Trọng Lượng Và Giá Trị Của 4 Loại Đồ Vật Tính Đơn Giá Cho Các Loại Đồ

7. Bài toán tìm cặp điểm gần nhất (láng giềng gần nhất)

Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt. Hãy tìm hai điểm gần nhau nhất (khoảng cách Ơcolit là nhỏ nhất).

Hướng dẫn:

Xây dựng một thuật toán dựa trên kỹ thuật chia để trị với ý tưởng là: sắp xếp các điểm theo một trục toạ độ, như trục x chẳng hạn, rồi dùng thứ tự này để chia tập điểm thành hai phần. Trong toàn bộ tập điểm đã cho, cặp điểm gần nhất hoặc là cặp gần nhất trong cùng một bên nào đó, hoặc là một cặp điểm cắt ngang đường thẳng phân giới giữa hai tập điểm thành phần. Dĩ nhiên, trường hợp đáng chú ý là khi cặp điểm gần nhất cắt ngang đường phân giới. Cặp điểm gần nhất trong mỗi nửa bên rò ràng là tìm được bằng các lời gọi đệ quy, nhưng còn các cặp có mỗi điểm ở một bên đường phân giới sẽ được kiểm tra như thế nào?

Điều tất nhiên là chúng ta sẽ chỉ cần xét những điểm trong khoảng cách min ở hai bên đường phân giới (vì đang tìm cặp điểm gần nhất), với min là khoảng cách nhỏ hơn giữa các cặp điểm gần nhất ở mỗi nửa bên. Tuy nhiên, trong trường hợp xấu nhất thì nhận xét này là không đủ, vì có thể có nhiều cặp gần với đường phân giới; ví dụ như tất cả các điểm ở mỗi nửa bên có thể sắp thành một hàng ngay cạnh đường thẳng phân giới. Để xử lý tình huống trên, cần phải sắp các điểm theo y.

Như vậy, chúng ra có thể giới hạn các khoảng cách phải tính như sau:

- Xử lý các điểm theo chiều tăng của y

- Kiểm tra xem mỗi điểm có nằm trong dải đứng chứa các điểm trong phạm vi min kể từ điểm phân giới

- Với mỗi điểm trong dải trên, tính khoảng cách giữa điểm này với các điểm cũng trong dải và có tung độ y nhỏ hơn tung độ của điểm đang xét nhưng không nhỏ quá min.

Khoảng cách giữa các điểm ở mỗi nửa bên tối thiểu là min nên số điểm phải kiểm tra sẽ ít hơn.

Viết một hàm đệ quy vừa sắp theo y lại vừa tìm cặp điểm gần nhất. Thủ tục này sẽ chia đôi tập điểm, rồi gọi lại chính nó để sắp hai nửa bên theo y và tìm cặp điểm gần nhất trong mỗi nửa, sau đó trộn hai nửa bên để hoàn tất việc sắp theo y và áp dụng lại thủ tục trên để hoàn tất việc tính cặp điểm gần nhất.

Khi sắp theo y, việc chia đôi có thể làm bằng bất kỳ cách nào, nhưng với phép tính cặp điểm gần nhất, việc chia đôi yêu cầu có một nửa bên có hoành độ x nhỏ hơn nửa bên còn lại. Điều này được thực hiên bằng cách sắp theo x trước khi chia đôi tập điểm.

Ch•¬ng 3

Kü thuËt tham lam

3.1. Néi dung kü thuËt

3.1.1. Bµi to¸n tèi •u tæ hîp

Bài toán tối ưu tổ hợp có dạng tổng quát như sau:

Cho hàm f(x) xác định trên một tập hữu hạn các phần tử D. Hàm f(x) được gọi là hàm mục tiêu, tập D được gọi là tập các phương án

Mỗi phần tử xD có dạng x = (x1, x2, .. xn) được gọi là một phương án. Cần tìm một phương án x* D sao cho hàm f(x*) đạt min (max). Phương án x* như thế được gọi là phương án tối ưu.

