≤ xn ≤ M n, thế thì m ≤

lim xn ≤ M.

n

(+)Chứng minh: Đặt x = đó:

lim xn, thế thì ε > 0, n0 sao cho: n > n0 => |xn - x| < ε. Khi

n

x - M ≤ x - xn ≤ |x - xn| < ε. Để ý rằng, ta có bất đẳng thức đúng ε > 0, vậy x - M ≤ 0

m - x ≤ xn - x ≤ |xn - x| < ε. Để ý rằng, ta có bất đẳng thức đúng ε > 0, vậy m - x ≤ 0

■.

Định lý 1.2.3: Cho hai dãy số hội tụ {xn}, {yn}, khi n → ∞ thì xn → y, yn → y. Khi đó:

i) lim (xn+yn) = x+y ii)

n

lim (Cxn) = Cx iii)

n

lim (C + xn) = C + x

n

iv) lim (xnyn) = xy v)

lim ( 1 ) = 1 (yn,y ≠ 0) vi)

lim ( x n ) = x (yn,y ≠ 0)

n

nyn y

vii) xn → a, zn → a, xn ≤ yn ≤ zn n => yn → a

(+)Chứng minh:

i) ε > 0 n1 và n2 sao cho:

* Các phần có đánh dấu (+) chỉ giảng cho sinh viên nếu điều kiện thời gian cho phép.

n > n1 => |xn - x| < ε/2 và n > n2 => |yn - y| < ε/2 Đặt n0 = max(n1,n2) => với n > n0, ta có:

|x + y - a - b| ≤ |a - xn| + |xn - b| < ε/2 + ε/2 = ε hay

ii) ε > 0 n0 sao cho:

lim (xn+yn) = x+y

n

n > n0 => |xn - x| < ε/|C| => |Cxn - Cx| = |C||xn - x| < ε hay

lim Cxn = Cx

n

iii) Ta có

lim C = C =>

n

lim (C + xn) = C + x

n

iv) {xn} và {yn} hội tụ => giới nội => M > 0 để |xn|, |yn| < M n. Ta có ε > 0 n0

sao cho: n > n0 => |xn - x| <

và |yn - y| < 

2M 2M

=> |xnyn - xy| = |(xn-x)yn + x(yn - y)| ≤ |xn - x||yn| + |x||yn - y| <

.M + M= ε

hay:

v) ε > 0 n0 sao cho: n > n0

lim (xnyn) = xy

n

2M 2M

=> |y| - |yn| ≤ |yn - y| <

y => |yn| > y 2 2

và |yn

- y| <

y2

y n

=> 1

= | y n  y |

| y n || y |

≤ 2 | yn  y |

| y |2

< y2 .

2 = ε hay

lim (

n

1 ) = 1

yny

vi) Hiển nhiên từ iv) và v)

Định lý 1.2.4: Cho hai dãu số {xn} và {yn} hội tụ. Nếu n* sao cho: n > n* => xn ≥ yn

thì lim xn ≥ lim yn.

n n

(+)Chứng minh: Đặt

lim xn = x và

n

lim yn = y, khi đó ε > 0 n0 sao cho: n > n0

n

=> y - x ≤ y - yn + xn - x ≤ |y - yn| + |xn - x| < ε/2 + ε/2 = ε Để ý rằng bất đẳng thức đúng ε > 0 => y - x ≤ 0, hay y ≤ x ■.

Định lý 1.2.5 (Tiêu chuẩn kẹp): Cho ba dãy {xn}, {yn}, {zn},

lim xn = a,

n

lim zn = a. Giả

n

sử n0 sao cho: n > n0 => xn ≤ yn ≤ zn thế thì

(+)Chứng minh: ε > 0, n0 sao cho:

lim yn = a.

n

n > n0 => a - ε ≤ xn ≤ yn ≤ zn ≤ a + ε hay

lim yn = a ■.

n

Ví dụ: Xét dãy {xn}, xn =

cos n , ta có:

 1 ≤

cos n

≤ 1 n mà

lim

 1 =

lim

1 = 0

=> lim xn = 0

n

n n n n

nn

Định nghĩa 1.2.3:

i) Dãy {xn} được gọi là tăng nếu xn < xn+1 n

ii) Dãy {xn} được gọi là không giảm nếu xn ≤ xn+1 n

iii) Dãy {xn} được gọi là giảm nếu xn > xn+1 n

iv) Dãy {xn} được gọi là không tăng nếu xn ≥ xn+1 n

v) Dãy {xn} tăng, giảm, không giảm hay không tăng được gọi là đơn điệu.

vi) Dãy {xn} được gọi là bị chặn trên nếu c sao cho xn ≤ c n

vii) Dãy {xn} được gọi là bị chặn dưới nếu d sao cho xn ≥ d n

Định lý 1.2.6: Dãy đơn điệu không giảm (tăng) bị chặn trên (dưới) thì hội tụ.

