3.3. Mô Tả Mật Độ Mức Theo Mẫu Khí Fermi Dịch Chuyển Ngược

thuyết. Vấn đề nghiên cứu mật độ mức có tầm quan trọng và được đặt ra từ rất lâu nhưng cho đến nay kết quả thu được vẫn còn nhiều hạn chế và vẫn còn tiếp tục được giới nghiên cứu quan tâm. Dưới đây là tổng quan tình hình về một số mẫu lý thuyết được sử dụng để mô tả mật độ mức trong vùng năng lượng kích thích nằm dưới năng lượng liên kết của nơtron với hạt nhân.

Nguyên tắc chung là mẫu mô tả mật độ mức kích thích phải phù hợp cho một số lớn các hạt nhân, phải mô tả được các kích thích nội tại hoặc riêng lẻ. Sự phân bố các mức kích thích là khá phức tạp, đó chính là cách sắp xếp của các fermion theo trật tự của nó. Ví dụ các hạt nhân có thể dao động quanh trạng thái cân bằng tạo thành các mức dao động. Kết quả của các trạng thái liên kết có sự đóng góp của tất cả các tương tác khác như tương tác cặp, quay và chuyển động tập thể,...

Trong thực tế, các tính toán mật độ mức dựa trên những đặc điểm đã biết về hạt nhân. Các nghiên cứu đầu tiên xác định mật độ mức đã được tiến hành vào cuối những năm 30 của thế kỷ trước bằng việc đưa ra quan điểm xem hạt nhân như một chất khí fermion không tương tác bên trong thể tích hạt nhân. Để chính xác hơn, gần đúng bậc không đã được sử dụng và được gọi là mẫu cân bằng. Một công thức giải tích tính mật độ mức toàn phần bằng phương pháp toán học gọi là phương pháp đường yên ngựa được Bethe đề xuất vào năm 1937. Sau đó, Ericson (1960) đã đề xuất biểu thức giải tích để tính mật độ mức riêng phần, đến nay công thức này đã được sửa chữa và cải tiến nhiều lần. Tuy nhiên, mẫu cân bằng có quá ít các thông tin vật lý để thu được biểu thức mô tả mật độ mức gần với thực tế. Công thức được hiệu chỉnh bằng cách bổ sung các hiệu ứng để có được sự mô tả một số đặc trưng phù hợp hơn với số liệu thực nghiệm. Để giải thích các hiệu ứng này, cần phải loại trừ sự xấp xỉ gần đúng trong mẫu cân bằng và tính mật độ mức theo mẫu lớp. Các phương pháp tính được sử dụng phổ biến trong tính mật độ mức là:

(i) Phương pháp giải số tổng quát dựa vào sự gần đúng của điểm yên ngựa (phương pháp hàm riêng).

(ii) Phương pháp tổ hợp, tiếp cận với cách phân bố của các nucleon trong hạt nhân ứng với năng lượng kích thích xác định. Phương pháp này dựa trên các mẫu hạt nhân khác nhau như:

1. Mẫu các fermion độc lập (mẫu này cho phép dễ dàng đánh giá độ

lớn của các hàm riêng).

2. Mẫu cân bằng.

Có thể bạn quan tâm!

Xem toàn bộ 118 trang tài liệu này.

3. Mẫu lớp (so với hai mẫu trên mẫu lớp có nhiều phù hợp với thực nghiệm hơn trong tính mật độ mức).

4. Mẫu các fermion tương tác (haminton do các tương tác dư trong mẫu lớp đã được tính đến và thể hiện bằng các tương tác cặp của nucleon bên trong hạt nhân). Bằng việc đưa vào khái niệm ghép cặp, sự mô tả lý thuyết mật độ mức đã có nhiều phù hợp với thực nghiệm hơn ở vùng năng lượng thấp.

Để phát triển các mẫu cho phù hợp hơn, các hiệu ứng tập thể đã được tính đến. Sự ghép đôi của các nucleon được bổ sung và thêm vào đó là sự biến dạng của hạt nhân theo năng lượng kích thích để có sự mô tả phù hợp với các kết quả thực nghiệm.