Ta có thể tìm thấy phương án tối ưu bằng phương pháp “vét cạn” nghĩa là xét tất cả các phương án trong tập D (hữu hạn) để xác định phương án tốt nhất. Mặc dù tập hợp D là hữu hạn nhưng để tìm phương án tối ưu cho một bài toán kích thước n bằng phương pháp “vét cạn” thì độ phức tạp tính toán sẽ có có cấp hàm mũ.

3.1.2. Néi dung kü thuËt tham lam

Tham lam (còn gọi là tham ăn, háu ăn) hiểu một cách dân gian là: trong một mâm có nhiều món ăn, món nào ngon nhất ta sẽ ăn trước và ăn cho hết món đó thì chuyển sang món ngon thứ hai, lại ăn hết món ngon thứ hai này và chuyển sang món ngon thứ ba…

Kĩ thuật tham lam thường được vận dụng để giải bài toán tối ưu tổ hợp trong quá trình xây dựng một phương án x. Phương án x được xây dựng bằng cách lựa chọn từng thành phần xi cho đến khi hoàn chỉnh (đủ n thành phần). Với mỗi xi, ta sẽ chọn xi tối ưu. Với cách này thì có thể ở bước cuối cùng ta không còn gì để chọn mà phải chấp nhận một giá trị cuối cùng còn lại.

Áp dụng kĩ thuật tham lam sẽ cho một giải thuật thời gian đa thức, tuy nhiên nói chung chúng ta chỉ đạt được một phương án tốt chứ chưa hẳn là tối ưu.

3.2 C¸c vÝ dô ¸p dông

3.2.1. Bµi to¸n ng•êi giao hµng

1) Bài toán

Có một người giao hàng cần đi giao hàng tại n thành phố. Xuất phát từ một thành phố nào đó, đi qua các thành phố khác để giao hàng và trở về thành phố ban

đầu. Mỗi thành phố chỉ đến một lần, khoảng cách từ một thành phố đến các thành phố khác là xác định được. Giả thiết rằng mỗi thành phố đều có đường đi đến các thành phố còn lại. Khoảng cách giữa hai thành phố có thể là khoảng cách địa lý, có thể là cước phí di chuyển hoặc thời gian di chuyển. Ta gọi chung là độ dài. Hãy tìm một chu trình (một đường đi khép kín thỏa mãn điều kiện trên) sao cho tổng độ dài các cạnh là nhỏ nhất.

Nếu sử dụng phương pháp vét cạn ta xét tất cả các chu trình, mỗi chu trình tính tổng độ dài các cạnh của nó rồi chọn một chu trình có tổng độ dài nhỏ nhất. Như vậy chúng ta cần xét tất cả là (n-1)!/2 chu trình. Thực vậy, do mỗi chu trình đều đi qua tất cả các đỉnh (thành phố) nên ta có thể cố định một đỉnh. Từ đỉnh này ta có n-1 cạnh tới n-1 đỉnh khác, nên ta có n-1 cách chọn cạnh đầu tiên của chu trình. Sau khi đã chọn được cạnh đầu tiên, chúng ta còn n-2 cách chọn cạnh thứ hai, do đó ta có (n-1)(n-2) cách chọn hai cạnh. Cứ lý luận như vậy ta sẽ thấy có (n-1)! cách chọn một chu trình.

Tuy nhiên với mỗi chu trình ta chỉ quan tâm đến tổng độ dài các cạnh chứ không quan tâm đến hướng vì vậy có tất cả (n - 1)!/2 chu trình. Ðó là một thuật toán có độ phức tạp tính toán là hàm mũ.

2) Thiết kế thuật toán

- Ý tưởng: Gọi n thành phố người giao hàng phải đi qua là các thành phố 1, 2, ..., n. Xuất phát từ một thành phố i nào đó đi đến thành gần thành phố i nhất trong trong n-1 thành phố còn lại, chẳng hạn thành phố j, từ thành phố j đi đến thành phố gần thành phố j nhất trong n-2 thành phố còn lại. Quá trình được lặp lại cho đến khi đã đi hết n thành phố thì quay về thành phố i - ta được một chu trình.

