Lý thuyết xác suất và thống kê toán

ìïï

f (x)= ïï

3

kx 2

nếu 0 £

x £ 1

ïï 0 nếu trái lại

îï

a) Tìm kỳ vọng và phương sai của X,

b) Tìm hàm phân phối

F x.

2.12. Cho ĐLNN X có hàm mật độ:

f (x) 4

3 (1  x 2 )



0

khi khi

x [1,1]

x [1,1]

Tìm kỳ vọng và phương sai của X.

2.13. Cho hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X

0 x 2



f (x) a(x 2)(4 x) 2 x 4



x 4

a) Xác định hằng số a,

b) Tính kỳ vọng, phương sai, mod của X.

2.14. Cho ĐLNN X có hàm mật độ:

kx(2 x) f(x) 

0

a) Xác định hằng số k,

b) Vẽ đồ thị của f(x),

c) Tính EX, VX,

khi khi

x [0,2]

x [0,2]

d) Tìm P{X > 1,5} và P{<0,9 < X < 1,1}.

2.15. Cho ĐLNN X có hàm mật độ

4

xk



khi

x [2,0]

x

f(x) k



0



a) Xác định hằng số k,

khi khi

x [0,2]

x [2,2]

b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X,

c) Tìm hàm phân phối F(x).

2.16. Cho hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X



k s inx khi x 0, 2



f(x) = 





0 khi x 0,



2 

a) Xác định hằng số k,

b) Tính kỳ vọng, phương sai, mod và trung vị của X.

2.17. Cho ĐLNN X có hàm mật độ

3x 2

f (x) 

0

khi khi

x [0,1]

x [0,1]

Xét

Y  2

. Tìm:

a) P{0,5  Y  1,5}, b) P{Y  1}.

2.18. Trung bình một phút có 2 xe ô tô qua cầu. Tính xác suất để t rong vòng 5 phút có 9 xe ô tô qua cầu.

2.19. Theo số liệu thống kê ở một cửa hàng kinh doanh rau tươi thì người ta thấy lượng rau bán ra là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X (kg)

10	15	20	25	30
P	0,1	0,15	0,45	0,2	0,1

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 168 trang tài liệu này.

Nếu giá nhập là 10000 đ/kg thì cửa hàng sẽ lãi 5000 đ cho mỗi kg rau bán ra, tuy nhiên nếu đến cuối ngày không bán được sẽ lỗ 8000 đ. Vậy cửa hàng nên nhập bao nhiêu kg rau để có thể có lãi nhiều nhất?

2.20. Trong một phân xưởng có 50 máy dệt hoạt động độc lập nhau. Xác suất các máy bị hỏng trong 1 ca sản xuất đều như nhau và bằng 0,07.

a) Tìm quy luật phân bố xác suất của số máy dệt bị hỏng trong 1 ca sản xuất,

b) Trung bình có bao nhiêu máy bị hỏng trong 1 ca sản xuất. Tính xác suất để trong 1 ca sản xuất có ít nhất 48 máy hoạt động tốt.

2.21. Trong một đợt, người ta xuất bản 100000 cuốn sách. Xác suất để mỗi cuốn sách có lỗi do in ấn là 0,0001. Tìm xác suất để có đúng 5 cuốn sách có lỗi do in ấn.

2.22. Giả thiết số lượng báo ngày bán được là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

N 100000; 25000

và Y là lợi nhuận thu được. Xác định số lượng phát hành n sao

cho lợi nhuận kỳ vọng là lớn nhất biết rằng bán được 1 tờ báo lãi 170 đồng, không bán được lỗ 90 đồng.

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 2

2.1. a)

2.2.

a  0,1

b) P X  5 0, 2; P X  3 0,3

0	1	2	3	4
P	1/210	24/210	90/210	80/210	15/210

b) EX = 504/210; VX=0,64.

2.3.

0	1	2
P	3/10	6/10	1/10

0 nếu



x  0



F x 



3/10 nếu 0 x  1

9/10 nếu 1 x  2

1 nếu



x  2

c) EX = 8/10; VX=0,36.

