Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Giải

f 3

1000

 0, 003

m  3

suy ra

np1  0, 62; np2  8, 76

Khoảng ước lượng tỷ lệ người mắc bệnh gan là 0, 62.103;0,876.102 

c. Bài toán 3: n bé và p không gần 0 hoặc 1

Tương tự bài toán 2, tra bảng VI, tương ứng với giá trị m, tìm được độ tin cậy 95% do đó khoảng tin cậy 95% của p là p1; p2 

np1, np2

với

Ví dụ 3.27. Điều tra giới tính 6 bé sơ sinh trong 1 phòng sơ sinh ở một bệnh viện thấy

có 4 bé là nam. Chỉ ra ước lượng khoảng giới tính nam với độ tin cậy là 95%? Giải

f 4  0, 66

m  4

suy ra

np1  0, 223; np2  0,957

Khoảng ước lượng tỷ lệ giới tính nam là 0, 032;0,156

d. Bài toán xác định kích thước mẫu, độ tin cậy của ước lượng

f (1 f )

Trường hợp 1: Xác định kích thước mẫu n tối thiểu để độ chính xác của ước lượng

 u

không vượt quá số 0



cho trước?

Có nghĩa ta cần xác định n sao cho:

n  f (1 f ) u2



Vậy n được xác định bằng công thức

/2



n  f (1 f ) u2

1

trong đó [.] là phần nguyên.

2 /2 

0 

Chú ý: Trong công thức trên f lại phụ thuộc vào n, để khắc phục điều này ta thực hiện lấy mẫu sơ bộ nào đó với kích thước đủ lớn và tính f theo mẫu đó. Chúng ta có thể lấy ngay mẫu mà trong bài đã cho.

Trường hợp 2: Cho biết độ chính xác của ước lượng và tỷ lệ mẫu f. Xác định độ tin cậy của ước lượng?

Từ công thức:



f (1 f )

u ,

suy ra độ tin cậy của ước lượng:



 u  - 1

2 

Ví dụ 3.28. Phòng cảnh sát giao thông muốn ước lượng tỷ lệ xe chở quá tải với độ tin cậy 95% và sai số không vượt quá 5% thì cần phải kiểm tra tối thiểu bao nhiêu lượt xe chạy trên đường. Biết một mẫu điều tra sơ bộ kiểm tra 400 xe thấy có 40 xe chở quá tải.

Giải

Ta có:

f  40

 0, 4; u

 1,96;

 0,05 .

100  0

Do đó kích thước mẫu n cần xác định:

1,962.0, 4.0, 6 

n 



0, 052

1 368, 79361  369



Như vậy số xe tối thiểu cần kiểm tra là 369 chiếc.

Ví dụ 3.29. Ở một vùng, khi khám bệnh cho bệnh nhân, người ta thấy tỉ lệ mắc bệnh tai mũi họng là 15%. Để ước lượng xác suất mắc bệnh tai mũi họng của vùng đó với độ tin cậy 95% và sai số không vượt quá 2% thì cần khám tối thiểu bao nhiêu người ? Giải

Theo đề bài ta có:

- tỉ lệ mắc bệnh của mẫu ban đầu là f = 0,15

- độ tin cậy 1 – α = 95% nên uα/2 = 1,96

- sai số của ước lượng, hay độ chính xác là  0,02 Vậy mẫu cần tìm phải có số phần tử

1,962.

n = 



0,15.

0,022

(1  0,15) 





+ 1 = 1225

Do đó, tối thiểu cần khám cho 1225 người.

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG 3

Nếu ta thu thập được tất cả các số liệu liên quan đến đối tượng cần nghiên cứu thì ta có thể biết được đối tượng đó. Tuy nhiên, trong thực tế điều đó là không thể thực hiện được vì quy mô của đối tượng nghiên cứu quá lớn hoặc trong quá trình nghiên cứu đối tượng nghiên cứu bị phá hủy. Vì vậy cần lấy mẫu để nghiên cứu.

Phương pháp mẫu là một trong những phương pháp quan trọng của lý thuyết thống kê. Trong chương này, chúng ta nghiên cứu các vấn đề cơ bản của lý thuyết mẫu:

- Phương pháp lấy mẫu

- Các đặc trưng mẫu

- Lý thuyết ước lượng

1. Đối với mẫu ngẫu nhiên, ta xét các vấn đề:

- Các phương pháp mô tả mẫu: bảng phân bố tần số và tần suất thực nghiệm, bảng phân bố ghép lớp.

- Thống kê của mẫu ngẫu nhiên

- Các đặc trưng của thống kê mẫu ngẫu nhiên

2. Ước lượng điểm là dùng một thống kê để ước lượng một tham số nào đó. Để giải bài toán ước lượng điểm người ta xây dựng được nhiều loại, nhiều tiêu chuẩn như: vững, không chệch, hiệu quả.

3. Khoảng tin cậy là khoảng mà tham số của dấu hiệu nghiên cứu của tổng thể rơi vào khoảng này với xác suất bằng độ tin cậy.