Định nghĩa 1.2.4: Dãy {xn} là dãy Cauchy nếu:

ε > 0 nε ( m > n > nε => |xm - xn| < ε)

Định lý 1.2.5: Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

III Hàm số*

1. Khái niệm về tập xác định, tập giá trị

2. Khái niệm về hàm hợp.

Định nghĩa 1.3.1: Cho g: X → Y và f: Y → R => xác định hàm:

h = fog : X → R

h(x) := f(g(x)) gọi là hàm số hợp của hàm f và hàm g.

Ví dụ: Cho f(x) = x2, g(x) =

=> f(g(x)) = x có TXĐ [0,+∞), g(f(x)) = |x| có TXĐ (-∞,+∞)

3. Khái niệm về hàm ngược

Định nghĩa 1.3.2: Cho hàm số f: X → Y là một song ánh, khi đó xác định hàm

g = f-1 : Y → X

f-1(x) := y sao cho f(y) = x gọi là hàm số ngược (gọi tắt hàm ngược) của f.

Ví dụ: Hàm số y = f(x) = arcsin 1 1 có TXĐ và TGT tương ứng là (-∞,- 1 ] có hàm

ngược là y = f-1(x) =



2

sin x  1

4. Khái niệm về hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn.

Định nghĩa 1.3.3: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định đối xứng qua x = 0, khi đó

i) f là hàm chẵn nếu f(-x) = f(x) x TXĐ.

ii) f là hàm lẻ nếu f(-x) = -f(x) x TXĐ.

(+)Mệnh đề 1.3.1:* Cho f(x), g(x) là hàm chẵn; h(x), k(x) là hàm lẻ; l(x) là hàm bất kỳ,

thế thì, với x thuộc tập xác định của các hàm xét:

* Các khái niệm về hàm số, tập xác định, tập giá trị, hàm hợp đã được học ở chương trình phổ thông. Phần này mang tính chất nhắc lại, chính xác hóa các khái niệm hàm hợp, hàm ngượcm hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, cung cấp khái niệm về hàm sơ cấp.

i) f(x) g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) là hàm chẵn

ii) h(x) k(x) là hàm lẻ; h(x)*k(x) là hàm chẵn

iii) f(x)*h(x) là hàm lẻ.

iv) l(f(x)) là hàm chẵn

v) f(h(x)) là hàm chẵn

vi) h(k(x)) là hàm lẻ

Định nghĩa 1.3.4: Cho hàm số y = f(x)

i) f được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T > 0 nếu TXĐ của f tuần hoàn với chu kỳ T nếu:

x TXĐ => x + T TXĐ và f(x+T) = f(x) x TXĐ.

ii) Cho f là hàm tuần hoàn, T được gọi là chu kỳ cơ bản của f nếu T là chu kỳ bé nhất.

Ví dụ: Hàm cosx là hàm chẵn, sinx là hàm lẻ, cos2x tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π

5. Khái niệm về hàm sơ cấp

a) Các hàm sơ cấp cơ bản: luỹ thừa, mũ, lôga, lượng giác, lượng giác ngược.

b) Các hàm sơ cấp: Các hàm số sơ cấp cơ bản, các phép toán số học, hàm hằng, phép lấy hàm hợp.

* Chứng minh mệnh đề này đơn giản, có thể xem là bài tập cho sinh viên

C. Bài tập

1. Chứng minh

a) A(AB) = A B b) A(B C) = (AB)C c) A (BA) = Ø

2. Tìm giới hạn của dãy {xn} (nếu hội tụ):

a) xn =

3n 2  5n  4

n 2  2

b) xn

= 1  7 n2

3  7n

c) xn = n

d) xn =

2n  5.6n

3n  6n

n 2 1

1 1 1  ... 1

e) xn =

2n 3

2n 2  3

 1  5n 2

5n  1

e) xn =

1 1 

4 2n

1  ... 1

9 3n

f) xn =

2  4  ...  2n

1  3  ...  (2n  1)

g) xn =

1+1+…+ 1

h) xn =

n 2  n -n i) xn =

(n  3)!

