Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr - 17

[105]

F.A.A. El-Orany, M. Sebawe Abdalla, J. Peřina (2005), Quantum properties of the codirectional three-mode Kerr nonlinear couple, Eur. Phys. J. D 33, 453.
[106]	V. Vedral (2002), The role of relative entropy in quantum information theory, Rev. Mod. Phys. 74, 197.
[107]	L. Allen, J.H. Eberly (1975), Optical Resonance and Two-Level Atoms, Wiley, New York.
[108]	W. Leoński (1997), Finite-dimensional coherent-state generation and quantum-optical nonlinear oscillator models, Phys. Rev. A, 55, 3874.
[109]	V. Le Duc, V. Cao Long (2016), Entangled state creation by a nonlinear coupler pumped in two modes, Comput. Meth. Sci. Technol. 22, 245.
[110]	K. Wódkiewicz (1979), Exact solutions of some multiplicative stochastic processes, J. Math. Phys. 20, 45.
[111]	K. Wódkiewicz (1979), Stochastic incoherences of optical Bloch equations, Phys. Rev. A 19, 1686.

Có thể bạn quan tâm!

• Ảnh Hưởng Của Nhiễu Trắng Đối Với Sự Hình Thành Các Trạng Thái Đan Rối Trong Bộ Nối Phi Tuyến Tương Tác Phi Tuyến Được Bơm Một Mode
• Xác Suất Để Hệ Tồn Tại Ở Các Trạng Thái Kiểu Bell
• Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr - 16
• Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr - 18

Xem toàn bộ 144 trang tài liệu này.

PHỤ LỤC

1. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.6) và (3.7)

Từ hệ bốn phương trình:

i d c

dt00

(t) *c

(t) , (P1)

10

11

i d c

dt01

(t) *c

(t) *c

(t) , (P2)

10

d

i dt c10

(t) c01

(t) c00

(t) , (P3)

d

i dt c11

(t) c01

(t) . (P4)

Khi có nhiễu: 

ta được:



0(t ),

thay vào hệ bốn phương trình trên

i d c

(t) *c

(t) * t c

t , (P5)

dt 00 0 10 10

d * * * *

i dt c01 (t) 0c10 (t) (t)c10 (t) 0c11(t) 

d

tc11(t) , (P6)

i c10 (t) 0c00 (t) t c00 (t) 0c01(t) (t)c01(t) , (P7)

dt

i d c (t) c (t) t c

(t) . (P8)

dt 11 0 01 01

Trong trường hợp này, tập hợp các phương trình chuyển động ((P5) - (P8)) có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:

dQM (t)M *(t)M Q

1 2 3

dt , (P9)

trong đó V là một hàm véctơ theo thời gian và M1, M2, M3 là các ma trận hằng có dạng

c00 

a11 a12 a13 a14 

b11 b12 b13 b14 

c11 c12 c13 c14 

c

a a a a 

b b b b 

c c c c 

Q 

01 , M

21 22 23 24

, M

21 22 23 24

, M

21 22 23 24 .

c

1 a a a a 

2 b b b b 

3 c c c c 

10 

31 32 33 34 

31 32 33 34 

31 32 33 34 

c11 

a41 a42 a43 a44 

b41 b42 b43 b44 

c41 c42 c43 c44 

Thay vào phương trình (P9), ta tìm được

dc00 (t) a c

(t) a c

(t) a c

(t) a c

(t)

dt 11 00 12 01 13 10 14 11

(t)b11c00 (t) (t)b12c01 (t) (t)b13c10 (t) (t)b14c11(t)

11 00 12 01 13 10 14 11

* (t)c c

(t) * (t)c c

(t) * (t)c c

(t) * (t)c c

(t) .

Đồng nhất với (P5) ta thu được:

a  0, a  0, a * , a  0

11 12 13 0 14

b11  0, b12  0, b13  0, b14  0

c11  0, c12  0, c13  1, c14  0

dc01 (t) a c

(t) a c

(t) a c

(t) a c

(t)

dt 21 00 22 01 23 10 24 11

(t)b21c00 (t) (t)b22c01 (t) (t)b23c10 (t) (t)b24c11(t)

* (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c (t)

21 00 22 01 23 10 24 11 .