Khó có thể xác định được các đặc trưng của hạt nhân hay mật độ mức bằng tính toán lý thuyết thuần túy. Một mẫu lý thuyết nào đó chỉ được coi là đúng đắn khi các dự đoán của chúng đã được kiểm chứng với số liệu thực nghiệm.

Hạn chế lớn trong nghiên cứu các mẫu lý thuyết là số liệu thực nghiệm về mật độ mức chỉ chiếm một dải năng lượng hẹp và bị tác động bởi các sai số hệ thống. Các giá trị thực nghiệm là cơ sở để hiệu chỉnh lại các giá trị tính toán,

ví dụ tham số mật độ mức a không phải là một hằng số trong mẫu mà thay đổi phụ thuộc vào năng lượng kích thích, sự thăng giáng và qui luật của giá trị này được xác định dựa trên cơ sở của số liệu thực nghiệm.

I.3.2. Mô tả mật độ mức

Khi năng lượng kích thích có giá trị nhỏ hơn khoảng 3 MeV, số liệu thực nghiệm tích luỹ được cho thấy các mức năng lượng có cấu trúc rời rạc. Một số đặc trưng của các mức rời rạc này (năng lượng, spin, độ chẵn lẻ) thường được giải thích rất tốt bởi hầu hết các mẫu lý thuyết cấu trúc hạt nhân hiện đại. Ở vùng năng lượng kích thích cao hơn, sự mô tả đồng thời các mức rời rạc trở nên không thể. Các mức trở nên nhiều hơn, gần nhau hơn và độ rộng mức lớn hơn. Do đó, có thể mô tả thống kê mật độ mức dưới dạng một hàm (ký hiệu bằng ρ) được định nghĩa:

U d

N U . (1.2)

Trong đó N(U) là số các mức kích thích có năng lượng U.

Ta có thể bổ sung thêm vào định nghĩa bằng cách quan tâm đến mật độ các mức kích thích ρ(U,J,π) để mô tả sự phụ thuộc mật độ mức theo năng lượng kích thích U, spin J và độ chẵn lẻ π. Với các hạt nhân đối xứng trục, ta có thể viết mật độ mức kích thích theo các giá trị M khác nhau của hình chiếu spin J lên trục đối xứng. Mật độ mức ρ(U,M,π) được gọi là mật độ mức riêng của các trạng thái kích thích. Mối quan hệ giữa ρ(U,M,π) và ρ(U,J,π) như sau:

(U , M ,) (U , J ,) . (1.3)

J M

Ở vùng năng lượng thấp, mật độ mức toàn phần có thể được mô tả bằng công thức bán thực nghiệm theo hàm:

ln N (U ) U U0 . (1.4)

Trong đó U0 và T là các tham số thay đổi được. Các tham số này được xác định từ quá trình làm khớp với số liệu thực nghiệm. Công thức xác định mật độ mức (1.4) được gọi là công thức nhiệt độ không đổi.

Mật độ mức phụ thuộc năng lượng có quy luật tăng theo hàm mũ. Ngoài sự phụ thuộc này, với các hạt nhân khác nhau mật độ mức còn phụ thuộc vào số khối A. Tham số nhiệt độ T tăng như một hàm phụ thuộc khối lượng của hạt nhân. Nhìn chung, các phân tích theo công thức nhiệt độ không đổi cho thấy ở một năng lượng kích thích xác định, mật độ mức tăng theo số khối A. Tuy nhiên ở các giá trị A ≈ 60, A ≈ 90, A ≈ 120 và A ≈ 210, thực nghiệm chỉ ra rằng số mức kích thích quan sát được giảm. Sự giảm giá trị mật độ mức tại các điểm khối lượng này được giải thích là do sự tác động của mẫu lớp và do đặc trưng các số magic của hạt nhân.