2.4.

0	1	2	3
P	0,1009	0,0081	0,081	0,81



0 nếu

x  0





F x 



0,1009 nếu 0 x  1

0,109 nếu 1 x  2

0,19 nếu 2 x  3

1 nếu x  3

c) EX = 2,6001; VX=0,8616.

2.5.

a) k 3

b) EX  2,578;VX  0, 0789

2.6. a)

k  15

0 nếu



x  0

F x 15 1 x5 x4 4 x3 nếu 0 x  2

16  5 3 





1 nếu x  3

2.7.

12 16 1 3

a) k , b)

EX 

;VX , c)

5 25

P 0 X  164

x2 4 xdx  0,8125 .

2.8.

a) a 2

2.9.

a) a 3

, b)

EX 86 ; VX  2,15391



0 nếu

3 1

x 2

2 



x  2x  2 nếu

2 x  0





F x 

8  2 

1 3 3



x 

x nếu 0 x  1

8 8

1 nếu x  1

2.10.

EX 13 ; VX  0, 38497 .

a) a  1 , b)

2.11.

EX  1;VX= 1

a) k 1 ,





0 nếu

x  0



F x





2.12. EX  0;VX 1

1 x2

1 nếu

nếu 0 x  1

x  1

2.13. a)

a 3

b) EX 184 ;VX 49 ; ModX  3 15 15

e 10

10 9

2.18.  10 P X  9

2.19.

Gọi Yi ,i  1, 2,...,5

là tiền lãi thu được tương ứng với các phương án nhập số

lượng rau tươi là: 10, 15, 20, 25, 30 kg.

Các biến ngẫu nhiên Yi

có bảng phân phối xác suất và kỳ vọng như sau:

Y1:

Y(ngàn đồng)	50
p	1

EY1  50

Y2:

Y(ngàn đồng)	10	75
p	0,1	0,9

EY2  68,5

Y3:

Y(ngàn đồng)	-30	35	100
p	0,1	0,15	0,75

EY3  77, 25

Y4:

Y(ngàn đồng)	-70	-5	60	125
p	0,1	0,15	0,45	0,3

EY4  56, 75

Y5:

Y(ngàn đồng)	-110	-45	20	85	150
p	0,1	0,15	0,45	0,2	0,1

Suy ra

EY5  23, 25

EY3maxEYi 77, 25

vậy nên chọn phương án nhập 20 kg rau là hiệu

quả nhất.

2.20.

50 50

a) Gọi X = “số máy dệt bị hỏng trong 1 ca sản xuất”

X : B n  50, p  0, 07

b) EX np  50.0, 07  3,5

2.21.

P X 2C0 0, 0700,9350 C1 0, 07.0,9349  0,1265

Gọi X = “số cuốn sách có lỗi do in ấn”

X : B n  100000, p  0, 0001

P X 5 0, 0375

2.22. Gọi

f x

là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X = “số tờ báo xuất bản”. Nếu

X n

thì Y  260X  90n , nếu X n

thì Y  170n

do đó

n 

EY 260x  90nf xdx+ 170nf xdx

n

n n

 260 xf xdx  260n 



f xdx 170n nmax

'n260 



f xdx 170  170  260P X n 0

Suy ra

P X n170 0, 65384 n n 1000000, 4

260  25000 



n 100000  0, 4 n  110000 25000

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG

3.1. Lý thuyết mẫu

3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên

Tiến hành n quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X nào đó. Gọi Xi là việc

quan sát lần thứ i về biến ngẫu nhiên X. Khi đó X1, X2 ,..., Xn 

được gọi là mẫu ngẫu

nhiên, n gọi là cỡ mẫu hay số lần quan sát. Như vậy mẫu ngẫu nhiên cỡ n thực chất là n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối như biến ngẫu nhiên X.

Ta gọi xi

là kết quả quan sát được ở lần thứ i . Khi đó x1,x2,..., xn

là n giá

trị cụ thể ta quan sát được, đó là một giá trị cụ thể mà mẫu ngẫu nhiên X1, X2 ,..., Xn 

nhận.