Đồng nhất với (P6) ta thu được:

a  0, a  0, a * , a *

21 22 23 0 24 0

b21  0,b22  0,b23  0,b24  0

c21  0, c22  0, c23  1, c24  1

dc10 (t) a c

(t) a c

(t) a c

(t) a c

(t)

dt 31 00 32 01 33 10 34 11

(t)b31c00 (t) (t)b32c01 (t) (t)b33c10 (t) (t)b34c11(t)

* (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c

(t)

31 00 32 01 33 10 34 11

Đồng nhất với (P7) ta thu được:

a31 0 , a32 0 , a33  0, a34  0

b31  1, b32  1, b33  0, b34  0

c31  0, c32  0, c33  0, c34  0

dc11 (t) a c

(t) a c

(t) a c

(t) a c

(t)

dt 41 00 42 01 43 10 44 11

(t)b41c00 (t) (t)b42c01 (t) (t)b43c10 (t) (t)b44c11(t)

* (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c

(t)

41 00 42 01 43 10 44 11

Đồng nhất với (P8) ta thu được:

a41  0, a42 0 , a43  0, a44  0 b41  0, b42  1, b43  0, b44  0 c41  0, c42  0, c43  0, c44  0

Từ đó, ta tìm được các ma trận M1, M2, M3 có dạng sau:

 0 0

 0 0

* 0 



0

* * 

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

.

0 0 1 1

M 

1 

0 0 

,

0 0 

M 

,

2 1 1 0 0

M 

3 0 0 0 0

0 0 



 0 0

0 0 

0 1 0 0

0 0 0 0

Từ lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên hàm Q thỏa mãn phương trình:

d Q M

a M , M / 2Q , (P10)

trong đó

dt 

1 0 2 3 

1	0
2	0
0	2
0	1

1 0

1 0

M2,M 3M 2M3M 3M2

0 1

0 1

c  0 0 * 0 





00

1 1 0 0c 





0

c



00 

d c  0 0

* * 

1 2 0 0

01 

0 0 a

/ 201 

dt c 



0 0 0 0 0 2 1

c 

10 

0 0



10 

c11 

 0 0

0 0 0 0 1 1

c11 

Từ đó ta có thể rút ra hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên của các biến:

i d c

(t) a0 c

t a0 c (t) *c (t) ,

dt 00

d

200

a0

2 01 0 10

* *

00 0 01 0 10 0 11 ,

i c (t) 

dt01

c (t) a c (t) c (t) c (t)

2

i d c (t) c (t) c (t) a c (t) 

dt 10 0 00 0 01 0 10

a0 c (t) 2

11 ,

i d c (t) c

(t) a0 c

(t) a0 c

(t) .

dt 11 0 01

210

211

2. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.14) và (3.15)

Từ hệ bốn phương trình:

i d c (t) *c (t) *c

(t),

dt 00 10 01

i d c (t) *c (t) *c (t) c

(t),

dt 01 10 11 00

d *

(P11)

i c (t) c (t) c (t) 

dt 10 01 00

c11 (t),

i d c (t) c (t) c

(t).

dt 11 01 10

Khi có nhiễu: được:



0(t ), thay vào hệ phương trình trên ta

i d c (t) *c (t) * t c t *c (t) * t c

t , (P12)

dt 00 0 10 10 0 01 01

d * * * *

i dt c01(t) 0c10 (t) (t)c10 (t) 0c11(t) 

d

t c11(t) 0c00 (t) (t)c00 (t),

* *

(P13)

i c10 (t) 0c01 (t) t c01 (t) 0c00 (t) t c00 (t) 0c11 (t) 

dt

(t)c11(t) , (P14)

i d c (t) c (t) t c (t) c (t) t c

(t) . (P15)

dt 11 0 01 01 0 10 10

Trong trường hợp này, tập hợp các phương trình chuyển động ((P12) - (P15)) có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:

i dQM (t)M *(t)M Q ,

1 2 3

dt (P16)

trong đó Q là một hàm véctơ theo thời gian và M1, M2, M3 là các ma trận hằng, với dạng như sau:

c00 

a11 a12 a13 a14 

b11 b12 b13 b14 

c11 c12 c13 c14 

c

a a a a 

b b b b 

c c c c 

Q 

01 , M

21 22 23 24

, M

21 22 23 24

, M

21 22 23 24 

c

1 a a a a 

2 b b b b 

3 c c c c 

10 

31 32 33 34 

31 32 33 34 

31 32 33 34 

c11 

a41 a42 a43 a44 

b41 b42 b43 b44 

c41 c42 c43 c44 

Thay vào phương trình (P16)

i dc00 (t) a c

(t) a c

(t) a c

(t) a c

(t)

dt 11 00 12 01 13 10 14 11

(t)b11c00 (t) (t)b12c01 (t) (t)b13c10 (t) (t)b14c11(t)