Khi phân tích số liệu thực nghiệm về mật độ mức của các hạt nhân có khối lượng gần nhau nhưng có cùng số nơtron (hoặc proton) chẵn hoặc lẻ thì thấy mật độ mức có sự phụ thuộc vào các giá trị chẵn lẻ này. Nếu định nghĩa là

Z N

độ chẵn lẻ của hạt nhân A và xác định theo công thức:

N ,cap Z ,cap

(1.5)

Trong đó δK,cap bằng 1 nếu K chẵn, bằng 0 nếu K lẻ. N(U) càng lớn thì  càng nhỏ. Hiệu ứng này được gọi là hiệu ứng chẵn lẻ.

Các đặc trưng của mật độ mức trong vùng năng lượng thấp gần như hoàn toàn có thể quan sát được bằng thực nghiệm. Trong vùng năng lượng cao hơn (khoảng 6 ÷ 8 MeV, các đặc trưng này khó có thể xác định được trực tiếp vì các mức không có nhiều sự khác biệt và sự kém chính xác hơn của thiết bị đo khi năng lượng kích thích cao.

Các đánh giá về mật độ mức vùng trên Bn thường không được tiến hành trực tiếp. Chúng thường được mô tả bằng các mẫu lí thuyết mô tả mật độ mức, hoặc đo bằng phổ kế thời gian bay.

I.3.3. Mô tả mật độ mức theo mẫu khí Fermi dịch chuyển ngược

Newton đã chỉ ra rằng, hiệu ứng chẵn-lẻ làm giảm năng lượng kích thích U của mức một lượng  phụ thuộc vào số chẵn lẻ . Các fermion có xu hướng ghép cặp, do đó cần phải có một năng lượng để phá vỡ liên kết đó ngoài năng lượng kích thích các fermion. Như vậy, tham số  chính là năng lượng cần thiết tách các cặp nucleon để hạt nhân trở về trạng thái mà ta có thể xem chúng tựa như là chất khí của các hạt độc lập.

Một cách gần đúng, giả sử rằng năng lượng cần cung cấp để phá vỡ liên kết cặp là hằng số có giá trị bằngn đối các nơtron vàp đối với các proton. Khi đó năng lượng mức kích thích của hạt nhân có giá trị là:

U * U . (1.6)

Theo tính toán lý thuyết về mật độ mức theo mẫu khí Fermi, ta có các công thức tính mật độ mức [6,48]:

exp 2 a(U-) 

N , Z ,U 

và

12a 4 (U ) 4

(1.7)

(U , J ) 

2J  1

exp⎡2

J (J  1) ⎤

(1.8)

24 23a1/ 4 (U t)5 / 4

a(U )

⎣⎢22 ⎥⎦

Năng lượng  trong công thức (1.6) được gọi là năng lượng cặp và được xác

định theo biểu thức liên hệ sau [48]:

n p

p

n

 0

đối với hạt nhân chẵn-chẵn, đối với hạt nhân lẻ neutron, đối với hạt nhân lẻ proton, đối với hạt nhân lẻ-lẻ.

Việc phân tích một cách hệ thống trên các hạt nhân có khối lượng khác nhau cho thấy giá trị ước lượng của δp và δn:

Khi đó:

n p 

. (1.9)

12

(1.10)

với được định nghĩa theo công thức (1.5).

Các kết quả khi so sánh với giá trị thực nghiệm đã cho thấy rằng, trong các hạt nhân chẵn–lẻ, tham số mật độ mức a ít phụ thuộc vào năng lượng kích thích U*.

Có thể xem  là một tham số hiệu chỉnh giống như a. Người ta gọi công thức xác định mật độ mức trong trường hợp này là công thức “khí Fermi dịch chuyển ngược” (BSFG). Giá trị của  đã được lập bảng và trình bày trong nhiều tài liệu [6,37,39].

Trong công thức BSFG chỉ có hai tham số hiệu chỉnh, nó cho phép xác định mật độ mức và mô tả tương đối phù hợp với số liệu thực nghiệm ở các năng lượng kích thích xấp xỉ năng lượng liên kết của nơtron với hạt nhân. Tuy nhiên ở các năng lượng kích thích gần giá trị , công thức này lại phân kỳ. Để khắc phục sự phân kỳ đó, một phương pháp kết hợp đã được Gilbert-Cameron đề xuất.