- Thuật toán:

Giaohang (a, n, dau)

/* Mảng a mà a[i][j] là độ dài từ thành phố i đến thành phố j n số thành phố

dau: thành phố xuất phát

xet[v]: ghi nhận trạng thái thành phố v- chưa đến bằng 0, đã đến bằng 1 cost: lưu độ dài chu trình

Mảng ct có các phần tử lưu trữ lần lượt n thành phố đi qua */

{

for(k = 1; k <= n; k++)

xet[k] = 0;

cost = 0; v = dau; i = 1;

ct[i] = v;

xet[v] = 1; while(i < n)

{

min = vc;/*do dai tu v den thanh pho bat ky chua den*/ for (k = 1; k <= n; k++)

if(!xet[k])

if(min > a[v][k])

{

}

v = w; i++;

ct[i] = v;

xet[v] = 1; cost += min;

min = a[v][k]; w = k;

return cost;

}

3) Đánh giá độ phức tạp tính toán của thuật toán

Phép toán tích cực là phép kiểm tra (!xet[k]), phép kiểm tra này nằm trong vòng lặp for (k = 1; k <= n; k++) và vòng lặp while(i < n). Mỗi vòng lặp thực hiện n lần, do đó độ phức tạp tính toán là O(n2).

Nhận xét:

Có thể giải quyết bài toán bằng kỹ thuật tham lam theo cách tiếp cận khác như sau:

1. Sắp xếp các cạnh theo thứ tự tăng dần của độ dài.

2. Lần lượt xét các cạnh có độ dài từ nhỏ đến lớn để đưa vào chu trình.

Một cạnh sẽ được đưa vào chu trình nếu cạnh đó thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Không tạo thành một chu trình thiếu (không đi qua đủ n đỉnh)

• Không tạo thành một đỉnh có cấp ≥ 3 (tức là không được có nhiều hơn hai cạnh xuất phát từ một đỉnh, do yêu cầu của bài toán là mỗi thành phố chỉ được đến một lần: một lần đến và một lần đi)

Cho đến khi xây dựng được một chu trình.

Thuật toán Giaohang()

/* E là tập hợp các cạnh đã được sắp xếp theo chiều tăng của độ dài, Chu_trinh là tập hợp các cạnh được chọn để đưa vào chu trình */

{

Chu_Trinh = Φ; Gia = 0; while(E <> Φ)

{

if (cạnh e có thể chọn)

{

Chu_Trinh = Chu_Trinh + [e] ; Gia = Gia + độ dài của e;

}

E = E-[e];

}

Thuật toán trên có độ phức tạp tính toán là O(n2)

3.2.2. Bµi to¸n chiÒc ba l«

1) Bài toán

Cho một cái ba lô có thể đựng một trọng lượng W và n loại đồ vật, mỗi đồ vật i có một trọng lượng gi và một giá trị vi. Tất cả các loại đồ vật đều có số lượng không hạn chế. Tìm một cách lựa chọn các đồ vật đựng vào ba lô, chọn các loại đồ vật nào, mỗi loại lấy bao nhiêu sao cho tổng trọng lượng không vượt quá W và tổng giá trị là lớn nhất.

2) Thiết kế thuật toán

Theo yêu cầu của bài toán thì ta cần những đồ vật có giá trị cao mà trọng lượng lại nhỏ để sao cho có thể mang được nhiều “đồ quý”, sẽ là hợp lý khi ta quan tâm đến yếu tố “đơn giá” của từng loại đồ vật tức là tỷ lệ giá trị/trọng lượng. Ðơn giá càng cao thì đồ càng quý. Từ đó ta có kĩ thuật tham lam áp dụng cho bài toán này là:

1. Tính đơn giá cho các loại đồ vật.

2. Xét các loại đồ vật theo thứ tự đơn giá từ lớn đến nhỏ.

3.Với mỗi đồ vật được xét sẽ lấy một số lượng tối đa mà trọng lượng còn lại của ba lô cho phép.

4. Xác định trọng luợng còn lại của ba lô và quay lại bước 3 cho đến khi không còn có thể chọn được đồ vật nào nữa.

Ví dụ 3.1.

Ta có một ba lô có trọng lượng là 37 và 4 loại đồ vật với trọng lượng và giá trị tương ứng được cho trong bảng dưới:

Tên đồ vật

Trọng lượng	Giá trị
A	15	30
B	10	25
C	2	2
D	4	6