Đại số tuyến tính và Hình học giải tích - Hy Đức Mạnh

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

HY ĐỨC MẠNH

Bài giảng: Đại số tuyến tính và Hình học giải tích

Tài liệu học tập cho sinh viên tại Học viện KTQS

Lưu hành nội bộ

Hà Nội — 2014

Mục lục

Chương 2

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 11

1.1 Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số 11

1.1.1 Logic mệnh đề và vị từ 11

1.1.2 Tập hợp 15

1.1.3 Ánh xạ. Lực lượng của tập hợp. 19

1.1.4 Sơ lược về cấu trúc đại số 21

1.1.5 Số phức: 23

1.2 Ma trận 30

1.2.1 Ma trận 30

1.2.2 Các phép toán trên ma trận 31

1.3 Định thức 34

1.3.1 Định thức và tính chất 34

1.3.2 Cách tính định thức: 37

1.4 Hạng ma trận, ma trận nghịch đảo 39

1.4.1 Hạng của ma trận 39

1.4.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo 41

1.4.3 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp 42

1.4.4 Phân tích LU và LU P 45

1.5 Hệ phương trình tuyến tính 48

1.5.1 Các định nghĩa và ví dụ 48

1.5.2 Hệ Cramer 49

1.5.3 Điều kiện cần và đủ để hệ tổng quát có nghiệm . . . 51

1.6 Thực hành tính toán trên Maple 53

1.6.1 Các phép toán và ký hiệu đặc biệt 53

1.6.2 Tính toán với các biểu thức đại số 53

1.6.3 Tính toán trên ma trận 54

2 Không gian vector và ánh xạ tuyến tính 59

2.1 Không gian vector và không gian vector con 59

2.1.1 Định nghĩa 59

2.1.2 Hạng hệ hữu hạn vector. Cơ sở và chiều 62

2.1.3 Tọa độ của vector trong cơ sở. Đổi cơ sở 66

2.1.4 Định lý về hạng ma trận 67

2.1.5 Không gian tổng và không gian giao. Tổng trực tiếp . 69 2.2 Ánh xạ tuyến tính 71

2.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính và toán tử tuyến tính . 71

2.2.2 Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính 74

2.2.3 Ánh xạ tuyến tính ngược 77

2.2.4 Ma trận và biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính . . . 78

2.2.5 Không gian nghiệm hệ phương trình thuần nhất . . . 80

2.2.6 Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi đổi cơ sở 83

2.3 Trị riêng và vector riêng 85

2.3.1 Trị riêng và vector riêng của toán tử tuyến tính . . . 85 2.3.2 Chéo hóa ma trận 87

2.4 Thực hành tính toán trên Maple 93

3 Hình học trong không gian Euclide 95

3.1 Dạng toàn phương trong không gian vector 95

3.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương 95

3.1.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 99

3.1.3 Luật quán tính. 103

3.1.4 Dạng toàn phương xác định dấu 105

3.2 Không gian Euclide 107

3.2.1 Tích vô hướng 107

3.2.2 Bất đẳng thức tích vô hướng 109

3.2.3 Cơ sở trực chuẩn, quá trình trực chuẩn hóa Gram- Schmidt 110

3.2.4 Phân tích QR 114

3.3 Không gian con trực giao và hình chiếu 115

3.4 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 116

3.4.1 Toán tử tự liên hợp 116

3.4.2 Phổ của toán tử tự liên hợp 121

3.5 Phân loại các đường cong và mặt cong bậc hai 124

3.5.1 Phương trình siêu mặt bậc hai 124

3.5.2 Phân loại các đường cong và mặt cong bậc hai 126

3.6 Thực hành tính toán trên Maple 131

Tài liệu tham khảo 133

Lời nói đầu

Bài giảng "Đại số tuyến tính và hình học giải tích" được viết theo đề cương chương trình của Bộ môn Toán - Khoa Công nghệ Thông tin - Học viện Kỹ thuật Quân sự. Tài liệu biên soạn dựa trên các giáo trình của Học viện kỹ thuật quân sự và một số giáo trình dành cho sinh viên các trường đại học kỹ thuật trong và ngoài nước. Đây là tài liệu cá nhân biên soạn giảng dạy cho các lớp của chương trình tiên tiến Việt-Nga (75 tiết), cũng như các lớp học viên quân sự và dân sự (60 tiết) tại Học viện. Vì thời lượng học môn này đối với các đối tượng học viên (trừ các lớp chương trình TTVN) đã giảm so với những năm trước đây (chỉ còn 60 tiết) nên hầu hết các kết quả cơ bản chỉ được đưa ra mà không có chứng minh, để hiểu sâu sắc vấn đề sinh viên cần tự đọc chứng minh trong các sách giáo khoa cho môn học này.