Ví dụ 3.1. Đo chiều cao của 50 học sinh lớp 10A được kết quả sau:

Chiều cao(cm)

Số học sinh
110-120	9
120-130	13
130-140	11
140-150	8
150-160	7
160-170	2

Ví dụ 3.2. Điều tra doanh thu của 20 cửa hàng vàng trong 1 tháng tại một thành phố, thu được số liệu sau:

Doanh thu

(triệu đồng/tháng)

Số cửa hàng
10-20	3
20-30	6
30-40	8
40-50	2
50-60	1

Ví dụ 3.3. Cân thử 100 quả trứng ta có bộ số liệu sau:

Khối lượng (g)

32	33	34	35	36	37	38	39	40
Số quả	2	3	15	28	30	8	5	5	4

3.1.2. Các phương pháp lấy mẫu

Có nhiều phương pháp chọn mẫu khác nhau, khó có thể nói rằng phương pháp nào là tốt nhất. Tùy thuộc vào đặc điểm của từng tổng thể nghiên cứu mà mẫu có thể được chọn theo nhiều phương pháp khác nhau để đảm bảo yêu cầu về tính đại diện của mẫu. Sau đây là một số phương pháp chọn mẫu chủ yếu thường được sử dụng để nghiên cứu các tổng thể kinh tế – xã hội.

a. Chọn mẫu đơn giản

Là phương pháp chọn trực tiếp từ danh sách các phần tử đã được đánh số của tổng thể. Từ tổng thể kích thước N người ta dùng cách rút thăm đơn giản ra n phần tử của mẫu theo một bảng số ngẫu nhiên nào đó. Khi đó mỗi phần tử của đám đông đều có thể được chọn vào mẫu với cùng khả năng như nhau

Việc chọn mẫu kiểu này có 2 phương thức chọn: chọn có hoàn lại và chọn không hoàn lại. Khi số phần tử N của tổng thể rất lớn so với kích thước mẫu n thì kết quả lấy mẫu theo 2 phương thức trên là sai lệch không đáng kể.

Phương pháp này có ưu điểm là cho phép thu được một mẫu có tính đại diện cao, cho phép suy rộng kết quả của mẫu cho tổng thể với một sai số nhất định, song để vận dụng phải có được toàn bộ danh sách các phần tử của tổng thể nghiên cứu. Mặt khác chi phí chọn mẫu sẽ khá lớn

b. Chọn mẫu phân nhóm

Trong chọn mẫu phân nhóm, trước hết ngàu ta phân chia tổng thể ra thành các nhóm có độ thuần nhất cao để chọn ra các phần tử đại diện cho từng nhóm. Việc phân nhóm có hiệu quả khi tổng thể nghiên cứu không thuần nhất theo dấu hiệu nghiên cứu. Sau khi đã phân nhóm thì kích thước mẫu được phân bổ cho mỗi nhóm theo một quy tắc nào đó, chẳng hạn tỷ lệ thuận với kích thước mỗi tổ

c. Chọn mẫu chùm

Trong một số trường hợp, để tiện cho việc nghiên cứu người ta muốn quy diện nghiên cứu gọn về một khu vực nhất định chứ không để cho các phần tử của mẫu phân tán quá rộng, chẳng hạn tập trung nghiên cứu khách hàng tại một địa phương nào đó. Lúc đó mẫu được chọn theo chùm. Chẳng hạn, chùm có thể là hộ gia đình có nhiều người, một làng có nhiều hộ gia đình . . . Theo phương pháp này, trước tiên tổng thể điều tra được phân chia ra thành nhiều chùm theo nguyên tắc:

- Mỗi phần tử của tổng thể chỉ được phân vào một chùm.

- Mỗi chùm cố gắng chứa nhiều phần tử khác nhau về dấu hiệu nghiên cứu, sao cho nó có độ phân tán cao như của tổng thể.

- Phân chia sao cho các chùm tương đối đồng đều nhau về quy mô.