Khi làm các bài toán về ước lượng, sinh viên cần trả lời được các câu hỏi sau:

- Ước lượng điểm hay ước lượng khoảng?

- Ước lượng cho tham số nào? (Kỳ vọng hay phương sai hay tỷ lệ?)

- Chọn phương án trả lời phù hợp với các giả thiết đã cho: chẳng hạn ước lượng khoảng cho giá trị trung bình có 2 trường hợp: phương sai đã biết hoặc phương sai chưa biết. Mỗi trường hợp có 3 công thức: khoảng ước lượng đối xứng, khoảng ước lượng tối đa, tối thiểu.

Nhìn chung, các bài toán về ước lượng điểm và ước lượng khoảng là đơn

giản, không khó khăn gì ngoài việc nhận ra mô hình và chọn câu trả lời thích hợp, việc còn lại là tính toán và hiểu được ý nghĩa thực tế của kết quả nhận được.

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 3

3.1. Một thống kê của mẫu ngẫu nhiên là một hàm của các biến ngẫu nhiên thành phần của mẫu do đó nó cũng là một biến ngẫu nhiên.

a) Đúng b) Sai

3.2. Trung bình mẫu là một ước lượng vững và hiệu quả của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên.

a) Đúng b) Sai

3.3. Tổng của hai ước lượng không chệch là một ước lượng không chệch.

a) Đúng b) Sai

3.4. Phương sai mẫu hiệu chỉnh là ước lượng vững, không chệch của phương sai của biến ngẫu nhiên.

a) Đúng b) Sai

3.5. Hai đầu mút của khoảng tin cậy là hai thống kê của mẫu.

a) Đúng b) Sai

3.6. Muốn tìm khoảng tin cậy cho tham số của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

N ;2 thì cỡ mẫu

n  30 .

a) Đúng b) Sai

Bµi tËp ch•¬ng 3

3.1. Hãy ước lượng năng suất trung bình của một loại cây trồng với độ tin cậy 95% trên cơ sở số liệu của bảng điều tra sau đây:

Năng suất (tạ/ha)

42,5-47,5	47,5-52,5	52,5-57,5	57,5-62,5	62,5-67,5
Số điểm	2	5	14	10	5

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 168 trang tài liệu này.

3.2. Điều tra mức doanh thu của 100 hộ kinh doanh mặt hàng A được bảng số liệu sau

Doanh thu

(triệu đồng)

20	22	24	26	28
Số hộ	10	21	32	25	12

Hãy ước lượng doanh thu trung bình của các hộ kinh doanh với mức ý nghĩa

 5% .

3.3. Điều tra thu nhập của 100 công nhân tại 1 xí nghiệp được kết quả sau:

Thu nhập (triệu đ/năm)

5.5	5.8	6.0	6.2	6.5
Số công nhân	15	20	35	25	5

Với độ tin cậy 97%, hãy ước lượng thu nhập trung trình hàng năm của công nhân xí nghiệp đó.

3.4. Điểm kiểm tra môn xác suất thống kê của một số sinh viên được cho trong bảng sau:

Điểm

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Số sinh viên	1	2	5	10	20	48	35	22	10	5	2

a) Tính điểm kiểm tra trung bình và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu đó,

b) Tìm tỉ lệ mẫu có điểm kiểm tra dưới trung bình.

3.5. Lượng xăng hao phí của một ô tô đi từ A đến B sau 30 lần chạy, kết quả thu được như sau:

Lượng xăng hao

phí (lít)

9,6 -9,8	9,8 -10	10-10,2	10,2-10,4	10,4-10,6
Số lần tương ứng	3	5	10	8	4

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng:

a) Lượng xăng hao phí trung bình của ô tô đi từ A đến B

b) Lượng xăng hao phí trung bình tối đa của ô tô đi từ A đến B

3.6. Độ dày của một bản kim loại giả sử tuân theo luật phân phối chuẩn. Đo 10 bản kim loại đó, ta thu được số liệu sau:

3.9

4.7

4.4

4.0

3.8

4.4

4.2

4.4

5.0

4.1

đó.

a) Với độ tin cậy 90%, hãy xác định khoảng tin cậy cho độ dày trung bình trên,

b) Với độ tin cậy 95%, hãy xác định khoảng tin cậy cho phương sai của độ dày

3.7. Sản lượng ngày của một phân xưởng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn. Kết quả thống kê 10 ngày cho ta bộ số liệu sau:

Hãy xác định các khoảng tin cậy cho sản lượng trung bình ngày và cho phương sai tương ứng với độ tin cậy 90%

3.8. Cân thử 100 quả trứng ta có bộ số liệu sau:

Khối lượng (g)

32	33	34	35	36	37	38	39	40
Số quả	2	3	15	28	30	8	5	5	4

a) Tìm khoảng tin cậy cho khối lượng trung bình với độ tin cậy 99%

b) Trứng có khối lượng dưới 34 gam được coi là trứng loại 2. Hãy xác định khoảng tin cậy cho tỷ lệ trứng loại 2 với độ tin cậy 95%

3.9. Mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe ô tô là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Do tình hình đường sá đã được cải thiện do đó cần thay đổi định mức tiêu hao nhiên liệu. Người ta theo dòi 100 chuyến xe và thu được các số liệu sau:

Lượng tiêu hao (lít/100km)

35-40	40-45	45-50	50-55	55-60
Số chuyến xe	14	20	36	22	8

a) Hãy ước lượng mức tiêu hao nhiên liệu trung bình với độ tin cậy 95%

b) Xe cần đưa vào kiểm tra kỹ thuật là xe có mức tiêu hao nhiên liệu trên 55 lít / 100 km. Hãy ước lượng tỷ lệ xe cần đưa vào kiểm tra kỹ thuật tối thiểu với độ tin cậy 95% trên cơ sở số liệu điều tra trên ?

3.10. Đo độ dài của một loại trục xe, ta có bảng số liệu sau:

Độ dài (cm)

18,4-

18,6

18,6-

18,8

18,8-

19,0

19,0-

19,2

19,2-

19,4

19,4-

19,6

19,6-

19,8

Số trục xe

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng độ dài trung bình và phương sai của trục xe trên;

b) Nếu trục xe có độ dài nhỏ hơn bằng 18,8 cm thì được gọi là trục xe loại 2. Với độ tin cậy 96%, hãy ước lượng tỷ lệ trục xe loại 2.

3.11. Trong một đợt bầu cử tổng thống, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri thi được biết 960 người sẽ bầu cho ứng cử viên A. Với độ tin cậy 99%, hãy xem ứng cử viên A có trúng cử không ?

3.12. Phỏng vấn 400 người ở một khu vực gồm 300000 người thấy có 240 người ủng

hộ dự luật A. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số người ủng hộ dự luật A bằng khoảng tin cậy đối xứng ?

3.13. Gieo 400 hạt giống thấy có 5 hạt không nảy mầm. Gọi p là xác suất nảy mầm của mỗi hạt. Khoảng ước lượng của p với độ tin cậy 99%.

3.14. Để khẳng định chất lượng của một loại hạt giống, người ta gieo thử 100 hạt giống thấy có 10 hạt không nảy mầm, gọi p là xác suất nảy mầm của mỗi hạt. Tìm khoảng ước lượng của p với độ tin cậy 0,95.

3.15. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có 360 sản phẩm loại một. Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại một tối thiểu của cả nhà máy với độ tin cậy 95%.

3.16. Biết tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống là 0,9. Với độ tin cậy 99% nếu muốn độ dài khoảng ước lượng của tỉ lệ nảy mầm không vượt quá 0,02 thì cần phải gieo bao nhiêu hạt?

31.7. Kiểm tra ngẫu nhiên 28 sản phẩm cùng loại do một máy sản xuất, ta thu được kết quả:

Khối lượng sản phẩm (kg)

3,94	3,97	4,00	4,03	4,06
Số sản phẩm	2	7	10	6	3

a) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng ước lượng của khối lượng trung bình của sản phẩm do máy đó sản xuất.

b) Hãy ước lượng phương sai của khối lượng sản phẩm do máy sản xuất với độ tin cậy 95%, biết rằng khối lượng sản phẩm có phân phối chuẩn.

3.18. Đo áp lực X (tính bằng kg/cm2) của một số thùng chứa, ta được bảng kết quả

sau.

Áp lực

200	210	220	230	240	250
Số thùng	10	26	56	64	30	14

Biết rằng áp lực là một đại lượng có phân phối chuẩn.

a) Với độ tin cậy là 99%, hãy tìm khoảng ước lượng của áp lực trung bình.

b) Tìm khoảng ước lượng của phương sai của áp lực với độ tin cậy 95%.

3.19. Kiểm tra trọng lượng của 25 gói đường loại 500g của 1 máy đóng gói tự động, thu được bảng số liệu sau:

Trọng lượng(g)

495	497	499	501	503
Số gói tương ứng	5	6	7	4	3

Giả thiết trọng lượng gói đường là biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn. Tìm khoảng tin cậy cho trọng lượng trung bình của gói đường được đóng gói với độ tin cậy 96%. Biết t24(0,02) = 2,49.

3.20. Lượng xăng hao phí của một ô tô đi từ A đến B sau 30 lần chạy, kết quả thu được như sau:

Lượng xăng hao phí

(lít)

9,6 -

9,8

9,8 -

10,0

10,0-

10,2

10,2-

10,4

10,4-

10,6

Số lần tương ứng

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng xăng hao phí trung bình tối đa của ô tô đi từ

A đến B. Biết

1, 645 0,95 .

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 3

3.1. 54, 78957;58, 26598

3.2. 23, 7053; 24, 61497

3.3. 5,8935;6, 0265

3.19. (497,225 ; 499,815)

3.20. (-  ; 10,2036)