1.2 2.3

(n 1)n

2(n 1)!(n  2)!

3. Tìm giới hạn dãy {xn} (nếu hội tụ)

a) xn =

3 n 2 sin n 2

n  1.arcsin x

n  1

b) xn =

n cos n

n  1

c) xn = n

n an b

nn!

4. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn dãy {xn} (nếu có):

a) xn =

a n k

(a > 1) b) xn =

c) xn = n

a n

(a > 1) d) xn = n!

n n

e) xn =

5. Sử dụng tiêu chuẩn kẹp tìm giới hạn dãy sau

n 2 1

a) xn =

1 + 1

+…+ 1

n 2  2

n 2  n

2n 2

2n 2 1

2n 2  (n  1) 2

b) xn = 1 + 1 +…+1

3n 2 1

3n 2  22

3n 2  n 2

c) xn = 1 + 1 +…+ 1

n n n

d) xn = (0 < α < β)

6. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy sau:

a  a  ...  a

1  a 

n

a) xn =

(n dấu căn) b) u1 > 0, un+1 =

 u 

2  u

, n > 1, a > 0

n 

7. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy sau

a) xn = 1.3...(2n 1)

2.4...(2n)

b) xn = 1 +

1 + … +

1 c) xn = 1+

1 +…+ 1

22 n 2

8. Xét sự hội tụ của các dãy sau

a) xn = sinn b) xn = (-1)n + sin 1 c) xn = sin 1 d) xn = cos n

n n 4

cos x 2

sin x

9. Tìm tập xác định của hàm số f(x) sau

4 lg(tgx)

a) b)

sin x

c) lncosx d) e)

f) arcsin

2x 1  x

g) arccos(sinx) h) arctg 2x  1 i) ln  sin 

j) arcsin x  1

k) ln(1 - cos2x)

x  2

x  2

1  x

1  x



x  2 

x  1

l) arccos x  4x

x  4

m) arccos

2x 1  x 2

n) arccos(2sinx) o) 

sin 2x

sin 3x

p) +

q) cotgπx + arccos(2x) r) lnsin(x-3) +

x  4  6  x

s) y = ln

t) 1 + 2arcsinx +

x  2

u) y = arcsin x  3

16  x 2

- ln(4-x)

10. Cho f(x) xác định trên [0,1]. Tìm miền xác định của các hàm

a) f(3x2) b) f(tgx) c) f(arcsinx) d) f(lnx) e) f(ex) g)

1  x 

 1  x 



11. Tìm tập giá trị của hàm số



a) y = lg(1-2cosx) b) y = arcsin  lg

x 

10 

c) y = tg 2x  1



x  2

d) y =

2  cos 3x

e) y =

x 2 1

f) y = 2



g) y = 2



h) y = x

i) y = 1 | x |

x 2  1

x 2  1

x 2  1

1 | x |

12. Tìm f(x) biết

a) f  x 1 = x2 + 1 b) f 

x = x2 c) f(arcsinx) = +x

x x 2

 1  x  2



13. Tìm hàm ngược của hàm số

a) y = 2x + 3 b) y = 1  x

1  x

c) y = ln 1  x 



1  x

d) y =

x  1

e) y = ln e  1

e x 1

f) y =



1 (ex + e-x) g) y = 1 +



arctgx

2 h) y =

arcsin x  1 arcsin x  1

14. Tìm f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)), g(f(x))

a) f(x) = x2 g(x) = 2x b) f(x) = sgn(x) g(x) = 1 x

c) f(x) = g(x) =

15. Cho f(x) =

d) f(x) = x5 g(x) = x + 5

1  x 2

1  x 2

x , tìm fn(x) = f(f(…f(x)…)) (n lần).

16. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

a) f(x) = ax + a-x (a > 0) b) f(x) = ln(x +

1  x 2

) c) f(x) = sinx + cosx

x 2  x

d) f(x) =

x 2  3

e) f(x) = ln x  1

1  x

f) f(x) = arcsinx + arctgx

17. Chứng minh rằng bất cứ hàm số f(x) nào xác định trong một khoảng đối xứng (- a,a) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.

18. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)

a) f(x) = acosλx + bsinλx b) f(x) = sin2x c) f(x) = sinx+ 1 sin2x+ 1 sin3x

2 3

d) f(x) = 2tg x - 3tg x e) f(x) = sinx2 f) f(x) = sin

2 3