Đặc biệt nhấn mạnh rằng khi học viên đọc bài giảng này cần kèm theo hai tài liệu bắt buộc là "đề cương chi tiết môn học" và "đề cương chi tiết bài giảng" đã được các cấp phê duyệt và công bố trên trang web của Khoa Công nghệ Thông tin (http://fit.mta.edu.vn/subjectstat_DH.htm). Đối với những mục (phần) không có trong hai đề cương trên xem là phần đọc thêm của học viên.

Phần bài tập sau mỗi bài sinh viên làm theo yêu cầu và hướng dẫn của "đề cương chi tiết" bài giảng (bài tập trong [4]).

Vì bài giảng biên soạn bằng Latex theo cấu trúc định sẵn gần giống với sách giáo khoa nhưng không phải là sách giáo khoa. Để học tập đạt kết quả tốt sinh viên cần có các tài liệu bắt buộc là [3], [4].

Trong tài liệu những tính chất sẽ thường được viết dưới dạng các mệnh đề, các kết quả quan trọng được phát biểu trong các định lý. Bên cạnh các vấn đề cơ bản của môn học, trong bài giảng chúng tôi có đưa thêm các kiến thức bổ trợ khác (ví dụ như thực hành tính toán số trên phần mềm Maple). Cuối cùng, trong quá trình biên soạn khó tránh khỏi có sai sót chúng tôi

hoan nghênh sự phát hiện của học viên để kịp thời sửa chữa.

Tháng 2 năm 2014

Những kí hiệu

K trường nào đó

N tập hợp số tự nhiên

Z tập hợp số nguyên

Q tập hợp số hữu tỉ

R tập hợp số thực

C tập hợp số phức

∅ tập hợp rỗng

deg bậc của đa thức

Mm×n(K) tập các ma trận cỡ m × n trên K Mn(K) tập các ma vuông cấp n trên K GLn(K) tập các ma vuông cấp n khả nghịch AT ma trận chuyển vị của ma trận A det(A) định thức ma trận A

T race(A) vết của ma trận A rank(A) hạng của ma trận A

∼ tương đương hoặc đồng dạng giữa hai ma trận

span bao tuyến tính

dim(V ) chiều của không gian V Im(f ) không gian ảnh của ánh xạ f

Ker(f ) không gian nhân (hạch) của ánh xạ f

⟨., .⟩ tích vô hướng

En không gian Euclide thực n chiều

⊥ trực giao

||.|| chuẩn (độ dài)

Chương 1

Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính

1.1 Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số

1.1.1 Logic mệnh đề và vị từ

Định nghĩa

Định nghĩa 1. Mệnh đề là các khẳng định mà ta có thể biết nó đúng hoặc sai. Ta thường ký hiệu mệnh đề bởi các chữ cái in hoa A, B, C,...

Ví dụ 1.

– "Hà nội là thủ đô Việt nam" - mệnh đề đúng.

– Trên tập R xét quan hệ "nhỏ hơn", khi đó mệnh đề "1<0" là mệnh đề sai.

Khi mệnh đề A đúng là nói mệnh đề nhận giá trị đúng và viết là "A-1", "A-true" (A-t) hoặc "A-đúng" (A-đ), ngược lại ta nói A nhận giá trị sai và viết là "A-0", "A-false" (A-f) hay "A-sai" (A-s). Mệnh đề chỉ nhận hai giá trị đúng hoặc sai và không có khả năng thứ ba.

Các phép toán

a) Phép tuyển ∨ (hoặc, hoặc là): Giả sử A, B - 2 mệnh đề. A∨B (đọc là A hoặc B, A tuyển B) cũng là một mệnh đề, nó chỉ nhận giá trị sai khi cả A và B đều sai còn đúng trong các trường hợp còn lại.

b) Phép hội ∧ (và): Giả sử A, B - 2 mệnh đề. A∧B (đọc là A và B, A

hội B) cũng là một mệnh đề, nó chỉ nhận giá trị đúng khi cả A và B đều đúng còn sai trong các trường hợp còn lại.