(A) Định lý cho P1&P2:
(a) P1&P2 ≡ P1 nếu P1 = (A, (b) P1&P2 ≡ P1 + (A1↔&P2) nếu A1 ∩ A2 = □ Chứng minh: (a) Cho P1 = (A, ∧ x (b) Cho P1 = (A1, = (y1, y2) ∈ dom(A1) × dom(A2) cho x thứ tự được nhúng vào P1* = (A1 ∪ A2, Có thể bạn quan tâm! Do đó P1* + (A1↔ &P2) = (A1 ∪ A2, không giao nhau. Chúng ta có: x nếu x Định lý “Non-discrimination”: P1 □ P2 ≡ (P1 & P2) ♦ (P2 & P1) Chứng minh: Cho P1 = (A1, Khi đó: P1 □ P2 = (A1 ∪ A2, P1 = (A2 ∪ A1, <(P1&P2)♦(P2&P1)) Cho x = (x1, x2) and y = (y1, y2) ∈ dom(A1) × dom(A2). Rút gọn: B := ‘x1 y, sau đó ¬B ∧ ¬D được thực hiện. Các trường hợp khác, nếu x ≠ y, sau đó ¬C ∨ ¬D thực hiện. (*) (1) x nếu (B ∧ E) ∨ (B ∧ D) ∨ (D ∧ C) (2) x <(P1&P2)♦(P2&P1) y nếu (B ∨ (C ∧ D)) ∧ (D ∨ (E ∧ B)) nếu (B ∧ (D ∨ (E ∧ B))) ∨ ((C ∧ D) ∧ (D∨ (E ∧ B))) nếu (B ∧ D) ∨ (B ∧ E ∧B) ∨ (C ∧ D ∧ D) ∨ ((C ∧ E) ∧D ∧ B) nếu x (**) Hãy chú ý vào H := C ∧ E ∧ D ∧ B trong (**) bên trên: Trong cả hai trường hợp x ≠ y hoặc x = y, dẫn đến (*) ¬H bị ảnh hưởng. Do đó, ngay lập tức từ đại số Boolean, chúng ta có thể tiếp tục (**): khi và chỉ khi x (C) Định lý: σ[P1+P2](R) = σ[P1](R) ∩ σ[P2](R) Chứng minh: Nghiên cứu P1+P2 = (A, ∈ R[A]: w ∈ Nmax((P1+P2)R) khi và chỉ khi □ v ∈ R[A]: w và chỉ khi □ v ∈ R[A]: w khi và chỉ khi (□ v ∈ R[A]: w khi và chỉ khi w ∈ Nmax(P1R) ∨ w ∈ Nmax(P2R) Do đó: Nmax((P1+P2)R) = Nmax(P1R) ∪ Nmax(P2R) thì: σ[P1+P2](R) = {t ∈ R: t[A] ∈ max((P1+P2)R)} = {t ∈ R: t[A] ∈ R[A] − Nmax((P1+P2)R)} = {t ∈ R: t[A] ∈ R[A] − (Nmax(P1R) ∪ Nmax(P2R))} = {t ∈ R: t[A] ∈ (R[A] − Nmax(P1R)) ∩ (R[A] − Nmax(P2R))} = {t ∈ R: t[A] ∈ max(P1R) ∩ max(P2R)} = σ[P1](R) ∩ σ[P2](R) (D) Định lý: σ[P1♦P2](R) = σ[P1](R) ∪ σ[P2](R) ∪ YY(P1, P2)R Chứng minh: Nghiên cứu P1♦P2 = (A, Khi và chỉ khi □ v ∈ R[A]: w Khi và chỉ khi □ v ∈ R[A]: w nếu □ v, v’ ∈ R[A]: w (v ∈ P1↑w ∧ v’ ∈ P2↑w ∧ v = v’) nếu (□ v ∈ R[A]: w Nmax(P1R), □ v’ ∈ Nmax(P2R): v ∈ P1↑w ∧ v’ ∈ P2↑w ∧ v = v’) nếu w ∈ Nmax(P1R) ∧ w ∈ Nmax(P2R) ∧ (□ v ∈ Nmax(P1R), □ v’ ∈ Nmax(P2R): v ∈ P1↑w ∧ v’ ∈ P2↑w ∧ v = v’) dẫn đến XX(P1, P2)R := {w ∈ R[A]: □ v ∈ Nmax(P1R), □ v’∈ Nmax(P2R): v ∈ P1↑w ∧ v’ ∈ P2↑w ∧ v = v’} chúng ta có: nếu w ∈ Nmax(P1R) ∧ w ∈ Nmax(P2R) ∧ w ∈ XX(P1, P2)R do đó: Nmax((P1♦P2)R) = Nmax(P1R) ∩ Nmax(P2R) ∩ XX(P1, P2)R sau đó chúng ta có: σ[P1♦P2](R) = {t ∈ R: t[A] ∈ max((P1♦P2)R)} = {t ∈ R: t[A] ∈ R[A] − Nmax((P1♦P2)R)} = {t ∈ R: t[A] ∈ R[A] − (Nmax(P1R) ∩ Nmax(P2R) ∩ XX(P1, P2)R)} = {t ∈ R: t[A] ∈ (R[A] − Nmax(P1R)) ∪ (R[A] − Nmax(P2R)) ∪ (R[A] − XX(P1, P2)R)} = {t ∈ R: t[A] ∈ max(P1R) ∪ max(P2R) ∪ (R[A] − XX(P1, P2)R)} = σ[P1](R) ∪ σ[P2](R) ∪ {t ∈ R: t[A] ∈ R[A] − XX(P1, P2)R} Chúng ta có: t[A] ∈ R[A] − XX(P1, P2)R nếu t[A] □ XX(P1, P2)R nếu t[A] ∈ {w ∈ R[A]: ¬(□ v ∈ Nmax(P1R), □ v’ ∈ Nmax(P2R): v ∈ P1↑w ∧ v’ ∈ P2↑w ∧ v = v’) nếu ¬(□ v ∈ Nmax(P1R), □ v’ ∈ Nmax(P2R): v ∈ P1↑t[A] ∧ v’ ∈ P2↑t[A] ∧ v = v’) nếu ¬( t[A] ∈ Nmax(P1R) ∩ Nmax(P2R): P1↑t[A] ∩ P2↑t[A] ≠ □) nếu (t[A] ∈ Nmax(P1R) ∩ Nmax(P2R): P1↑t[A] ∩ P2↑t[A] = □) dẫn đến YY(P1, P2)R := {t ∈ R : t[A] ∈ Nmax(P1R) ∩ Nmax(P2R) ∧ P1↑t[A] ∩ P2↑t[A] = □} kết quả là: σ[P1♦P2](R) = σ[P1](R) ∪ σ[P2](R) ∪YY(P1, P2)R.