I.3.4. Công thức Gilbert-Cameron

Để khắc phục sự phân kỳ của công thức BSFG và mô tả mật độ mức với một nhóm lớn các hạt nhân có 22  A  245 trong vùng năng lượng kích thích đủ rộng, Gilbert-Cameron đã sử dụng mẫu nhiệt độ không đổi để mô tả mật độ mức ở vùng năng lượng kích thích thấp theo công thức:

1 exp ⎛U -U0⎞

(1.11)

T T ⎜T ⎟

⎝⎠

Ở năng lượng cao hơn, mật độ mức được xác định theo công thức BSFG cải tiến như sau:

obs N , Z ,U N , Z ,U , J 

(1.12)

Giả thuyết rằng phân bố của các mức theo các giá trị của spin J là như nhau, ta có phương trình:

obs

N , Z ,U 

1 N , Z ,U 

(1.13)

2

trong đó

N, Z ,U là mật độ mức xác định theo công thức BSFG.

Tiếp theo cần xác định các giới hạn sử dụng của T và obs để đảm bảo tính liên tục của chúng. Đạo hàm bậc nhất của các công thức xác định mật độ mức theo năng lượng sẽ gián đoạn ở biên của các vùng giới hạn, do đó sẽ cho biết phạm vi áp dụng của chúng. Như vậy, công thức Gilbert-Cameron có phạm vi áp dụng rộng hơn công thức BSFG, nhưng xuất hiện thêm hai tham số U0 và T. Công thức Gilbert-Cameron chỉ cho phép mô tả mật độ mức phù hợp trong một khoảng năng lượng giới hạn, do đó khi mở rộng cho các năng lượng cao thường phải hiệu chỉnh lại các tham số. Phạm vi áp dụng của công thức Gilbert-Cameron được xác định chủ yếu cho các năng lượng kích thích nằm dưới năng lượng liên kết của nơtron với hạt nhân. Ở khoảng năng lượng này, vấn đề được quan tâm đề cập chủ yếu là các hiệu ứng liên quan tới cấu trúc lớp và hiện tượng kết cặp, nên khi năng lượng kích thích tăng thì các giá trị

của a và sẽ thay đổi. Để có sự mô tả chính xác hơn, cần phải bổ sung thêm

các hiệu chính liên quan đến cấu trúc của hạt nhân - vấn đề được đề cập trong phương pháp Ignatyuk.

I.3.5. Phương pháp Ignatyuk

Trong phương pháp này mật độ mức được xác định theo công thức:

int

 exp(S )

(1.14)

trong đó S là entrôpy và được xác định theo công thức:

aUEcond

⎧⎪2

S ⎨

⎪⎩Scb, U Uc

 2at, U Uc

(1.15)

tham số a được xác định theo phương trình:

aU, A⎨

⎪⎧a% A⎣⎡1W Z,Nf U *⎤⎦ , U U

⎪⎩aUcac,U Uc

c . (1.16)

Trong đó

U * U E ,

W để hiệu chỉnh hiệu ứng lớp còn ac là tham số mô

cond

tả mật độ mức có tính đến hiệu ứng lớp. Sự suy giảm và biến mất của hiệu

ứng lớp khi năng lượng kích thích tăng, được mô tả theo phương trình:

1 exp-U 

f U 

,  0, 064 . (1.17)

Theo mẫu siêu chảy, năng lượng ở trạng thái cơ bản được xác định theo biểu thức:

E  3ac

2 (1.18)

trong đó đại lượng:

cond

22 0 0

0 (1.19)

là giá trị thu được khi phân tích hệ thống hiện tượng tương tác cặp và là chỉ số chẵn lẻ của hạt nhân, các giá trị này giống như trong phần mẫu khí Fermi đã trình bày ở trên.

Hệ số f(U) trong phương trình (1.17) được gọi là hệ số tắt dần, mô tả sự suy giảm và biến mất của hiệu ứng lớp ở năng lượng cao. Như vậy a(U,A) tiệm

cận về giá trị

a%A

khi năng lượng kích thích tăng và chỉ phụ thuộc vào số

khối A. Để xác định

a~có thể sử dụng công thức 1.20: