Cơ học ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học ứng dụng là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sư thuộc các ngành kỹ thuật, vì vậy môn học này được bố trí trong chương trình đào tạo của nhiều trường đại học như: đại học Bách khoa Hà Nội, Giao thông vận tải, Thuỷ lợi, Xây dựng,… Ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này được giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Điện- Điện tử. Hiện nay, các trường đại học đều có tài liệu riêng giảng dạy về môn học này với các tên gọi khác nhau như Cơ học cơ sở, Cơ học kỹ thuật v.v.. với nội dung thời lượng và khối lượng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành.

Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Cơ học ứng dụng riêng cho sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chương trình môn học Cơ học ứng dụng được xây dựng để giảng dạy cho sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm ba phần: Cơ học vật rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn biến dạng (Sức bền vật liệu) và chi tiết máy, trong đó phần Cơ học vật rắn tuyệt đối và chi tiết máy được viết gộp trong 3 chương bao gồm nội dung về tĩnh học, động học và động lực học chất điểm và cơ hệ. Phần Cơ học vật rắn biến dạng được viết trong 1 chương bao gồm các nội dung về các hình thức chịu lực đơn giản và phức tạp của thanh.

Cuốn bài giảng được viết trên cơ sở chương trình môn học Cơ học ứng dụng. Người biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sư phạm và yêu cầu chất lượng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết nhằm trang bị các kiến thức cơ học nền tảng trong hệ thống kiến thức cung cấp cho các sinh viên, đặc biệt cho các sinh viên phi cơ khí.

Cuốn bài giảng được biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sư góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ sở, Khoa cơ khí, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định.

Nhóm tác giả biên soạn

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

MỤC LỤC 3

Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI 5

Chương 1 5

ĐỘNG HỌC 5

1.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM 5

1.1.1. Phương pháp véc tơ 5

1.1.2. Phương pháp toạ độ Đề các 7

1.1.3. Phương pháp toạ độ tự nhiên 9

1.1.4. Một số chuyển động thường gặp 12

1.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI 14

1.2.1. Các chuyển động cơ bản của vật rắn 14

1.2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn 22

1.3. HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM- VẬT RẮN 33

1.3.1. Hợp chuyển động của điểm 33

1.3.2. Hợp chuyển động của vật rắn 37

1.4. ĐỘNG HỌC CƠ CẤU 42

1.4.1. Một số khái niệm 42

1.4.2. Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng 42

1.4.3. Các biến thể của cơ cấu bốn khâu 43

1.4.4. Cơ cấu cam 45

1.4.5. Cơ cấu bánh răng 46

CÂU HỎI ÔN TẬP 51

Chương 2 52

TĨNH HỌC 52

2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC 52

2.1.1. Các khái niệm cơ bản 52

2.1.2. Các định luật tĩnh học 57

2.1.3. Các hệ quả 61

2.2. KHẢO SÁT HỆ LỰC 64

2.2.1. Hệ lực phẳng 64

2.2.2. Hệ lực không gian 74

CÂU HỎI ÔN TẬP 83

Chương 3 84

ĐỘNG LỰC HỌC 84

3.1. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM 84

3.1.1. Các khái niệm 84

3.1.2. Các định luật cơ bản của động lực học 84

3.1.3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm 86

3.1.4. Hai bài toán cơ bản của động lực học 87

3.2 ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ 89

3.2.1. Các khái niệm 89

3.2.2. Nguyên lý Đalămbe 93

3.3 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ 96

3.3.1. Định lý động lượng và định lý chuyển động khối tâm 97

3.3.2. Định lý mômen động lượng 102

3.3.3. Định lý động năng 106

3.3.4. Định lý bảo toàn cơ năng 114

3.4. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 117

3.4.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến 117

3.4.2. Vật quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc  gia tốc góc  117 3.4.3. Vật rắn là tấm phẳng chuyển động song phẳng 118

CÂU HỎI ÔN TẬP 120

Phần 2: CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG 121

Chương 4 121

CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG 121

4.1. MỞ ĐẦU 121

4.1.1. Các khái niệm về thanh 121

4.1.2. Nội lực- Ứng suất 122

4.1.3. Phương pháp mặt cặt biến thiên- các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang

.............................................................................................................................123

4.1.4. Quan hệ giữa ứng suất và các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang 124

4.1.5. Biến dạng 125

4.1.6. Các giả thiết cơ bản về vật liệu 126

4.2. KÉO- NÉN ĐÚNG TÂM 127

4.2.1. Khái niệm 127

4.2.2. Nội lực và biểu đồ nội lực 127

4.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang 128

4.2.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản 134

4.3. XOẮ N THUẦ N TÚ Y CỦ A THANH THẲ NG 135

4.3.1. Khái niệm 135

4.3.2. Nôi

lưc

và biểu đồ nôi

lưc

.........................................................................136

4.3.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang 137

4.3.4. Điều kiện cường độ– ba bài toán cơ bản 141

4.4. UỐN PHẲNG CỦA THANH THẲNG 143

4.4.1. Khái niệm 143

4.4.2. Nội lực và biểu đồ nội lực 143

4.4.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang 146

4.4.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản 154

4.5. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 156

4.5.1. Thanh chịu uốn xiên 158

4.5.2. Uốn và kéo (nén) đồng thời 161

4.5.3. Kéo (nén) lệch tâm 165

4.5.4. Xoắn và uốn đồng thời 167

4.5.5. Thanh chịu lực tổng quát 171

CÂU HỎI ÔN TẬP 172

TÀI LIỆU THAM KHẢO 173

Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI

Chương 1 ĐỘNG HỌC

1.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM

Trong phần động học điểm, chúng ta khảo sát chuyển động của một điểm đối với một hệ quy chiếu đã chọn. Để mô tả sáng sủa và gọn gàng các đặc trưng của chuyển động, chúng ta sử dụng phương pháp véc tơ. Để tính toán thuận tiện, chúng ta sử dụng các phương pháp tọa độ như phương pháp tọa độ Đềcác, phương pháp tọa độ tự nhiên, phương pháp véc tơ.

1.1.1. Phương pháp véc tơ

1.1.1.1. Phương trình chuyển động

Xét điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz (Hình 1.1). Vị trí của điểm M được xác định bởi



véc tơ r OM . Điểm M chuyển động, do đó



r thay đổi theo thời gian:



r r (t) (1.1)

Phương trình (1.1) được gọi là phương trình chuyển động của điểm M dạng véc tơ.

Chú ý rằng điểm M chuyển động liên tục, ở mỗi thời điểm, điểm M chiếm một vị trí xác định và có hướng chuyển động xác định.



Hình 1.1

Do đó r (t) là một hàm liên tục, đơn trị.

Tập hợp các vị trí của điểm trong không gian quy chiếu được gọi là quỹ đạo của nó trong hệ quy chiếu ấy. Phương trình (1.1) là phương trình tham số của quỹ đạo. Nếu quỹ đạo là đường thẳng, thì chuyển động được gọi là chuyển động thẳng. Nếu quỹ đạo là đường cong, thì chuyển động được gọi là chuyển động cong. Và khi đó, người ta thường lấy tên đường cong quỹ đạo để gọi tên chuyển động

1.1.1.2. Vận tốc chuyển động

Một trong những đặc trưng cơ bản của chuyển động của điểm là khái niệm vận tốc đối với một hệ quy chiếu đã chọn. Chúng ta sẽ xây dựng một cách chặt chẽ khái



niệm này. Giả sử ở thời điểm t, điểm ở vị trí M xác định bởi r OM . Ở thời điểm



khác t1 = t + ∆t, điểm ở vị trí M1 xác định bởi

r 1 OM 1

(Hình 1.2). Như thế sau

khoảng thời gian ∆t điểm dịch chuyển được một đoạn:



MM1 r1 r r

Hình 1.3

Hình 1.2

Vận tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:



r



d r 

v  lim vtb  lim

t 0

t dt r

(1.2)

t 0

Như thế, vận tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ định vị



của điểm ấy. Véc tơ vận tốc v hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo ở điểm M về phía

chuyển động. Đơn vị của vận tốc là mét/giây, ký hiệu là m/s.

1.1.1.3. Gia tốc chuyển động

Giả sử ở thời điểm t, điểm ở vị trí M, có vận tốc là



v . Sang thời điểm t1 = t +

∆t, điểm ở vị trí M1 có vận tốc là

v1 . Như thế, sau khoảng thời gian ∆t, vận tốc của



điểm biến thiên một đại lượng

v v1 v .



Đại lượng

atb v/ t

được gọi là gia tốc trung bình của điểm trong khoảng

thời gian ∆t, kể từ thời điểm t. Véc tơ



atb

hướng dọc theo véc tơ



v (Hình 1.3).

Gia tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:



v



d v d 2 r 

a  limatb

t0

 lim t dt

t0

r

dt 2

(1.3)

Như thế, gia tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ vận tốc và bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của véc tơ định vị của điểm ấy. Đơn vị của gia tốc là: mét/giây2, ký hiệu là m/s2.

1.1.1.4. Nhận xét về một vài tính chất của chuyển động

Trước hết ta nêu ra một tiêu chuẩn nhận xét về chuyển động thẳng và chuyển



động cong của điểm. Khi điểm chuyển động thẳng, véc tơ vận tốc v luôn không đổi về



phương do đó véc tơ

v và véc tơ a luôn cùng phương. Vì vậy, véc tơ v a 0 .

