Những Thành Tố Của Nltt Trong Chủ Đề Hàm Lǜy Thừa, Hàm Số Mǜ Và Hàm Số

+ Sự xem xét cách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều cách giải khác nhau.

+ Sự di chuyển dễ dàng và tự do từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, từ tiến trình suy nghĩ thuận sang suy nghĩ nghịch, nghịch sang thuận.

- Xu hướng tìm tới cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát vọng tìm ra lời giải rò ràng, đơn giản, hợp lí, tiết kiệm thời gian.

- Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu bài toán, các phương thức giải, sơ đồ lập luận, sơ đồ lôgíc.

- Khả năng tư duy lôgíc, trừu tượng phát triển tốt.

Theo quan điểm của tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của năng lực toán học là:

- Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và khái niệm;

- Năng lực tính nhanh, cẩn thận và sử dụng các kí hiệu;

- Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;

- Năng lực biểu diễn các dữ liệu bằng kí hiệu;

- Năng lực theo dòi một hướng suy luận hay chứng minh;

- Năng lực xây dựng một chứng minh;

- Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;

- Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;

- Năng lực phân tích bài toán và xác định bài toán có thể áp dụng;

- Năng lực tìm cách khái quát hóa toán học.

Theo chương trình phổ thông môn Toán ngày 26/12/2018 [1] thì năng lực toán học gồm có các thành tố sau:

- Năng lực tư duy và lập luận toán học: thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hoá, khái quát

hoá; tương tự; quy nạp; diễn dịch. Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận. Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học. Mục đích đạt được là: Thực hiện nhuần nhuyễn các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng và khác biệt; sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề.

- Năng lực mô hình hoá toán học: thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: Sử dụng các mô hình toán học để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế; Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. Mục đích đạt được là: Sử dụng các mô hình toán học để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế, từ đó đưa ra ác cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; biết đánh giá các kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tế hay không. Đặc biệt, biết cách đơn giản hoá những yêu cầu thực tế để thiết lập những bài toán giải được, và hiểu rằng cần phải điều chỉnh để phù hợp với thực tế hơn.

- Năng lực giải quyết vấn đề toán học: thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học; đề xuất, lựa chọn được cáchthức, giải pháp giải quyết vấn đề; sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề đặt ra; đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. Mục đích đạt được là: Nhận biết được tình huống có vấn đề; xác định, thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác; đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề; thực hiện và trình bày giải pháp cho vấn đề; đánh giá giải pháp đã thựchiện; phản ánh giá trị của giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.

- Năng lực giao tiếp toán học: thể hiện qua việc thựchiện được các hành động:nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra; trình bày, diễn đạt được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác; sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác. Mục đích đạt được là: Biết làm việc thành thạo với văn bản toán học; thể hiện một cách chính xác và hiệu quả suy nghĩ, lập luận, chứng minh, các khẳng định toán học bằng ngôn ngữ thông thường hoặc ngôn ngữ toán học; thể hiện sự tự tin, tôn trọng người đối thoại khi mô tả, giải thích các nội dung, ý tưởng toán học.

- Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán: thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ phục vụ cho việc học Toán; sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ, phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán; chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí. Mục đích đạt dược là: Biết tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các công cụ, phương tiện học toán (bảng tổng kết về các dạng hàm số, mô hình góc và cung lượng giác, mô hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay,...); sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết vấn đề toán học; biết đánh giá cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện học toán trong tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học; biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học.

1.1.3. Năng lực tính toán

Mục tiêu giáo dục của chương trình giáo dục phổ thông tổng thể ban hành (12/2018) chỉ rò [1, tr 9] : Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lòi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

Từ đó chúng tôi nhận thấy theo chương trình môn Toán năm 2018 các năng lực toán học có sự tổng hợp và bổ trợ lẫn nhau nhằm mục đích phát triển toàn diện cho học sinh các năng lực của bản thân.

Năng lực tính toán gắn liền với môn toán. Năng lực tính toán được hình thành và phát triển trong quá trình dạy học toán phổ thông và ứng dụng của toán học trong đời sống thực tế. Nội dung “Hàm số lǜy thừa, hàm số mǜ, hàm số logarit là nội dung quan trọng trong chương trình toán 12 trung học phổ thông” có nhiều cơ hội rèn luyện năng lực tính toán. Trong bài viết này chúng tôi muốn làm rò các biểu hiện của năng lực tính toán trong nội dung Bài tập hàm số lǜy thừa, hàm số mǜ và hàm số logarit, cǜng như đề xuất một số biện pháp rèn luyện để phát triển năng lực tính toán trong dạy học chủ đề.

Các thành tố của năng lực tính toán:

- Nhận biết được tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin), phục vụ cho việc học Toán.

- Sử dụng được các công cụ, phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi).

- Nhận biết được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí.

Người được coi là có năng lực tính toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cǜng tiến hành hoạt động giải toán đó trong những điều kiện tương tự và hoàn cảnh tương đương.

Ví dụ 1.1. Giải phương trình

2x2x 2x1 x12

(1)

Dưới đây là quá trình giải bài toán và mở rộng bài toán của học sinh có sự định hướng, gợi mở hợp lí của giáo viên.

Trước khi học sinh giải bài tập này thì các em đã biết về một tính chất

của hai hàm số

y  ax 0  a  1đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a <

1 và

y ax  b a 0đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0. (Trong

phần này năng lực tính toán được biểu hiện ở thành tố nhận biết được tên gọi, quy cách sử dụng công thức để phục vụ cho việc học Toán).