*(t)c c (t) *(t)c c (t) *(t)c c (t) *(t)c c

(t)

11 00 12 01 13 10 14 11

Đồng nhất với (P12):

a  0, a * , a * , a  0

11 12 0 13 0 14

b11  0,b12  0,b13  0,b14  0

c11  0, c12  1, c13  1, c14  0

i dc01 (t) a c

(t) a c

(t) a c

(t) a c

(t)

dt 21 00 22 01 23 10 24 11

(t)b21c00 (t) (t)b22c01 (t) (t)b23c10 (t) (t)b24c11(t)

* (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c

(t)

21 00 22 01 23 10 24 11

Đồng nhất với (P13):

a , a  0, a * , a *

21 0 22 23 0 24 0

b21  1, b22  0, b23  0, b24  0

c21  0, c22  0, c23  1, c24  1

i dc10 (t) a c

(t) a c

(t) a c

(t) a c

(t)

dt 31 00 32 01 33 10 34 11

(t)b31c00 (t) (t)b32c01 (t) (t)b33c10 (t) (t)b34c11(t)

* (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c (t) * (t)c c

(t)

31 00 32 01 33 10 34 11

Đồng nhất với (P14):

a , a , a  0, a *

31 0 32 0 33 34 0

b31  1, b32  1,b33  0,b34  0

c31  0, c32  0, c33  0, c34  1

i dc11 (t) a c

(t) a c

(t) a c

(t) a c

(t)

dt 41 00 42 01 43 10 44 11

(t)b41c00 (t) (t)b42c01 (t) (t)b43c10 (t) (t)b44c11(t)

* (t)c c

(t) * (t)c c

(t) * (t)c c

(t) * (t)c c

(t)

Đồng nhất với (P15):

41 00 42 01 43 10 44 11

a41  0, a42 0 , a43 0 , a44  0

b41  0, b42  1,b43  1,b44  0

c41  0, c42  0, c43  0, c44  0

Từ đó, ta tìm được các ma trận M1, M2, M3:





0

0

0 * *

0 *

0 

* 

0 0 0 0

,

1 0 0 0

0

.

1	1	0
0	1	 
0	0	0
0	0	0 

0 1

M 0

1 

0 0

0 0 

0 * 

0 

M ,

2 1 1 0 0



M 

3 0



 0

0 0

0 

0 1 1 00

Từ lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên hàm Q thỏa mãn phương trình:

d Q M

a M , M / 2Q

(P17)

dt 

1 0 2 3 

2	1	0	0
1 	3	2	0 
0 0	2 0	3 1	1 2 

M2,M 3M 2M3M 3M2



(P18)

c00  0

* * 0 1 1

0 0c00 



0 0 



d c01 

0 * *

1 2 0 0

c01

i 0

0 0 a 

/ 2

dt c 

0 * 0 0 0

2 1c 

(P19)

10 

0 0

0 



10 

c11 

0

0 0

0 

0 0

1 1

c11 

Từ đó ta có thể rút ra hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên của các biến:

i d ckl (t) a ckl t * a0 ckl t *ckl (t),

dt 00 0 00

0 2 

01 0 10



i d ckl (t) a0 ckl t 3a0 ckl t * a

ckl (t) *ckl (t),

dt 01 0 2 00

2 01 0 0 10 0 11



idckl (t) ckl (t) a ckl (t) 3a0ckl t*a0ckl (t),

dt 10 0 00 0 0 01 2 10 0 2 11



i d ckl (t) ckl (t) a0 ckl (t) a ckl (t).

dt 11 0 01

0 2 

10 0 11



3. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.22) và (3.23)

Từ hệ ba phương trình:

i d c (t)  2c

(t),

dt 20 02

i d c (t) c

(t),

(P20)

dt 12 02

i d c (t)  2*c (t) *c

(t).

dt 02 20 12