Ngược lại, khi điểm chuyển động cong, véc tơ



v nói chung thay đổi cả về hướng cũng

như trị số. Các véc tơ chuẩn nhận xét:



v và véc tơ



a nói chung không cùng phương. Vì vậy ta có tiêu



 0 :ChuyÓn ®éng th¼ng

v a 

 0: ChuyÓn ®éng cong

Bây giờ ta đưa ra tiêu chuẩn nhận xét về tính đều và tính biến đổi của chuyển động. Chuyển động là đều khi giá trị của vận tốc v không đổi. Chuyển động nhanh dần hay chậm dần tùy theo giá trị của vận tốc tăng lên hay giảm đi theo thời gian.

Chú ý rằng, sự thay đổi của v2 đặc trưng cho sự thay đổi của giá trị v của vận tốc. Ta có:

d (v2 ) d (v 2 ) 

dv

2 v .



 2 v a

dt dt dt

Từ đó rút ra tiêu chuẩn nhận xét:



 0: ChuyÓ n ®éng ®Òu

va 

 0 :ChuyÓ n ®éng biÒn ®æi



Trong trường hợp thứ 2, nếu chuyển động chậm dần.

1.1.2. Phương pháp toạ độ Đề các

1.1.2.1. Phương trình chuyển động

v a

>0 thì chuyển động là nhanh dần

v a

< 0 là

Vị trí của điểm M được xác định bằng ba tọa độ x, y, z của điểm ở trong hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy (Hình 1.4)



r x. i y j z k

Khi điểm M chuyển động x, y, z biến đổi liên tục theo thời gian. Vậy các phương trình chuyển động có dạng:

x=x(t); y = y(t); z = z(t) (1.4)

1.1.2.2. Vận tốc chuyển động

Theo công thức (1-2) ta có:



Hình 1.4

v d r d





dx dy dz 

dt dt

(x i y j z k )

i j k

dt dt dt

Chiếu đẳng thức lên ba trục tọa độ, ta nhận được:

v dx 

dy 

dz 

(1.5)

x dt

x; vy

dt y; vz dt z;

Dựa vào các biểu thức (1.5), ta có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ



phương của vận tốc v :

v2 v2 v2

x y z



v v 

vx



x2 y2 z2

vy

vz

cos(Ox, v) 

;cos(Oy, v) 

;cos(Oz, v) 

v v

1.1.2.3. Gia tốc chuyển động

Tương tự như xác định các biểu thức thành phần vận tốc, từ công thức (1.3) ta có:



d v d 

d 

a  (v i v

dt dt x y

j vz k ) dt x i y j z k 



d vx 



d vy 



d vz 











= i 

j k x i y j z k 

dt dt

dt 

Từ đó nhận được hình chiếu của gia tốc a trên các trục tọa độ:

a dvx

x dt



x;

vy 

dvy dt



y;

vz 

dvz dt



z;

(1.6)

Từ (1.6) ta cũng có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ phương của a :

a2 a2 a2

x y z



x2 y2 z2



a a 



cos(Ox, a) 



x ; cos(Oy, a) 

a a

y ; cos(Oz, a) z

a a

Ví dụ 1.1. Chuyển động của điểm M ở trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi phương trình:

x bsin t; y d cost (1.7)

Trong đó: b, d, ω, là các hằng số dương. Hãy xác định phương trình quỹ đạo, độ lớn của vận tốc, gia tốc của điểm M ở thời điểm t1 = π/2ω. Sau đó xác định phương trình đường đầu mút của véc tơ vận tốc.

Bài giải:

Muốn tìm phương trình quỹ đạo, ta chỉ việc tìm cách khử tham số thời gian t trong các phương trình chuyển động. Trong ví dụ này, từ các phương trình chuyển động ta suy ra:

sin t x

cost y

Do tính chất sin 2 t  cos2 t  1, nên ta có phương trình quỹ đạo:

x2 y2 

b2 d 2 1

Vậy quỹ đạo là một đường elip với các bán trục b và d (Hình 1.5) Từ phương trình (1.7) ta tính các đạo hàm theo t:



vx x bcos t, vyy dsin t



a x b2 sin t;



a y d2 cos t

M0'

M1'

x x

a) b)

Hình 1.5

Ở thời điểm t = π/2ω, điểm M ở vị trí M1 (x1 = b; y1 = 0) và các hình chiếu vận tốc và gia tốc của nó có dạng:

v1x a1x

 0

b2

v1y

a1y

 -d

 0

Để vẽ đường đầu mút véc tơ vận tốc (cũng gọi là đường đầu tốc) ta chọn trên

mặt phẳng vận tốc hệ trục vuông góc 01x1y1 tương ứng như sau (Hình 1.5)

x1 vx bcost; y1 vy dsin t

Khử t từ các phương trình tham số của đường đầu mút véc tơ vận tốc, ta nhận được phương trình:

x2 y2

11 1

b22 d 22

(1.8)