Ta nhận thấy rằng, hai vế của phương trình (1) có bản chất khác nhau, vế phải chứa hàm số siêu việt còn vế trái chỉ là hàm đa thức.

Vì vậy, nếu chỉ bằng những phép biến đổi thông thường thì học sinh khó tìm ra được hướng giải. Trước tiên, hãy nhận xét, so sánh mối liên hệ giữa các biểu thức : x2x, x 1 và x12.

Dễ thấy x 12 x2 2x  1  x2 x x 1

Khi đó phương trình trở thành:

2x2x  2x1  x2 x x  1

(2)

Để đơn giản quá hình thức bài toán, ta có thể đặt

v  x 1.

u  x2 x và

Ta có

2u 2v u  v

 2u u  2v v

(3)

Hai vế của phương trình (3) thực chất là giá trị của hàm số

ft 2tt

tại hai thời điểm t  u và t  v .

Hàm số

ft 2tt

là tổng của hai hàm đồng biến nên là một hàm

đồng biến. Từ đó ta rút ra được u  v .(Trong phần này năng lực tính toán được biểu hiện ở thành tố sử dụng được các công cụ, phương tiện học toán là đặt ẩn phụ và sử dụng được tính tđơn điệu để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học ).

Từ định hướng giải của bài toán này, ta nhận thấy rằng, bản chất của bài toán không phải nằm ở trong các con số như 2, -2, 1 hay các biểu thức

x2 x, x 1

mà là ở mối quan hệ x 12 x2 x  x 1và tính chất

y axa 1,y  ax  b(a  0) là các hàm đồng biến, tổng của hai hàm đồng biến là các hàm đồng biến. Khi phát hiện ra được bản chất của bài toán thì việc mở rộng bài toán sẽ dễ dàng. Từ đó năng lực giải toán của các em đã phát triển hơn.

Tóm lại ở ví dụ 1.1: Các biểu hiện của NLTT là công cụ hàm đồng biến, nghịch biến và quan điểm hàm để giải toán, dùng phương pháp đặt ẩn phụ để áp dụng để giải quyết vấn đề tìm nghiệm của bài toán này, những biểu hiện này cǜng góp phần phát triển tính toán cho học học sinh.

Ví dụ 1.2. Tìm m để phương trình:

25x 2.5x1  1  2m  0 (1)

có nghiệm

Đặt

t  5x ,t  0

Lời giải sai lầm 1:

1 t 24t  1  2m  02có nghiệm t > 0

 0  t  t

2m  3  0

 P  1  2m  0

  3 m  1

là điều kiện cần tìm.

1 2 



S  4  0

2 2

Lời giải sai lầm 2:

Cǜng có nhiều học sinh lập luận (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm

   3  2m  0  m   3 .

Phân tích:

- Lời giải 1 trên có những chỗ sai sót thiếu căn cứ nên lập luận chưa chặt chẽ, lời giải không chính xác, nhầm lẫn giữa điều kiên, học sinh thường sử dụng các ký hiệu ,  một cách tùy tiện, đặc biệt phép theo lại là nguyên nhân của rất nhiều sai lầm. Sự hiểu biết chưa chắn thiếu thận trọng khi sử dụng các quy tắc suy luận dẫn đến sai lầm trong lý luận và chứng minh.

- Lời giải 2 trên chỉ biết rằng có 2 nghiệm t. Nếu cả 2 nghiệm t âm thì bài toán sai, lúc đó không có nghiệm x cần tìm.

Nếu muốn khám phá vấn đề thiếu căn cứ trên thì GV cần hướng dẫn cho học sinh các bước vận dụng các công cụ và phương pháp có sẵn một cách logic, đồng thời sử dụng công cụ đạo hàm trong biểu hiện của năng lực tính toán để giải quyết vấn đề sai lầm bằng các bước như sau ( Phần giải pháp phân tích kỹ hơn). Lập bảng biến thiên ta được kết quả:

2m  3  m   3

Sai lầm do: Do tính chủ quan khi đọc đề, học sinh cảm thấy bản thân có khả năng giải được bài toán nhưng không kiểm soát được bài toán đó có thể xảy ra nhiều trường hợp.

Tóm lại ở ví dụ 1.2: Các biểu hiện của năng lực tính toán là sử dụng công cụ hàm đồng biến, nghịch biến, công cụ đạo hàm để giải toán, dùng

phương pháp đặt ẩn phụ để áp dụng để giải quyết vấn đề tìm m để phương trình có nghiệm.

1.2. Những thành tố của NLTT trong chủ đề Hàm lǜy thừa, hàm số mǜ và hàm số logarit

1.2.1. Nội dung cần dạy nhằm phát triển năng lực tính toán cho học sinh

Stt

Nội dung	Số tiết	Từ tiết đến tiết
1	Lǜy thừa	2 tiết	23 - 24
2	Hàm số lǜy thừa- Luyện tập	2 tiết	25 - 26
3	Lôgarit- Luyện tập	3 tiết	27 - 29
4	Hàm số mǜ, hàm số lôgarit – Luyện tập	3 tiết	30 - 32
5	Phương trình mǜ. Phương trình lôgarit	6 tiết	33 - 38
6	Bất phương trình mǜ và lôgarit- Luyện tập	4 tiết	39 - 42
7	Ôn tập	1 tiết	43